相似三角形知识点整理

1、相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。内容提要一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：反比性质：反比性质：更比性质：合比性质：（比例基本定理）涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。第二套：相似基本定理相似基本定理推论 (骨干定理)平行线分线段成比例定理 (基本定理)（应用于中相似三角形判定定理定理1定理2定理3Rt推论推论的逆定理推论二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符号“”表示，读作“

2、相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形 的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从

3、中探究新知识掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。相似三角形的传递性如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA29、三角形三条中线的交点叫做重心；三角形的重心到一个顶

4、点的距离，等于它到对边中点距离的的两倍。比例线段复习知识考点：本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。精典例题：【例1】已知，那么 。变式1：已知，若，则 。变式2：已知，求的值。变式3：已知，则的值为 。【例2】如图，在ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AEAF，EF的延长线交BC的延长线于点D。求证：CDBDCFBE。变式1：已知如图，D是ABC的边BC的中点，且，求的值。变式2：如图，BDDC53，E为AD的中点，求BEEF的值。例3图 例3图 MPEDCBA例2图1 GFE

5、DCBA【例3】如图，在ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。（1）求证：DEBC；（2）如图，在ABC中，DEBC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问：M是否为BC的中点？问题图 问题图 EDCBA【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，ABC中，AD是角平分线。求证：。 作业：比例线段填空题：三条平行线截两条直线填空，所得的 成比例。已知，则=_。线段b是线段a、 c的比例中项，若a=2，b=3，那么c= ，若xyz=259，

6、则 。 。如图，在ABC中，MNBC，若C=680，AM：MB1：2，则MNA=_度，AN：NC_。如图，ABC中，DEBC，AD=1，DB=2，AE=2，则EC= 。若 。 9、若，则=_10、如图，梯形ABCD中，DCMNEFAB，若DC：MN：EF：AB=1：2：3：工 4，则SCDMN：SNMEF：SFEAB= 。选择题：1如果，则等于（ ）（A）l （B） （C） （D）2如果d是a、b、c的第四比例项，则其比例为（ ）(A)a：b=c：d （B）a：b=d：c （C）a：d=b：c （D）d：a=b：c3已知，且，则=（ ）（A） （B） （C） （D）4D，E分别是ABC的边AB

7、，AC上的点，DEBC，如果，AE=15，那么EC的长是 （ ） （A）10 （B）22. 5 （C）25 （D）65如图，直线l1l2l3，直线AC和DF分别l1、l2、l3相交于A、B、C和点D、E、F，若AB=2，EF=1，则 （ ）（A） BCDE=2 (B) BCDE= (C) BCDE=2 (D) BCDE=6已知，那么下列式子成立的是（ ）（A） （B） （C） （D） 7如图，平行四边形ABCD中，AB=5，DF=1，AG=3，FG延长线交AD、CB延长线于E、H，则EF：FG：GH=( )。 (A)135 (B)122 (C)123 (D)1328若，则 （A） 251 (B

8、) 125 (C) (D) 解答题：已知：如图，l1l2l3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE和EF的长。2如图，在ABC中，点D在AC边上，A=DBC 求证：BC是AC和DC的比例中项。设。相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型 反A字型 反8字型母子型 旋转型 双垂直 三垂直相似三角形判定的变化模型 _D_C_B_A【例1】已知：在_D_C_B_A思考：已知在ABC中，外角平分线AD交BC延长线于D。求证： 2A2A11DCBDCB【例2】如图，在ABC中， D，E为BC的三等分点，F为AC中点，BF分别交AD，AE于M，N两点。求证： BMMNNF【例3】已知：如图，AOC中，A

9、OC120，AOC的平分线交AC边于B。 求证： 【例4】如图，在正方形ABCD中，M，N分别在AB，BC边上，且BMBN，又BPMC，垂足为P。求证：PDPN 【例5】已知如图正ABC和正DEF，BC和EF的中点均为M。 求证：ADCF【例6】如图，在ABC中，ABAC，ADBC于D，CFAB。BP的延长线交AC于E交CF于F。 求证：【例7】如图，CD是RtABC斜边上的高，M为AC的中点，MD与CB的延长线交于N。求证：BDCNCDDN 【例8】如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，BC边上一点F，使得EF3，DF4，DE5。那么，正方形ABCD的面积是_。 【例9】如图，等腰三角形ABC中，ABAC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，满足求证：ADBEAC；若BAC40，求DAE的度数。【例10】如图D 、E为线段BC上两定点，且BD=CE ，A为BC外一点，当点A运动到使1=2时，判断ABC的形状并证明。26.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3.一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边EFG，使EFG和矩