实二次型的正定性与正定矩阵课件

1、6.4 实二次型的正定性与正定矩阵定义1 有实二次型 , 如果对任意实向量有 ，则称二次型 为正定二次型 称n阶实对称矩阵A为正定矩阵.一、 正定二次型、正定矩阵的概念例 是否为正定二次型?【结论】单位阵为正定矩阵.定义2 有实二次型 , 如果对任意实向量有 ，则称二次型 为负定二次型 称n阶实对称矩阵A为负定矩阵.定义3 如果对任意实向量 , 有 则称二次型 为半正定(半负定)二次型 称n阶实对称矩阵A为半正定(半负定)矩阵.6.4 实二次型的正定性与正定矩阵定义1 有实二次型 例如 (1) 其中(2)(3)正定半正定负定【注】如果对某些向量X,实二次型 为正,而对另一些向量X,实二次型 为

2、负, 则称该二次型是不定的.例如 (1) 其中(2)(3)正定半正定负定【注二、正定矩阵的充分必要条件 准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数. 例1 判断矩阵 是否为正定矩阵？ 准则1推论 A为正定矩阵 (4)判断是否正定？【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.二、正定矩阵的充分必要条件 准则1 n阶实对称矩阵A正定 准则2 n阶实对称矩阵A正定 A与n阶单位阵合同 准则2推论 （1）n阶实对称矩阵A正定 ，P为实数域上的可逆矩阵；与A合同的对角阵，对角线上元素为正；A的正惯性指数为n.（2）n个变量的实二次型正定 标

3、准形为 实数域上的规范形为 准则2 n阶实对称矩阵A正定 A与n阶单位对于负定矩阵有类似的结论1. 实对称矩阵A负定 A的特征值全为负.二次型为负定的 二次型的负惯性指数为n2. 实对称矩阵A负定, 则当n为偶数时, 当n为奇数时,A正定 -A负定二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定 对于负定矩阵有类似的结论1. 实对称矩阵A负定 定义2 n阶矩阵A的前k行k列交叉处的元素，按原来顺序构成的行列式 ，称为A的顺序主子式.例如 ， ， 准则3 n阶实对称矩阵A正定 A的全部顺序主子式都大于零.续例1 用准则3判断矩阵 是否为正定矩阵 ？定义2 n阶矩阵A的前k行k列交叉处的元素，按原来顺例如

4、 例2 若二次型是正定的, 则 t 的取值范围?【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用顺序主子式求解.二次型矩阵为【注】需实对称阵A的全部顺序主子式都大于0才可判定A正定.例2 若二次型是正定的, 则 t 的取值范围?【解析】已知若n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则有1 ，A可逆；【注】 逆不真. 例如3A主对角线上元素三、 正定矩阵的性质【注】 逆不真.例如2 (k为正整数) ， 均正定；若n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则有1 ，A5A正定, 且A与B合同 ，则 B 也正定. 6对角阵 正定4设A、B正定，则 A+B 也正定. 5A正定, 且A与B合同 ，则 B 也正定. 6对角

5、阵【总结】正惯性指数为n.n个变量的实二次型 正定-f 为负定二次型.实对称矩阵A为正定矩阵实数域上的规范形为标准形为A的特征值均大于0A与单位阵E合同存在可逆阵P, 使得A的各阶顺序主子式 0【总结】正惯性指数为n.n个变量的实二次型 例5 证明（1）若 正定，有实数域上矩阵 ， ， 则 正定.【解析】看齐次线性方程组PX=O, 其为m个未知量, n个方程的齐次线性方程组, 由 , 则该方程组只有零解.则对任意m维非零列向量X, 有于是有故 正定.例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 证明A为正定矩阵.例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明例5 证明【解析】看齐次线性方程组PX=O

6、, 其为m个未知（2）有实数域上的n阶方阵A可逆，则 正定.【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量XO, 有AXO, 所以 正定.【法一】由A可逆, 则有 , 则与单位阵合同, 所以 正定.【解析】要注意首先要说明 是实对称矩阵.（2）有实数域上的n阶方阵A可逆，则 正定矩阵之间的关系等价A , B 都为mn 矩阵, 若存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得 则称A与B等价.相似设A, B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C，使得 ，则称A与B合同，记作 .设A, B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵U，使得 ，则称A与B相似，记作AB .合同矩阵之间的关系等价A , B 都为mn 矩阵, 若存在m阶例2设A和B为实对称矩阵，则（ ）成立.（A）ABA与B合同；AB（B）A与B合同CA(B)反例则A与B合同, 但不相似.例1设A和B为n阶矩阵，则（ ）成立.（A）ABA与B合同；A和B等价；（C）AB（B）A和B等价A与B合同；（D）A和B等价AB（E） A与B合同 AB例2设A和B为实对称矩阵，则（ ）成立.A与B合同；基本概念 正定二次