常微分期终考试试卷doc

1、常微分期终考试一试卷(1).doc常微分期终考试一试卷(1).doc6/6常微分期终考试一试卷(1).doc感谢赏析常微分期终考试一试卷(1)班级：学号：姓名：一、填空题（30%）1、方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若X1(t),X2(t),Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性没关的充要条件是。、形如_的方程称为欧拉方程。、若(t)和(t)都是xA(t)x的基解矩阵，则(t)和(t)拥有的关系是。、当方程的特色根为两个共轭虚根是，则当其

2、实部为_时，零解是牢固的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、ydx(xy3)dy0、xxsintcos2t感谢赏析感谢赏析、若A21试求方程组xAx的解(t),(0)1并求142expAt、(dy)34xydy8y20dxdx、求方程dyxy2经过（0，0）的第三次近似解dx感谢赏析感谢赏析6.求dxxy1,dyxy5的奇点,并判断奇点的种类及牢固性.dtdt三、证明题（）、n阶齐线性方程必然存在n个线性没关解。试卷答案一填空题MNMN、yx(x)yx(y)NM、dyp(x)y2Q(x)yR(x)yyzdx、dy()nu(x,y)yne(n1)p(x)dxdxpxyQxy、wx1(t),x2

3、(t),xn(t)0、ndnydn1dyxdxna1dxn1an1dxany0、(t)(t)C、零牢固中心感谢赏析感谢赏析二计算题M1,N1、解：因为yx，所以此方程不是合适方程，方程有积分因子(y)e所以解为1dxy2dylny211dxxy3ye，两边同乘得dy0y2y2yy2y3xxydycy2yxy2c即2xy(y2c)别的y=0也是解y2、线性方程xx0的特色方程210故特色根if1(t)sinti是特色单根，原方程有特解xt(AcostBsint)代入原方程A=-1B=0f2(t)cos2t2i不是特色根，2原方程有特解xAcos2tBsin2t代入原方程A1B=03所以原方程的解

4、为xc1costc2sint1tcost1cos2t23、解：p()212690解得1,23此时14k=1n121v(t)3t1ti(A3E)i13t1t(12)ei0i!et(2)2221n1tii由公式expAt=et(AE)得i!i0expAt3tt(A3E)3t10t113t1tteEe0111et1t感谢赏析感谢赏析dy38y2dyp38y2、解：方程可化为xdx令dyp则有x4yp（*）4ydxdx（*）两边对y求导：2y(p34y2)dpp(8y2p3)4y2pdy4y2)(2ydp0由2ydp1(p)2将y即(p3p)p0得pcy2即ydydycc22pxc22p代入（*）即方

5、程的含参数形式的通解为：4c2x2p4c(p)2yc为参数14x3也是方程的解又由p34y20得p(4y2)3代入（*）得：y270y00y0 xx21xdx20、解：xx2x2x52y0(x)dx042203y0(xx410 x7x2x511x8x)dxxx04400202204400160、解：由xy103，-2）令X=x-3,Y=y+2则y5解得奇点（x0dxyxdtdyyxdt110故有唯一零解（0，0）因为=1+111感谢赏析感谢赏析1122112220得1i故（3，-2）由11为牢固焦点。三、证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程必然存在满足以下条件的解：x1(t0)1,x2(t0)0,xn(t0)0 x(t0)0,x(t0)1,xn(t)0120 xn1(t0)0