人教版高中数学必修一各章知识点总结

1、新课标人教版高中数学(必修1)知识点导学一、集合:1.集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,每一个对象叫集合的一个元素。2.元素的三个特性:(1)确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定集合的元素,(2)互异性:任何一个给定的集合中,任意两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素,(3)无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,判断两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3.集合的表示:列举法:把集合中的元素一一列举出来,用一个大

2、括号括起来,元素与元素之间用逗号隔开,描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法,语言描述法:如:不是直角三角形的三角形,数学式子描述法:如:不等式x-32的解集是xR|x-32或x| x-32。4.集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合,(2)无限集:含有无限个元素的集合,(3)空集:不含任何元素的集合,如:x|x2=-5。5.集合间的基本关系:(1)包含关系(子集):AB有两种可能:A是B的一部分,A与B是同一集合,集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A,记作AB或BA,(2)相等关系(若55且55，则5=5),如:A=x|x2-1=0与B=-1,1相等,

3、对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,就说集合A等于集合B,即:A=B,任何一个集合是它本身的子集,AA,真子集:如果AB且AB,就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA,若AB且BC,则AC,若AB且BA,则A=B,(3)不含任何元素的集合叫空集,记为,规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。6.集合的运算:(1)交集:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫A与B的交集,记作AB(读作A交B),即AB=x|xA且xB,(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫A与B的并集,记作

4、AB(读作A并B),即AB=x|xA或xB,(3)交集与并集的性质:AA=A,A=,AB=BA,AA=A,A=A,AB= BA,(4)全集与补集:补集:设S是一个集合,A是S的一个子集,即AS,由S中所有不属于A的元素组成的集合叫S中子集A的补集(余集或差集),记作:CSA,即CSA =xxS且xA,全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,通常用U来表示,性质:CU(C UA)=A,(CUA)A=,(CUA)A=U。函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=fg(x)增减减增二、函数概念及其性质:1.函数的概念:设A,B是两个非空数集,按照

5、某个确定的对应关系f,使得对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)(xA),x叫自变量,x的取值范围A叫函数的定义域,与x的值相对应的y值叫函数值,函数值的集合f(x)|xA叫函数的值域,(1)若只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域是指能使这个式子有意义的实数的集合,(2)函数的定义域,值域要写成集合或区间的形式,(3)能使函数解析式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,(4)求函数定义域的主要依据:分式的分母不为零,偶次方根的被开方数大于或等于零,对数式的真数大于零,指数和对数式

6、的底数大于0且不等于1,如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合,指数为零底数不等于0,实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义,(5)函数三要素:定义域,对应关系和值域,构成函数的三个要素是定义域,对应关系和值域,值域是由定义域和对应关系决定的,两个函数的定义域和对应关系完全一致,这两个函数是同一个函数,两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关,(6)值域:函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域,熟练掌握一次函数,二次函数,指数函数,对数函数的

7、值域,它是求解复杂函数值域的基础。2.函数图象:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x)(xA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫函数y=f(x)(xA)的图象,C上每一个点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),以满足y=f(x)的每一组有序实数对x,y为坐标的点(x,y)均在C上,记为C= P(x,y)|y=f(x),xA,图象C一般是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。3.区间:(1)区间的分类:开区间,闭区间,半开半闭区间,(2)无穷区间,(3)区间的数轴表示。4.映射:一般地,设A,B是两

8、个非空集合,如果按照某一个确定的对应法则f,使得对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射,记作f:AB,给定一个集合A到B的映射,aA,bB且元素a和元素b对应,元素b叫元素a的象,元素a叫元素b的原象,函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,集合A,B及对应法则f是确定的,对应法则具有方向性,强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的,映射f:AB应满足:(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个,(3)不要求集合B

9、中的每一个元素在集合A中都有原象。5.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析式的函数,在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的解析式,分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写出函数的几种不同解析式并用一个左大括号括起来,分别注明各部分自变量的取值范围,(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数,(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。6.复合函数:若y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA),称f,g的复合函数,如:,等。7.函数的单调性:(1)增减性:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区

10、间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,区间D称为y=f(x)的单调增区间,如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),或当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数,区间D称为y=f(x)的单调减区间,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质,(2)图象特点:函数y=f(x)在某个区间内是增函数或减函数,函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的(从右到左是下降的),减函数的图象从左

11、到右是下降的(从右到左是上升的),(3)函数单调区间与单调性的判定方法:A.定义法:任取x1,x2D且x11且*,当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,的次方根用符号表示,式子叫根式,叫根指数,叫被开方数,当是偶数时,正数的次方根有两个,它们是互为相反数,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示,正的次方根与负的次方根可以合并成(0),负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0,记作。当是奇数时,当是偶数时,(2)分数指数幂:,零的正分数指数幂为0,零的负分数指数幂没有意义,整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,(3)实数指数幂的运算性质:(1),(2),(3

12、)。2.指数函数及其性质:(1)指数函数的概念:一般地,函数叫指数函数,x是自变量,函数的定义域为R,(2)指数函数的图象和性质:向x轴正负方向无限延伸，函数的定义域为R，函数图象都在x轴上方，值域为即R+图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(0,1)，在中，总有和图象从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降图象从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升增函数,减函数,(二)对数函数:1.对数:(1)一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作(叫底数,叫真数,叫对数式),两个重要对数:常用对数:以10为底的对数,自然对数:以无理数为底的对数,(2)对数的运算性质:,换底公式:(

13、且,且,),(1),(2),2.对数函数:(1)对数函数的概念:函数且叫对数函数,是自变量,函数的定义域是(0,+),对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,都不是对数函数,只能称其为对数型函数,(2)对数函数的图像和性质:函数图象都在y轴右侧,函数的定义域为(0,),向y轴正负方向无限延伸,函数的值域为R函数图象关于原点和x轴及y轴都不对称,是非奇非偶函数,函数图象都过定点(1,0),在中，总有和增函数，图像从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降减函数，图像从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升,(三)幂函数:1.定义:一般地,形如的函数称为幂函数,为常数。2.性质:(1)幂函数在(0,+)上都有定义,图象都过定点(1,1),(2)当时,图象过原点且在区间上是增函数,当时,图象下凸,当时,图象上凸,(3)当时,图象在区间上是减函数,在第一象限,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限逼近轴正半轴。四、函数应用(函数的零点):1.使成立的实数叫函数的零点,2.函数的零