非线性动力分析方法

1、非线性动力分析方法第1页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四艺术认知与计算实验室 Mind Art ComputationOutline一、非线性动力系统二、经典非线性测量方法三、例子四、小结第2页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统1.线性与非线性 线性方程： y(t)=a*t+b1 非线性方程：Y(t)=cos(t)+b2;Y(t)=t2+b3 艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第3页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统2.加入动力学行为 记忆效应（与t相关）： 无记忆效应

2、（与t无关）： 艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第4页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统混沌： 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性不可重复、不可预测，这就是混沌现象。艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第5页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统典型非线性方程：人口模型：x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t)艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第6页，共28页，2022年，5

3、月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统混沌二分叉图：艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第7页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统Lorenz方程组：艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第8页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统3.吸引子及其特性吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在t 时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。 如：阻尼单摆有不动点吸引

4、子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第9页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四a.Point attractor 静止在定态艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第10页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统3.吸引子及其特性 b.Limit cycle 周期性运动艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第11页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统3.吸引子及其特性 c.Torus 准周期 不可通约

5、艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第12页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第13页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统3.吸引子及其特性 d.Chaotic attractor 具有收敛性 无周期 分型结构 “奇怪吸引子”艺术认知与计算实验室 Mi

6、nd Art Computation第14页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四一 非线性动力系统高维吸引子艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第15页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四二 经典非线性测量方法1.Lorenz 散点图艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第16页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四二 经典非线性测量方法2.Lyapunov 指数 Lyapunov 指数用于判断一个系统是否属于混沌系统。系统的Lyapunov 指数谱中存在正值,则表明该系统具有混沌特征。因此,

7、只要系统的Lyapunov 指数谱中最大的Lyapunov 指数为正,则该系统为混沌系统。艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第17页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四二 经典非线性测量方法艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation设 为多维相空间中两点的初始距离，经 n 次迭代后两点的距离为：式中指数 li 值可正可负。 表示沿该方向扩展， 表示沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。第18页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四二 经典非线性测量方

8、法艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation 稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的。系统只要有一个正值的就可出现混沌运动。 判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数 l 是否为正值。 第19页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation 吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数 的值决定的各种类型的吸

9、引子归纳如下： 吸引子类型 维数不动点 D = 0极限环D = 1二维环面D = 2三维环面D = 2奇怪吸引子（混沌）D = 23（非整数）超混沌D = 高于3非整数第20页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四二 经典非线性测量方法3.相关维度 C(r)为吸引子上两个随机点之间距离小于给定距离r的似然估计。是r的函数艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第21页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四二 经典非线性测量方法艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第22页，共28页，2022年，5月20日，3点35分

10、，星期四二 经典非线性测量方法4.K熵 K熵（柯尔莫哥洛夫熵） S熵（香农熵，信息论） 一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数之和。 艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第23页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四二 经典非线性测量方法在随机运动系统中，K熵是无界的；在规则运动系统中，K熵为零；在混沌运动系统中，K熵大于零，K熵越大，那么信息的损失速率越大，系统的混沌程度越大，或者说系统越复杂艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第24页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四三 例子正常人与癫痫发作时的比较1.EEG &2.相空间轨迹艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第25页，共28页，2022年，5月20日，3点35分，星期四三 例子3.相关维度艺术认知与计算实验室 Mind Art Computation第26页，共28页，2022年，5月20日，3点3