金融数学复习题练习题

1、文档编码 : CZ8W4Y7L3U5 HT2Y10K10K8N5 ZS4S2K10W2T101. 某人借款 1000 元,年复利率为 9%,他预备利用该资金购买一张 3 年期,面值为 1000 元的国库券,每年末按息票率为 8%支付利息,第三年末除支付 80元利息外同时偿付 1000 元的债券面值, 假如该债券发行价为 900 元,请问他做这项投资是否合适？2. 已知： 1）1 imm 1 i 5 5 1 i 6 6 1 求 m .2）1 d m m 1 d 5 5 1 d 6 6 1 求 m .由于 1 i m m m 1 i n n n 1 i由于 1 d m m m 1 d n n n

2、1 d3. 假设银行的年贷款利率 12%,某人从银行借得期限为 1 年,金额为 100 元的贷款；银行对借款人的仍款方式有两种方案：一、要求借款人在年末仍本付息；二、要求借款人每季度末支付一次利息年末仍本；试分析两种仍款方式有何区分？哪一种方案对借款人有利？4.设m1,按从小到大的次序排列i,im ,d,dm,解：由5.idididdm1 dm dd m imdndm imim1imimi1ie1,m l i m im m l i m dmddmimi两项基金 X,Y 以相同的金额开头,且有： （1）基金 X 以利息强度 5%计息；（2）基金 Y 以每半年计息一次的名义利率j 运算；（3）第

3、8 年末,基金 X中的金额是基金 Y 中的金额的 1.5 倍；求 j.6.已知年实际利率为8%,乙向银行贷款 10,000 元, 期限为 5 年,运算以下三种仍款方式中利息所占的额度： 1）贷款的本金及利息积存值在第五年末一次仍清； 2）每年末支付贷款利息,第五年末归仍本金； 3）贷款每年年末均衡偿仍（即次用年金方式偿仍）三种仍款方式乙方支付的利息相同吗 7. 某人在前两年中,每半年初在银行存款 款 2022元,每月计息一次的年名义利率为. 请你说明缘由？1000 元,后 3 年中,每季初在银行存 12% 运算 5 年末代储户的存款积存值；8.期末付款先由 1 到 n 递增付款,然后再由n1到

4、 1 的递减付款形成的变额年金称为虹式年金,试求付款期利率为 解：现值为：i 的虹式年金的现值和终值；AA222333,.,n1 n1nn1n1 n1,.,2n1nAn2234,.,n1 nnnn1 n2,.,2n1n2nA3,.,n,.,2n1n1 12 1A 12同理可证终值公式；9. 固定养老保险方案：责任：未退休时,每月初存入确定金额（养老保险金）25 岁29 岁,月付 200 元,30 岁-39 岁,月付 300 元,40 岁49 岁,月付 500 元,50 岁59 岁,月付 1000 元,具体方式：权益：从退休时（ 60 岁）,每月初领取 P 元退休金,始终领取 20 年；问题：在

5、给定年利率 i 10 %,分别运算从 25,30,40,50 岁参加养老保险,60 岁以后月退休金为多少？查 表 可 得 ：a20 | 0. 18 . 5136,s 35 |0 . 1271 .0244,s 30| 0 .1164 . 4940,s 20 | 0. 157 . 2750,s 10 | 0. 115. 9374；10某人继承一笔遗产： 从现在起每年初可得10000 元；该继承人以 10%年利率将以产收入存入银行, 到第五年底, 在领取第六年年金之前将遗产的权益转卖给他人,然后将前五年的存款收入取出并和转卖收入一并做一项年收益率为 12%的投资项目；如每年底的投资回报是相同的,项目

6、有效期为 30 年；求投资人每年的回报金额；11 考虑以下两种等价的期末年金：A：首付 6000 元,然后每年削减 的水平直到永久；B：每年底固定付款 5000 元；100 元,直到某年（ k）,然后保持确定付款假如年利率为 6%,试求 k（近似整数）；解：方法一：价值等式：5000 a | 6000 100 k 1 ka | 6000 a k | 100 a k |0 . k6 kk k k5000 6000 100 k 1 6000 1 100 a k | k 解得 a k | 10,查表得 k 15方法二：价值等式：5000 a | 6000 100 k 1 a | 100 Da k 1

7、 |n a n |留意到 Da n | i 解得 ka | 10 查表得 k 15答：k 15；12 某人退休一次性获得退休金 Y 元,它将其中的一部分 X 用于投资回报率为Xi的永久基金, 另一部分用于投资回报率为j 的十年期的国债； 已知他前十年的收入是后十年的两倍,试确定他投资于永久基金占总退休金的比例；13 某汽车销售商方案实行以下两种零售策略：1）如一次性付清车款,零售价格为 2 万元；或2）以年利率 10%, 供应 4 年分期付款（按月付款） ；假如目前市场上,商业零售贷款月换算的年名义利率为 12%,试分析两种零售策略那种对消费者更优惠？14 十万元的投资每年底收回一万元,当不足

8、一万元时将不足一万元的部分与最终一次的一万元一次收回；假如每半年接转一次利息的年名义利率为 7%,试求收款次数和最终一次的收款金额；15考虑一个十年期的投资项目：第一年初投入者投入10000 元,其次年初投入5000 元,然后每年初只需投入修理费1000 元；该项目期望从第六年底开头有收益：最初为 8000 元,以后每年递增 1000 元；用 DCF 法运算该投资项目的价值；特别假如贷款利率为 10%,该项目是否有投资价值？16某项 10 年期贷款,年利率为 8%,假如仍款额同时以年利率为 7%在投资,求以下情形下的实际收益率：1）到期一次仍清；2）每年仍利息,到期仍本金；3）每年等额分期偿仍

9、；17某基金投资者：每年初投入确定本金,共投资10 年；基金本身的年回报率为 7%,年底支付；分别对再投资利率为 5% 和 8% 两种情形下,争辩投资者的实际收益率；18争辩以下模型假设下得再投资的实际收益率：1）每年末（一个计息期）投资 收益率为 i ；1 单位资金,每年（一个计息期）的直接投资2）投资的回报方式为：逐年（一个计息期）收回利息,终止时收回本金；3）同时将每年的利息收入以再投资利率为 j 进行再投资；资金流程图如下：19 投资者购买以下五年期的金融产品：1）每年底得到 1000 元；2）每年的收入可按年利率 4%再投资且当年收回利息；假如该投资者将每年的利息收入以年利率 3%再

10、投资,实际年收益率为4%；求该金融产品的购买价；20某投资者连续五年每年向基金存款 1000 元,年利率 5%,同时利息收入可以年利率为 4%投资；给出第十年底的累积余额表达式；211 万元的贷款方案 20 年分年度仍清,每年底仍款1000 元；假如贷款方可以将每年的仍款以年利率为 5%投资,运算贷款方的实际收益率；22某活期存款账户年初余额为1000 元, 4 月底存入 500 元,六月底和八月底分别提取 200 元和 100 元,年底余额为 1236 元,求该储户的年资本加权收益率；23某投资账户年初余额为 10 万元, 5 月 1 日的余额为 11.2 万元,同时投资 3万元, 11 月

11、 1 日余额将为 12.5 万元,同时提取 4.2 万元,在下一年的 1 月 1 日又变为 10 万元；分别用资金加权和时间加权求投资收益率；24某基金由两个投资人,甲年初在基金中有资金 1 万元,年中又投入 1 万元,乙年初有 2 万元,上半年收益率为 10%,下半年收益率为 20%,利用投资组合法运算甲乙应分得的收益；25债券 A,面值为 P ,收益率为 Ai ,无违约风险；债券 B,面值为 P ,收益率为 Bi ,违约概率为 p（0 p 1）,假如违约发生就到期债券的价值为 0,即债券 B 在到期时的价值为随机变量 X B 0 P B. 不违约. 违约；问题：在什么条件（P ,P , p

12、 ,i , Bi 中意什么关系）下,债券 A 和债券 B对投资者来说有相同的期望收益？分析：要使两债券在到期时有相同的期望收益,两债券期末的期望本利和应相同,所以应有关系：P A 1 i A E X B 1 i B 即：P A 1 i A P B 1 p 1 i B 26某按月摊仍的债务, 年实际利率为 11%,假如第三次仍款中的本金量为 1000元,运算第 33 次仍款中本金部分的金额；27某借款人借款 2022 元,年利率为 10%,要求两年内仍清；借款人以偿债基金方式仍款：每半年向基金存款一次,而且存款利率为季度挂牌利率 8%,求每半年应偿债基金的存款额；并构造偿仍表；28假设一笔贷款期

13、限为5 年,贷款利率为 10%,假如贷款人方案每年末的总付款额为： 1000元、 2022 元、 3000 元、4000 元和 5000 元；试分别用分期偿仍法 和偿债基金利率为 8%的偿债基金法运算原始贷款本金；基本概念：1.实际利率、单利法、复利法、均衡利率、单位度量期上贴现m 次贴现值的名义贴现率、单位度量期上结转m 次利息的名义利率、实际贴现率、标准年金、变额年金、永续年金、年金现值、永续年金的现值、年金终值、变动利率年金、支付利率原就、经受利率原就、利息结转周期、支付周期、投资项目的收益率、内涵酬劳率、2. 利率水平是受债券或货币的供求关系影响,准备利率水平的两种理论模型：可贷资金模

14、型和流淌性偏好模型；3. 一般情形下,在其他条件不变的情形下,收益率曲线随期限变化的规律是：期限越长,收益率越大,收益率是关于期限的单调增函数,或者说：长期利率大于短期利率；4.常见的用于说明利率期限结构的理论模型有纯粹预期假设、流淌性偏好假设、市场分割假设、区间（完全）偏好假设等；5. 影响债券供应曲线的因素：经济周期、预期通货膨胀率、政府活动规律；6. 影响债券需求曲线的主要因素有：经济周期、 价格风险、 流淌性、 预期利率、预期通货膨胀率；7.内涵酬劳率可以用来对投资项目进行评判：当内涵酬劳率大于投资者预先设定的利率时,投资项目可行；8. 投资收益率的运算方法主要有：币值加权平均法和时间

15、加权平均法；9. 投资收益的支配方法主要有：投资额法（投资组合法）和投资年法10. 当债券存在违约风险时,对风险的补偿方式有：提高收益率和降低发行价；11. 依据利息的支付方式不同债券可分为：零息债券和附息债券；影响债券价格的主要因素有：债券的到期时间、债券的息票率、可赎回条款、通货膨胀调整、税收待遇、债券的流淌性、违约风险；12. 债券的发行方式有：溢价发行、折价发行、平价发行；2已知： 1）1im 1i5 1i61求m.m562）1dm 1d5 1d6 1求m.m56由于1dimm 1inn1ii,im ,d,dm,mn由于1mm 1dnn1dmn4设m1,按从小到大的次序排列解：由i d

16、 i d i d m 1 m m d d d d m n m m i d d i m 1 m mi i i ii m 关于 m 单调减,而 d m 关于 m 单调增,又由于 m lim i m m lim d m m m d d i i10. 期末付款先由 1 到 n 递增付款,然后再由 n 1 到 1 的递减付款形成的变额年金称为虹式年金,试求付款期利率为 i 的虹式年金的现值和终值；解：现值为：AA222333,.,n1 n1nn1n1 n1,.,2n1nAn2234,.,n1 nnnn1 n2,.,2n1n2nA3,.,n,.,2n1n1 12 1A 12同理可证终值公式；11 考虑以下

17、两种等价的期末年金：A：首付 6000 元,然后每年削减 的水平直到永久；100 元,直到某年（ k）,然后保持确定付款B：每年底固定付款 5000 元；假如年利率为 6%,试求 k（近似整数）；解：方法一：价值等式：5000a|6000100k1 ka|6000ak|100ak|0.kkk6解得a k|10,查表得50006000100 k1 k6000 1k100 a k|kk15方法二：价值等式：5000 a| 6000100 k1 a|100 Da k1 |n a n |留意到 Da n | i 解得 ka | 10 查表得 k 15答：k 15；5 两项基金 X,Y 以相同的金额开头

18、,且有： （1）基金 X 以利息强度 5%计息；（2）基金 Y 以每半年计息一次的名义利率 j 运算；（3）第 8 年末,基金 X中的金额是基金 Y 中的金额的 1.5 倍；求 j.解：设两基金开头金额为单位1；SXexpj8dte8a 第八年末基金 X 的累计终值为：0b第八年末基金 Y 的累计终值为：SY 116由SX.15 S Y,8 e5 %15. 1j16解方程求出 j 即可；6已知年实际利率为8%,乙向银行贷款 10,000 元, 期限为 5 年,运算以下三种仍款方式中利息所占的额度： 1）贷款的本金及利息积存值在第五年末一次仍清； 2）每年末支付贷款利息,第五年末归仍本金； 3）

19、贷款每年年末均衡偿仍（即次用年金方式偿仍）；三种仍款方式乙方支付的利息相同吗 解：此题从投资者的仍款角度来考虑,率和年实际利率相同；. 请你说明缘由？不考虑仍款人的机会成本； 并假定贷款利1）一次仍清,期末累计值为：10000 18%514693.28利息金额为：14693 .28100004693 . 28元 2）每年支付的贷款利息为：100008 %800元 5年支付的总利息金额： 4000 元 3）每次偿仍金额：10000100002504.56 a5.008.399271总的仍款金额 2504.565 =12522.8 利息金额为： 2522.8 元 为什么会不一样呢？28假设一笔贷款

20、期限为5 年,贷款利率为 10%,假如贷款人方案每年末的总付款额为： 1000元、 2022 元、 3000 元、4000 元和 5000 元；试分别用分期偿仍法 和偿债基金利率为 8%的偿债基金法运算原始贷款本金；解： 分期偿仍法运算的仍款金额：L 0tn1R tt1000Ia5|0 .105 10 .1 510563.58（元）1000 10 .1a5|0 .1010.150 .620910001.13 .79078 0 .偿债基金法： 假设原始贷款额为 L ,就每年的利息金额为 iL ,每年向偿债基金的存款额为 1000 iL 0 , 2022 iL 0 ,., 5000 iL 0,这些

21、储蓄额按偿债基金利率 j 的累积值应为原始贷款本金,所以有L 0 1000 Is 5 | j iL 0 s 5 | j 1 0 . 08 s 5 | 0 . 08 5i 0. 1,j 0. 8,代入解得：L 0 1000 0 . 08 1 0 . 1 s 5 | 0 . 08 10524 . 69（元）但是上述运算有问题, 由于贷款人第一年支付的总金额（1000 元）不足以偿仍 当期 的利 息金 额（ 1052.469 元 ）这是需 要将不 足支付利息 的部分（1000-10052.469=-52.469 ）按 10% 的贷款利率本金化；相当于在第一年末仍过 1000 元后,本金额又增加了 52.469 元；假设原始贷款额为 L ,第一年末仍 1000 元后的贷款净额为：L 1 1 i L 0 1000,所以以后 4 年,每年向偿债基金的存款额已分别为：2022 iL ,3000 iL ,4000 iL ,5000 iL ,而这些存款案偿债基金利率 j 积存的期末值应为 1L ,即：L 1 1000 Is 4 | j 1000 iL 1