四川省德阳市新中学校2023年高三数学理上学期期末试题含解析

1、四川省德阳市新中学校2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，角的对边分别为，若成等差数列，且，的面积为，则( )A.4B.C.3D.参考答案：B2. 在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为：AxByCzD0(A，B，C，DR，且A，B，C不同时为零)，点P(x0,y0,z0)到平面的距离为：，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于( )A B C2 D5参考答案：B以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，则A(1，1，0)，B(1，1，0)，P

2、(0，0，2)，设平面PAB的方程为AxByCzD0，将以上3个坐标代入计算得A0，BD，C=-D，所以DyDzD0，即2yz20，故选B3. 定义域为的函数图象的两个端点为，是图象上任意一点，其中，已知向量，若不等式 恒成立，则称函数在 上“阶线性近似”若函数在上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( )A0，) B，) C ，) D，)参考答案：D略4. 定义在R上的函数满足，则的值为A -1 B 0 C 1 D 2.参考答案：C略5. 函数具有性质（ ）A.图象关于点（，0）对称，最大值为2 B.图象关于点（，0）对称，最大值为2 C.图象关于点（，0）对称，最大值为1D.图象关于直线x=

3、对称，最大值为1参考答案：C略6. 已知点F1，F2是双曲线（a0，b0）的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）AB C2D参考答案：D考点：双曲线的简单性质 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入双曲线方程结合a2+b2=c2，由离心率公式解出e即得解答：解：过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y0=（xc），联立渐近线方程y=x与y0=（xc），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（c，），将其代入双曲线

4、的方程可得=1，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e=故选：D点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题7. 双曲线中，F为右焦点，A为左顶点，点，则此双曲线的离心率为 A B C D参考答案：D8. 设全集，集合，则（ ） A B C D参考答案：B9. 函数f（x）=ex+x22在区间（2，1）内零点的个数为（）A1B2C3D4参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：由已知中函数的解析式，求出导函数f（x）的解析式，和导函数的导函数f（x）的解析式，分析f（x）的符号，求出f

5、（x）的单调性，进而分析f（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案解答：解：f（x）=ex+x22得f（x）=ex+2xf（x）=ex+20从而f（x）是增函数，f（2）=40f（0）=10从而f（x）在（2，1）内有唯一零点x0，满足则在区间（2，x0）上，有f（x）0，f（x）是减函数，在区间（x0，1）上，f（x）0，f（x）是增函数因为f（2）=+20，f（x0）f（0）=10，f（1）=e10从而f（x）在（2，1）上有两个零点故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要

6、二次求导，难度中档10. 若定义运算（*b）=则函数（3x*3-x）的值域是 （ ） A（0，1 B1，+) C（0） D（-，+）参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等差数列an的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2yd=0垂直，则数列的前100项的和为参考答案：【考点】8E：数列的求和【分析】直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x+2yd=0垂直，可得=1， =1，解得a1，d再利用等差数列的前n项和公式与“裂项求和”方法即可得出【解答】解：直线y=a1x+m与在y轴上的截距为1的直线x

7、+2yd=0垂直，=1， =1，解得a1=2，d=2Sn=2n+=n2+n=数列的前100项的和=+=1=故答案为：【点评】本题考查了“裂项求和方法”、等差数列通项公式及其求和公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12. 已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的标准方程是.参考答案： ；由已知得，且，故双曲线的标准方程是.13. 如果函数的图像恒在轴上方，则的取值范围为_ 参考答案：略14. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线，如图一平行于x轴的光线射向抛物线，经两

8、次反射后沿平行x轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为_参考答案：【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，最短，进而可得出结果.【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设的方程为，由得：，整理得，所以，所以；当直线斜率不存在时，易得；综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，最小时，两平行线间的距离最小；因此，所求方程为.故答案为【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型

9、.15. 函数在点处的切线与函数围成的图 形的面积等于_； 参考答案：略16. 已知向量，满足，若，则所有可能的值为 参考答案：略17. 给出下列四个命题中： 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；与不共面的四点距离都相等的平面共有个。正四棱锥侧面为锐角三角形；椭圆中，.离心率e趋向于0，则椭圆形状趋向于扁长。其中所有真命题的序号是 . . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=x2+2lnx（）求函数f（x）的最大值；（）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，（i）求实数a的值；（ii）若对

10、于“x1，x2，3，不等式1恒成立，求实数k的取值范围参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题 【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用【分析】（）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值；（）（）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值；（）先求出x1，3时，f（x1）min=f（3）=9+2ln3，f（x1）max=f（1）=1；x2，3时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围

11、【解答】解：（）求导函数可得：f（x）=2x+=（x0）由f（x）0且x0得，0 x1；由f（x）0且x0得， x1f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数函数f（x）的最大值为f（1）=1（）g（x）=x+，g（x）=1（）由（）知，x=1是函数f（x）的极值点，又函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，x=1是函数g（x）的极值点，g（1）=1a=0，解得a=1（）f（）=2，f（1）=1，f（3）=9+2ln3，9+2ln321，即f（3）f（）f（1），x1，3时，f（x1）min=f（3）=9+2ln3，f（x1）max=f（1）=1由（）知g（x）=x+，g（x）=

12、1当x，1）时，g（x）0；当x（1，3时，g（x）0故g（x）在，1）为减函数，在（1，3上为增函数，g（1）=2，g（3）=，而2，g（1）g（）g（3）x2，3时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=当k10，即k1时，对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，等价于kf（x1）g（x2）max+1f（x1）g（x2）f（1）g（1）=12=3，k2，又k1，k1当k10，即k1时，对于“x1，x2，3，不等式1恒成立，等价于kf（x1）g（x2）min+1f（x1）g（x2）f（3）g（3）=，k又k1，k综上，所求的实数k的取值范围为（，（1，+）【点评】本题考查

13、导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题19. 已知抛物线y2=2px（p0），过点C（2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，且=12（）求抛物线的方程；（）当以AB为直径的圆的面积为16时，求AOB的面积S的值参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（I）设l：x=my2，代入y2=2px，得y22pmx+4p=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理结合，求解p，即可得到抛物线方程（）由联立直线与抛物线方程，得到y24my+8=0，利用弦长公式，以AB为直径的圆的面积为16，求出圆的直径，推出，求解m，求解原

14、点O（0，0）到直线的距离，然后求解三角形的面积【解答】解：（I）设l：x=my2，代入y2=2px，得y22pmx+4p=0，（*）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则，因为，所以x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，解得p=2所以抛物线的方程为y2=4x（）由（I）（*）化为y24my+8=0，则y1+y2=4m，y1y2=8又，因为以AB为直径的圆的面积为16，所以圆的半径为4，直径|AB|=8则，得（1+m2）（16m232）=64，得m4m26=0，得（m23）（m2+2）=0，得m2=2（舍去）或m2=3，解得当时，直线l的方程为，

15、原点O（0，0）到直线的距离为，且|AB|=8，所以AOB的面积为；当时，直线l的方程为，原点O（0，0）到直线的距离为，且|AB|=8，所以AOB的面积为综上，AOB的面积为420. （10分）（2015秋?福建月考）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b3=9，a5+b5=25（）求an，bn的通项公式；（）求数列an，bn的前n项和Sn和Tn参考答案：【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）通过将各项均用首项和公差（公比）表示出来，然后联立方程组，计算即得公差、公比，进而可得结论；（2）通过（1），利用等差、等比数列的求和公式计算即得

16、结论解：（）a1=b1=1，a3+b3=9，a5+b5=25，整理得：q42q28=0，解得：q2=4或q2=2（舍），又数列bn是各项都为正数的等比数列，q=2，d=2，an=2n1，；（2）由（1）可知Sn=n2，Tn=2n1【点评】本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题21. （本小题满分12分）如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M,N（点M在点N的下方），且| MN|=3（）求圆C的方程；（）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A,B，连接AN,BN，求证：ANM=BNM.参考答案：（）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为.，解得2分圆的方程为4分（）把代入方程，解得或，即点6分（1）当轴时，可知=0 （2）当与轴不垂直时，可设直线的方