数字电子技术10课件第2章

1、数字电子技术主讲人 沈阳工业大学软件学院 Shenyang University of Technology王德新第二章 逻辑代数基础第二章 逻辑代数基础2 逻辑代数基础内容 2.2 逻辑代数的基本运算 2.3 逻辑代数的基本定理及规则 2.4 逻辑函数的性质 2.5 逻辑函数的化简 2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念 逻辑状态 用不同的数字表示不同的事物或者事物的不同状态，称为逻辑状态 符号 1 和 0来表示两种相互对立的状态（如对与错、有与无、开与关，是与非、接通和断开等）2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念 逻辑0状态

2、和逻辑1状态 事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念 逻辑 是指事物的因果关系 逻辑运算 当两个数字代表两个不同的逻辑状态时，可以按照它们之间存在的因果关系进行推理运算，称之为逻辑运算2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念 逻辑代数 1849年英国数学家乔治.布尔(George Boole)首先提出，用来描述客观事物逻辑关系的数学方法称为逻辑代数 逻辑代数也称为布尔代数 分析和设计数字逻辑电路的主要数学工具2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念

3、 逻辑变量 逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母ABC等表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念 逻辑函数 设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1A2，An。输出逻辑变量为F，当输入取值确定后，输出值就被唯一地确定下来，则称F是A1A2，An的逻辑函数。记为F=f（ A1 ， A2，An）2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念 逻辑函数的表示方法 真值表(穷举法) Truth Table 逻辑表达式 Algebraic Forms of Switching Funct

4、ions 卡诺图 Karnaugh MAP2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念真值表 真值表：是由逻辑变量（设有n个）的所有可能取值组合（2n）及其对应的逻辑函数值所构成的表格 对应这些输入组合，真值表就有2n行，其中输入组合在左边，输出函数值列在右边 为了不遗漏或重复，输入变量的取值组合最好按二进制递增（或递减）的顺序排列真值表2.1 逻辑代数中的几个概念 真值表能直观、明了地反映输入变量取值和函数值的对应关系，即逻辑功能，但变量多时，表格比较繁琐 一个确定的逻辑函数只有一个逻辑真值表，即真值表具有惟一性真值表输入变量A B C输出Y1 Y2 输入变量所有可能的取值输出对

5、应的取值2.1 逻辑代数中的几个概念 用真值表描述逻辑函数真值表 A B F 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 12.1 逻辑代数中的几个概念 F=f（A，B）的真值表如下：其中A，B为输入逻辑变量，F为输出函数 如两个逻辑函数具有相同的真值表，则称这两个函数是等价的函数等价2.1 逻辑代数中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念逻辑表达式 是由逻辑变量和与、或、非三种逻辑表达式逻辑运算构成的代数表达式 任何逻辑函数不论多复杂，都可由逻辑表达式来描述 上表所示逻辑函数，可用F=ab来表示，式中“”是与运算符号 逻辑表达式表示逻辑函数，形式简洁，书写方便，便于推演、变换2.1 逻辑代数

6、中的几个概念2.1 逻辑代数中的几个概念卡诺图卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能组合的小方格所构成的图形 逻辑函数的三种表示方法各有特点，适用于不同的场合，可方便地相互转换 对于一给定的逻辑函数，其真值表与卡诺图表示方法惟一确定，而逻辑表达式可以有多种形式1953年,美国卡诺提出第二章 逻辑代数基础2 逻辑代数基础内容 2.2 逻辑代数的基本运算 2.3 逻辑代数的基本定理及规则 2.4 逻辑函数的性质 2.5 逻辑函数的化简 2.1 逻辑代数中的几个概念2.2 逻辑代数的基本运算2.2 逻辑代数的基本运算 逻辑代数的三种基本运算与运算1或运算2非运算32.2 逻辑代数的基本运算2.2 逻辑代数

7、的基本运算 逻辑代数的三种基本运算与运算1或运算2非运算3与运算2.2 逻辑代数的基本运算 开关A，B串联控制灯泡Y1 与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Y=AB 或 Y=AB，又叫逻辑乘,也可以将运算符省略定义两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：功能表实现与逻辑的电路称为与门。与

8、门的逻辑符号：逻辑符号与运算2.2 逻辑代数的基本运算 与门的逻辑符号1 A B F C A B F C 美国标准标准符号或运算2.2 逻辑代数的基本运算 开关A，B并联控制灯泡Y2 或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：定义两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：+A、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+B真值表功能表逻辑符号或运算2.2 逻辑代数的基本运算 或门的逻辑符号2 A B F C 美国标准标准符号1

9、非运算2.2 逻辑代数的基本运算 开关A控制灯泡Y3 非逻辑的定义：非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：定义实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：Y=AA断开，灯亮。A接通，灯灭。真值表功能表逻辑符号非运算2.2 逻辑代数的基本运算 非运算又称为逻辑非，或称为“求补”，还可记为：F=A或A，A叫原变量，A 称为反变量3 在数理逻辑中，逻辑非是逻辑否定的含义，A是事件F成立的前提条件，若A成立，则F不成立，若A不成立则F成立，这种前提与结论之间的因果关系称为“逻辑非”非运算2.2 逻辑代数的基本运算 非门的逻辑符号3

10、 美国标准标准符号与、或、非的逻辑符号2.2 逻辑代数的基本运算4 与、或、非的逻辑符号 第二章 逻辑代数基础2 逻辑代数基础内容 2.2 逻辑代数的基本运算 2.3 逻辑代数的基本定理及规则 2.4 逻辑函数的性质 2.5 逻辑函数的化简 2.1 逻辑代数中的几个概念2.3 逻辑代数的基本定理及规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则常量之间的关系12.3 逻辑代数的基本定理及规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则基本公式2分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。重叠律基本定理3利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证AB=BA：基本定理3 证明分配率：A+BC=(A+B)(A+

11、C)证明(A+B)(A+C)=AA+AC+BA+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AC+AB+BC等幂率AA=A=A(1+C+B)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=12.3 逻辑代数的基本定理及规则 用真值表证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)2.3 逻辑代数的基本定理及规则ABC = (AB)(AC) A B C (BC) ABC A+B A+C (AB)(AC)0 0 0 0 0 10 1 00 1 1 0 01 0 1 1 01 1 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1

12、 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 常用公式4分配率A+BC=(A+B)(A+C)互补率A+A=10-1率A1=1常用公式4互补率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1常用公式4 由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含同一因子的原变量和反变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的推广吸收律反演律分配律结合律交换律重叠律互补律公 式 101律对合律名 称 公 式 2基 本 公 式2.3 逻辑代数的基本定理及规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则逻辑代数的基本规则5 代入原则 任何一个含有变量A的等式，如果将所有

13、出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则 代入原则 例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：2.3 逻辑代数的基本定理及规则逻辑代数的基本规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则5反演规则 对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。逻辑代数的基本规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则5对偶规则 对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“”换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y，Y称为函数Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：对偶规则2.3 逻辑代数的基本定理及规则 如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证