积分变换第讲拉普拉斯变换

1、积分变换第讲拉普拉斯变换1第1页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五拉普拉斯变换2第2页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五对于一个函数j(t), 有可能因为不满足傅氏变换的条件, 因而不存在傅氏变换.但是对之进行某些处理后，便可进行傅氏变换了。因此, 首先将j(t)乘上u(t), 这样t小于零的部分的函数值就都等于0了；而大家知道在各种函数中, 指数函数ebt(b0)的上升速度是最快的了, 因而e-bt下降的速度也是最快的.因此, 几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上e-bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在。3第3页，共35页，2

2、022年，5月20日，11点51分，星期五tf(t)Otf(t)u(t)e-btO4第4页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五对函数j(t)u(t)e-bt(b0)取傅氏变换, 可得5第5页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉氏变换式-单边拉氏变换), 记为F(s)=L f(t)F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数). 而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为f(t)=L -1F(s) 也可记为f

3、(t)F(s).6第6页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五例1 求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义, 有这个积分在Re(s)0时收敛, 而且有7第7页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).根据(2.1)式, 有这个积分在Re(s)k时收敛, 而且有其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)Re(k)8第8页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足:1, 在t0的任一有限区间上分段连续2, 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数,

4、 即存在常数M0及c0, 使得|f(t)|Mect, 0tc上一定存在, 右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在Re(s)c的半平面内, F(s)为解析函数.9第9页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五MMectf(t)tO10第10页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五证 由条件2可知, 对于任何t值(0t0 (即bc+e=c1c), 则|f(t)e-st|Me-et.所以根据含参量广义积分的性质可知, 在Re(s)c1c上拉氏变换的积分不仅绝对收敛而且一致收敛.11第11页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五

5、在(2.1)式的积分号内对s求导, 则由此可见, 上式右端的积分在半平面Re(s)c1c内也是绝对收敛且一致收敛, 从而微分与积分可以交换顺序。12第12页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五因此得这就表明, F(s)在Re(s)c内是可微的. 根据复变函数的解析函数理论可知, F(s)在Re(s)c内是解析的.13第13页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换14第14页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五同理可得15第15页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期

6、五G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经常应用的G-函数定义为利用分部积分公式可证明16第16页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五例4 求幂函数f(t)=tm (常数m-1)的拉氏变换.为求此积分, 若令st=u, s为右半平面内任一复数, 则得到复数的积分变量u. 因此, 可先考虑积分17第17页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五积分路线是OB直线段, B对应着sR=rRcosq+jrRsinq, A对应着rRcosq, 取一很小正数e, 则C对应se=recosq+jresinq, D对应recosq. 考察R, 的情况.qaODCAt (

7、实轴)虚轴Bv18第18页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五根据柯西积分定理, 有19第19页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五20第20页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五21第21页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五同理22第22页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五23第23页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五例5 求周期性三角波且f(t+2b)=f(t)的拉氏变换bOb2b3b4btf(t)24第24页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五

8、25第25页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五26第26页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五对一般周期函数也成立27第27页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五满足拉氏变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处有界时, 积分中的下限取0+或0-不会影响其结果. 但如果f(t)在t=0处包含脉冲函数时, 就必须明确指出是0+还是0-, 因为28第28页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五当f(t)在t=0处有界时, 则当f(t)在t=0处包含了脉冲函数时, 则29第29页，共35页，2022年，5月20日，11点5

9、1分，星期五为了考虑这一情况, 需将进行拉氏变换的函数f(t), 当t0时有定义扩大为当t0及t=0的任意一个邻域内有定义. 这样, 原来的拉氏变换的定义但为了书写方便起见, 仍写成(2.1)式的形式.30第30页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五例6 求单位脉冲函数d(t)的拉氏变换.解：31第31页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五例7 求函数f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)(b0)的拉氏变换.解：32第32页，共35页，2022年，5月20日，11点51分，星期五在今后的实际工作中, 我们并不要求用广义积分的方法来求函数的拉氏变换, 有现成的拉氏变换表可查, 就如同使用三角函数表, 对数表及积分表一样. 本书已将工程实际中常遇到的一些函数及其拉氏变换