不等式的基本性质课件

1、第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质第一讲不等式和绝对值不等式【自主预习】1.两个实数a,b的大小关系a-b0 a-b=0 a-b0 a-b=0 a-bb_.(2)传递性:ab,bc_.(3)可加性:_a+cb+c.bcab2.不等式的基本性质bcab(4)可乘性:如果ab,c0,那么_;如果ab,cb0,那么an_bn(nN,n2).(6)开方:如果ab0,那么 _ (nN,n2).acbcac(4)可乘性:如果ab,c0,那么_;acb【即时小测】1.若ab0,则下列结论不正确的是()A.a2b2B.aba2【解析】选A.因为ab0,所以0-b2x(xR).(2)a5+b

2、5a3b2+a2b3(a,bR).(3)a2+b22(a-b-1).其中正确的个数()A.0B.1C.2D.32.下列不等式:【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+20,所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定,所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20.所以(3)正确.【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+20,【知识探究】 探究点不等式的基本性质1.若ab,cd,那么a-cb-d吗?提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性.如21

3、,51,但2-51-1不成立.【知识探究】 2.若ab,cd,一定有acbd吗?提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.2.若ab,cd,一定有acbd吗?【归纳总结】1.符号“”和“”的含义“”与“”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.【归纳总结】2.性质(3)的作用它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+bcac-b.性质(3)是可逆的,即aba+cb+c.2.性质(3)的作用3.不等式的单向性和双向性性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.3.不等式

4、的单向性和双向性4.注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“nN,且n2”都需要注意.4.注意不等式成立的前提条件类型一作差法比较大小【典例】设mn,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么?提示:常用作差比较法.类型一作差法比较大小【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4)=(m-n)m3-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(

5、mn3-n4)又mn,所以(m-n)20,因为 所以x-y0,故xy.又mn,所以(m-n)20,【方法技巧】作差比较法的四个步骤【方法技巧】作差比较法的四个步骤【变式训练】1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_.【变式训练】【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+110,所以f(x)g(x).答案:f(x)g(x)【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-12.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系.【解析】x3+y3-x2y-xy2=x2(x-y

6、)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小因为x0,y0,所以(x-y)2(x+y)0,所以x3+y3x2y+xy2.因为x0,y0,类型二不等式性质的简单应用【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)ab0,则 (2)cab0,则 (3)若 ,则adbc.(4)设a,b为正实数,若a- b- ,则ab0,所以ab两边同乘以得 得 ,故正确.(2)因为c-a0,c-b0,且c-a0,又ab0,所以 ,正确.【解析】(1)因为ab0,所以ab两边同乘以(3)由 ,所以 0,即adbc且cd0或adbc且

7、cd0,(4)因为a- 0,b0,所以a2b-bab2-aa2b-ab2-b+a0,ab(a-b)+(a-b)0(a-b)(ab+1)0,所以a-b0,即ab,正确.(4)因为a- 0,b0,【方法技巧】1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧(1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明.(2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题时用处很大.【方法技巧】2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项(1)倒数法则要求两数同号.(2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定.(3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.2.运用

8、不等式的性质判断命题真假的三点注意事项【变式训练】1.下列命题中正确的是_.若ab0,cd0,那么 若a,bR,则a2+b2+52(2a-b).【变式训练】1.下列命题中正确的是_.【解析】因为ab0,cd0,所以 0,故 错误.a2+b2+5-2(2a-b)=a2+b2+5-4a+2b=(a-2)2+(b+1)20,所以正确.答案:【解析】因为ab0,cd0,2.若ab0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由.2.若ab0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由.【解析】(1)成立.由ab0得aa-b0,所以则 (2)成立.因为ab0,所以a+bb0,则 所以 【解析】(1)成立.由ab0得a

9、a-bb0,cd0,求证: 【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么?提示:证明的关键是由不等式的性质得到a-c与b-d的大小关系.类型三利用不等式的性质证明简单不等式【证明】因为cd-d0,又ab0,所以a-cb-d0,所以0 ,再由0ba,所以 【证明】因为cd-d0,【延伸探究】1.(改变问法)本题条件不变,证明: 【延伸探究】【证明】因为cd-d0,所以 又ab0,所以 所以 同乘以-1得 【证明】因为cd-d0,2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e0”,其他条件不变,证明: 【证明】因为cd-d0,又ab0,所以a-cb-d0,所以(a-c)2(b-d)20,所以 又e0,所

10、以 2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“eb0,cd0.求证: 【证明】因为ab0,所以0d0,所以00,b0,c0,d0,且 ,求证: 【证明】因为a0,b0,c0,d0且 ,所以adbc,所以ad+cdbc+cd,即d(a+c)c(b+d),所以 2.已知a0,b0,c0,d0,且 ,求证:自我纠错作差法比较大小【典例】设a+b0,n为偶数, 的大小关系为_.自我纠错作差法比较大小【失误案例】【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b0且没有明确字母的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对a0,b0和a,b有一个负值的情况加以讨论.正确解答过程如下:分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.【解析】 (1)当a0,b0