2022届吉林省延吉市高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1用1，2，3，4，5，6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是A24B32C36D482若直线把圆分成面积相等的两部分，则当取得最大值时，坐标原点到直线的距离是（ ）A4 B C2 D3在复平面内

2、，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面的法向量，则直线l与平面的位置关系是A垂直B平行C直线l在平面内D相交但不垂直5将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为（ ）ABCD6在边长为2的菱形中，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（ ）ABCD7已知的边上有一点 满足，则可表示为( )ABCD8已知函数，则的解集为（）ABCD9已知是定义在上的函数，且对任意的都有，若角满足不

3、等式，则的取值范围是（ ）ABCD10复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A1+iB1iC1+iD1i11若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）ABCD12已知分别是的内角的的对边，若，则的形状为（）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知平面向量，满足，则向量与夹角的取值范围是_.14已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线、曲线的交点为则弦的长为_.15在极坐标系中，曲线被直线所截得的弦长为_.16设随机变量的概率分布列为P(=k)=ck+1，k=0，1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4、17（12分）已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.18（12分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得

5、，利用该正态分布，求：（i）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，.19（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最

6、高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？20（12分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的直角三角形，（1）若线段上有一个点，使得平面，请确定点的位置，并说明理由；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值21

7、（12分）宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向，在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查，他们月收入(单位：千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表：月收入3，4)4，5)5，6)6，7)7，8)8，9)频数6243020155有意向购买中档轿车人数212261172将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”，月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”（）在样本中从月收入在3，4)的市民中随机抽取3名，求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.（）根据已知条件完善下面的22列联表，并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关？非中等收入族中等收入族总计有意

8、向购买中档轿车人数40无意向购买中档轿车人数20总计1000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：22（10分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.（）求椭圆的方程；（）当时，设，过作直线交椭圆于、两点，记椭圆的左顶点为，直线，的斜率分别为，且，求实数的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】特殊元素优先排，相邻元素捆绑排，然后再分析剩余元素的排列.【详解】先排，方法有：种；将捆绑在一起，方法有：种；将这个整体和以及全排列，方法有：种，所以六位数的个数为：个，故选：A.【

9、点睛】本题考查排列组合的简单应用，难度一般.在排列组合的过程中，一般我们要注意：特殊元素优先排，相邻元素捆绑排这样一个原则.2、D【解析】依题意可知直线过圆心，代入直线方程得，当且仅当时当好成立，此时原点到直线的距离为.3、B【解析】对复数进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【详解】复数，所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.4、D【解析】判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系【详解】显然与不平行，因此直线与平面不垂直，又，即与不垂直，从而直线与平面不平行

10、，故直线与平面相交但不垂直故选D【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系5、B【解析】试题分析：函数，的图象上所有点向左平移个单位长度得，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得，选B.考点：三角函数图像变换6、C【解析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DNAC，BNAC，可得出二面角BACD的平面角为BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥BACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案【

11、详解】如下图所示，易知ABC和ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DNAC，BNAC所以，BND是二面角BACD的平面角，过点B作BODN交DN于点O，可得BO平面ACD因为在BDN中，所以，BD1BN1+DN11BNDNcosBND，则BD1故三棱锥ABCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故因此，三棱锥ABCD的内切球的表面积为故选：C【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题7、D【解析】由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.【点睛】本题

12、主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.8、C【解析】根据分段函数的表达式，讨论当和时，不等式的解，从而得到答案。【详解】因为，由，得： 或；解得;；解得： ；所以的解集为；故答案选C【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。9、A【解析】构造新函数，由可得为单调减函数，由可得为奇函数，从而解得的取值范围.【详解】解：令因为，所以为R上的单调减函数，又因为，所以，即，即，所以函数为奇函数，故，即为，化简得，即，即，由单调性有，解得，故选A.【点睛】本题考查了函数性质的综合运用，解题的关键是由题意构造出新函数

13、，研究其性质，从而解题.10、B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得详解：化简可得z= z的共轭复数为1i.故选B点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题11、D【解析】因为，由题设可得在上恒成立，令，则，又，且，故，所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立令函数，则，应选答案D点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学

14、思想的威力12、A【解析】由已知结合正弦定理可得利用三角形的内角和及诱导公式可得，整理可得从而有结合三角形的性质可求【详解】解：是的一个内角，由正弦定理可得，又，即为钝角，故选A【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由已知，得，由，得，由不等式可知，再由，得，最后由可得解.【详解】由，得 ，即由，得，即由，得由，得所以，.故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.14、【解析】分析：根就极坐标与直角坐标的互化公式，求得

15、曲线的直角坐标方程，联立方程组，求得点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求解的长.详解：由,将曲线与的极坐标方程转化为直角坐标方程为:,即,故为圆心为,半径为的圆, :,即,表示过原点倾斜角为的直线，因为的解为，所以.点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线与圆的弦长的求解，其中熟记极坐标与直角的坐标互化，以及直线与圆的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了转化思想方法以及推理与计算能力.15、【解析】将直线和曲线的方程化为普通方程，可知曲线为圆，然后计算圆心到直线的距离和半径，则直线截圆所得弦长为。【详解】曲线的直角坐标方程为，直线，所以圆心到直线的距离为，所求弦长为.故答案为：

16、。【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，考查直线与圆相交时弦长的计算，而计算直线截圆所得弦长，有以下几种方法：几何法：计算圆心到直线的距离，确定圆的半径长，则弦长为；弦长公式：将直线方程与圆的方程联立，消去或，得到关于另外一个元的二次方程，则弦长为或（其中为直线的斜率，且）；将直线的参数方程（为参数，为直线的倾斜角）与圆的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，则弦长为。16、【解析】所有事件发生的概率之和为1，即P（=0）+P（=1）+P（=2）+P（=3）=1，c=1225， P（=k）=1225(k+1)，P（=2）=故答案为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证

17、明过程或演算步骤。17、 (1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可详解：（1），即，则，不等式化为当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得.综上可得原不等式的解集为.（2）证明：，.又， .点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a0时，|x|aaxa，|x|axa或xa（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距

18、离求解（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解18、（1）17.40千元；（2）（i）14.77千元.（ii）978人.【解析】（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的；（2）（i）根据的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；（ii）根据的数值判断出每个农民年收入不少于千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出“恰有个农民年收入不少于”中的最大值即可.【详解】解：（1）千元故估计50位农民的年平均收入为17.40千元；（2）由题意知（i），所以时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元. （ii）由

19、，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则，其中，于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为， 从而由得，而， 所以，当时，当时，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.【点睛】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数字计算的能力要求较高，难度较难.判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的方法进行判断.19、（1）分布列见解析；（2）520.【解析】分析：（1）根据题意所有的可能取值为200,300,500，由

20、表格数据知，；（2）分两种情况：当时，当时，分别得到利润表达式.详解：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，.因此的分布列为0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则因此当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，因此所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元.方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排

21、列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.20、（1）当P为AD的中点时，平面PBE（2）【解析】要证线面平行，需证明线线平行，所以取中点，连接，即证明；（2）过B作于H，连结HE，证明两两垂直，以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式求解.【详解】解：（1）当P为AD的

22、中点时，又因为平面PBE，平面PBE，所以平面PBE（2）过B作于H，连结HE，在等腰梯形ABCD中易知在中，可得又因为，平面平面ADE，且平面平面，所以平面ADE，所以如图，以H为原点，HE，HD，HB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则，.所以，.设平面ABE的一个法向量，则，即，取，得.设直线CD与平面ABE所成角为，所以.【点睛】本题重点考查了线面角的求法，坐标法的一个难点是需建立空间直角坐标系，这个过程往往需要证明，证明后再建立空间直角坐标系，利用公式求解.21、 ()；()90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关【解析】（）解法1：利用古典概型概率公式计算出“至少有名市民有意向购买者中档轿车”的对立事件“没有市民愿意购买中档轿车”的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率；解法2：将事件“至少有名市民购买中档轿车”分为两个基本事件，分别利用古典概型概率公式计算出这两个基本