连续性随机变量及其概率密度

1、连续性随机变量及其概率密度第1页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三定义 如果对于随机变量 X的分布函数 F ( x )， 存在非负函数 f ( x ) , 使对于任意实数 x 有则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f ( x ) 称为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度。连续型随机变量的概念第2页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三xf ( x)xF ( x )分布函数 F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义-10-550.020.040.060.08第3页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三由定义知道，概率密度f

2、 (x) 具有以下性质f (x)0 x1概率密度的性质这两条性质是判定一个函数 f (x)是否为某 X的概率密度函数的充要条件第4页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三这是因为注 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题。第5页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三对数集 A (严格意义下要求可测性), 第6页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三（1） 设 X 是连续型随机变量, 有概率密度 f ( x ) ，则 （2）在 f ( x ) 的连续点处，有 6

3、密度函数与分布函数的关系第7页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三注 1、对于连续型的随机变量, 密度函数 唯一决定分布函数。 2、连续型随机变量的分布函数一定是 连续的；分布函数如果不连续就不 是连续型随机变量 ( 除了连续型 分布和离散型分布以外还存在其它 类型的分布 )。第8页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为解 由密度函数的性质求： 常数 c；第9页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三第10页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三第11页，共58页，2022年，5

4、月20日，19点19分，星期三例2 某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量。求 5个同类型的元件在使用的前 150小时内恰有 2个需要更换的概率。解 设 A = 某元件在使用的前150 小时内需要更换第12页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重伯努利试验 B = 5个元件中恰有2个的使用寿命不超过 150小时 第13页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三例3 设随机变量 X 具有概率密度 确定常数 k ； (2) 求 X 的分布函数 ；(3) 求第14页，共58页，2022年，5月20日

5、，19点19分，星期三解 (1)由 得 故，X 的概率函数为第15页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三(2)由 得第16页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三(3)当然，还可以用概率密度求概率。第17页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三例4 设连续型随机变量 X的分布函数为 确定 A、B 的值； (2) 求 X 的概率密度；(3) 求 第18页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三故有解 (1) 因为 X 是连续型随机变量， 所以F ( x )连续即第19页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三

6、因此第20页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三(3)(2) 由 得当然，还可以用概率密度求概率。第21页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三注 在 F ( x ) 导数不存在的点处，根据改变被积 函数在个别点处的值不影响积分结果的性质， 可以在 没意义的点处，任意规定 的值。第22页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三二 几种常用的连续型随机变量1、 均匀分布则称 X 在区间（a , b）上服从均匀分布，若连续型随机变量 X 的概率密度为记作第23页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三均匀分布密度函数的图形第24

7、页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三其分布函数为 第25页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三均匀分布的特性如果随机变量 X在区间（a , b）上服从均匀分布，则X 落在区间（a , b）中的任意一个子区间上的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。即随机变量 X 落在区间（a , b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。第26页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三Xabxll0即X第27页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三 例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班 车，如果某乘客到达此

8、站的时间是7:00 到7:30 之间的均匀随机变量，试求该乘客候车时间不 超过5分钟的概率。解 设该乘客于7时X 分到达此站则 X 服从区间 0 , 30 上的均匀分布第28页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三令 B =候车时间不超过5分钟则第29页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三2、 指数分布其中 0 为常数，则称X 服从参数为 的指数分布 。 若连续型随机变量 X 的概率密度为第30页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三指数分布密度函数的图形第31页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三则其分布函数为第32

9、页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三指数分布的应用指数分布具有“无记忆性”。所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布。对任意 s , t 0 , 有“无记忆性”：若X 服从参数为 的指数分布 ，则 指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。第33页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三例 设某日光灯的使用寿命服从参数 =2000的指数分布（单位：h）（1）任取一根这种灯管，求能正常使用1000h以上的概率。（2）某灯管已近正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。第34页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三其中， （ 0）

10、为常数，则称X 服从参数为， 的正态分布或高斯分布。 记作 若连续型随机变量 X 的概率密度为3、 正态分布第35页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三正态分布密度函数的图形第36页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三其分布函数为 第37页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三正态分布的应用若随机变量 X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加，则 X 服从正态分布。正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。例如 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高

11、度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩； 都服从或近似服从正态分布。第38页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三正态分布密度函数的几何特性第39页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三（1）曲线关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x)； （2）在 x = 时， f (x) 取得最大值（3）在 x = 时，曲线 y = f (x) 在对应的点处 有拐点；（4）曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线；（5）曲线 y = f (x) 的图形呈单峰对称状；第40页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，

12、星期三（1） 位置参数即固定 ，改变 的值，则f (x) 的形状不变，只是位置不同，沿着 x 轴作平移变换。正态分布密度函数 f (x) 的两个参数：第41页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三（2） 形状参数即固定 ，改变 的值，则 f (x) 图形的对称轴不变，而形状在改变。 越小，图形越高越瘦； 越大，图形越矮越胖。第42页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三当 = 0， = 1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布。其概率密度和分布函数分别为标准正态分布第43页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三标准正态分布密度函数的图形第4

13、4页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三标准正态分布分布函数的图形第45页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三第46页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三重要结论 若 ，则 1、3、2、第47页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三证明 1、 的分布函数为故第48页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三2、由 1 得3、由 2 得第49页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。根据上述结论，只要将标

14、准正态分布的分布函数制成表，就可以通过查表解决一般正态分布的概率计算问题。说明第50页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三例5 设随机变量 X N (0 , 1) ，试求（1） ；解 （1）（2） （2） 第51页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三解 （1）例6 设随机变量 X N (2 , 9) ，试求（1） ；（2） ； （3） 第52页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三（2）第53页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三（3）第54页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三若 X N ( , ) ，则 3 准则可以看到，X 的取值几乎全部集中在区间内，这在统计学上 称作 3 准则。第55页，共58页，2022年，5月20日，19点19分，星期三这说明，X 的取值几乎全部集中在-3