数列求和课件

1、数列求和的技巧一、公式求和法1.等差数列前n项和公式Sn=Sn=n(a1+an)22.等比数列前n项和公式na1(1-q )1-q = a1 - anq 1-q na1（q=1）（q=1）=na1+n(n-1)d2例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)解：1，1/a,1/a21/an是首项为1，公比为1/a的等比数列，原式=原因：上述解法错误在于，当公比1/a=1即a=1时，前n 项和公式不再成立。例1求和： 1+(1/ a)+(1/a2)+(1/an)2.bn: Sn=练习:求下列各数列的前n项和Sn:1.an:1,3,5,2n-1,Sn=n21- , + n 1 例2.求

2、数列 + 2 3 , + 的前n和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1二、分组求和法（分组转化法）二、分组求和法（分组转化法） , + n 1 例2.求数列 + 2 3 , + 的前n项和 。 . , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 ncn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）项的特征反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差n 一个等比

3、2n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。（请见下一张相应的例题） 练习:1.求数列 2+3, 2 +3 , 2 +3 , , 2 +3 , 的前n项和。 .2233nn.Sn=2 + -n+1n+132272.求Sn=1 +2 +3 + +n 。 123122n 12. 1 23.求数列9，99，999，.的前n项和n通项：10n -14.求数列5，55，555，.的前n项和n通项:5(10n -1)/9aSn=a +2a +3a + +(n-1)a +na.234nn+1 解:由Sn=a+2a +3a + +(n-1)a +na .2

4、3n-1n得两式相减得 (1-a)Sn= a+a +a + +a +a -na.23n-1nn+1=n+1a(1-a )n1-a 2(1-a )a(1-a )n- naSn= nan+11-a 例3.求Sn= a+2a +3a + +(n-1)a +na (a1) nn-1.32三、错位相减求和法aSn=a +2a +3a + +(n-1)a +na.234nn+1三、错位相减求和法 例3 求Sn= a+2a +3a + +(n-1)a +na (a= 1) .23n-1ncn=anbn(an为等差数列,bn为等比数列)项的特征练习2n1.求Sn=1 + + + + +423322nn-1n+

5、12. 2 2nSn= 3-n+32四、裂项相消求和法（裂项法）125例4Sn= + + + + +1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(3n-1)(3n+2)1 21 5=-1 3( )1251 2=1 7( )+1 5=+1 13( )1 51 8158=1 19( + )1 81 1118111581 3( - )1 51 8=18111 3( - )1 81 11=.1(3n-4)(3n-1)=13n-413n-113( - )1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113( - )解： Sn= + + + + +1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(

6、3n-1)(3n+2)13n-413n-1- .13n+213n-1- 1 81 11- 1 51 8- 1 21 5-13= ( + + + + + ) 12= ( - ) 13n+213n6n+4= 1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113( - )cn=1 3( )1 81 11- + + .= + + + 1 3( )1 21 5-1 51 8- 1 3( )13n-413n-1- 13n+213n-1- 13n-413n-113( - )13n+213n-113( - )125求Sn= + + + + +1251581811.1(3n-4)(3n-1)1(3n-1)(3n

7、+2)1 21 5=-1 3( )1581 3( - )1 51 8=18111 3( - )1 81 11=.1(3n-4)(3n-1)=13n-413n-113( - )1(3n-1)(3n+2)=13n+213n-113( - )（数列an是等差数列）项的特征四、拆项相消求和法（裂项法） 练习：求Sn= + + + + 112123134.1 n(n+1)n (n+1)Sn= 拆通项注意裂项相消法的关键： 将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。常见的拆项公式：练习：（求和）五、倒序相加法教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！例5：已知lg

8、(xy)=a,求lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将Sn顺着写，再将Sn倒着写，最后将两个Sn相加。lgyn+lg(xyn-1)+lg(x2yn-2)+lgxn2lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n+lg(xy)n (n+1)lg(xy)n n(n+1)lgxyn(n+1)a/2项的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=例6：1-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=？局部重组转化为常见数列6.并项求和交错数列，并项求和（-1）n bn型函数形式为n的一次或二次函数形式或（-1）n+1练习10：已知Sn=-1+3-5+7+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=-21数列求和方法小结一、公式求和法:二、分组求和法（分组转化法）：三、错位相减求和法：四、拆项相消求和法（裂项法）：cn=an+bn(an,bn为等差或等比数列)cn=anbn(an为等差数列,bn为等比数列)五、倒序相加法:（数列an是等差数