2022年吉林省长春实验中学数学高二下期末学业水平测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数则函数的零点个数为（ ）个A1B2C3D42设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为ABCD3已知函数.若不等式的解集中整数的个数为3，则的取值范围是( )ABCD4为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调

2、查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入万8.38.69.911.112.1支出万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）A12.68万元B13.88万元C12.78万元D14.28万元5曲线y=ex在A处的切线与直线xy+1=0平行，则点A的坐标为（）A（1，e1）B（0，1）C（1，e）D（0，2）6某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）ABCD7袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰

3、有1个白球，1个红球的概率为（）ABCD8已知椭圆，则以点为中点的弦所在直线方程为（ ）ABCD9若函数在时取得极值，则（ ）ABCD10某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品( )A9千台B8千台C7千台D6千台11已知，则，这上这2个数中（ ）A都大于2B都小于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于212已知函数, ，若对,，使成立，则实数的取值范围是( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为_.14将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至

4、少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）15把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有_种16曲线在x=1处的切线方程是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）我国2019年新年贺岁大片流浪地球自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为流浪地球好看的概率为，女性观众认为流浪地球好看的概率为.某机构就流浪地球是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设表示这4名观众中认为流

5、浪地球好看的人数，求的分布列与数学期望.18（12分）已知正四棱柱中，底面边长为2，点在线段上.（1）求异面直线与所成角的大小；（用反三角函数值表示）（2）若直线平面所成角大小为，求多面体的体积.19（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了名学生，已知这名学生的历史成绩均不低于60分（满分为100分）现将这名学生的历史成绩分为四组：，得到的频率分布直方图如图所示，其中历史成绩在内的有28名学生，将历史成绩在内定义为“优秀”，在内定义为“良好”（）求实数的值及样本容量；（）根据历史成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生的历史

6、成绩均优秀的概率；（）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关？男生女生合计优秀良好20合计60参考公式及数据：（其中）.20（12分）袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.21（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, ，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.22（10分）已知曲线 y = x3 + x2 在点 P0 处的切线平行于直线4xy1=0，且点 P0 在第三象限,求P0的坐标;若直线,

7、 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】画出函数的图像如图，由可得，则问题化为函数与函数的图像的交点的个数问题。结合图像可以看出两函数图像的交点只有两个，应选答案B。点睛：解答本题的关键是依据题设条件，在平面直角坐标系中画出函数的图像，借助图像的直观将方程的解的个数问题等价转化为两个函数的图像的交点的个数问题，体现了等价转化与化归的数学思想及数形结合的数学思想的灵活运用。2、D【解析】分析：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，求解，再得出准线方程详解：椭圆的右焦点为，抛

8、物线的焦点坐标为，解得，得出准线方程点睛：抛物线的焦点坐标为，准线方程3、D【解析】将问题变为，即有个整数解的问题；利用导数研究的单调性，从而可得图象；利用恒过点画出图象，找到有个整数解的情况，得到不等式组，解不等式组求得结果.【详解】由得：，即：令，当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增，且，由此可得图象如下图所示：由可知恒过定点不等式的解集中整数个数为个，则由图象可知：，即，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题，通过数形结合的方式确定不等关系.4、A【解析】由已知求得，进一步求得，得到线性回归方程，取求

9、得值即可【详解】，又，取，得万元，故选A【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题5、B【解析】由题意结合导函数研究函数的性质即可确定点A的坐标.【详解】设点A的坐标为，则函数在处切线的斜率为：，切线与直线xy+1=0平行，则，解得：，切点坐标为，即.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线，直线平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、A【解析】根据先分组，后分配的原则得到结果.【详解】由题意，先分组，可得，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有.故选A【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通

10、常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组注意各种分组类型中，不同分组方法的求解7、C【解析】从袋中任取2个球，基本事件总数n所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m，利用古典概型公式可得所求【详解】袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n1所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m24，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p故选C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8、A【解析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程【详解】解

11、：设以点为中点的弦与椭圆 交于点，则，分别把点，的坐标代入椭圆方程得：，两式相减得：，直线的斜率，以点为中点的弦所在直线方程为：，即，故选：【点睛】本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题9、D【解析】对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.10、B【解析】根据题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量，即可求解出答案。【详解】设利润为万元，则，令，得，令，得，当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台选B.【点睛】本题主要

12、考查了利用导数的性质求函数的最值来解决实际问题。11、C【解析】根据取特殊值以及利用反证法，可得结果.【详解】当时，故A，B错误； 当时，故D错误；假设，则，又，矛盾，故选：C【点睛】本题主要考查反证法，正所谓“正难则反”，熟练掌握反证法的证明方法，属基础题.12、A【解析】由题意得“对,，使成立”等价于“”，当且仅当时等号成立在中，由，解得令，则，（其中）由，解得，又，故，实数的取值范围是选A点睛：（1）对于求或型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，

13、一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.【详解】由已知得正方体的棱长为，又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以正方体的外接球的半径，所以外接球的表面积，故得解.【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.14、36【解析】试题分析：将4人分成3组，再将3组分配到3个乡镇，考点：排列组合15、15【解析】将编号为的三个盒子中分别放入个小球，从而将问题转变为符合隔板法的形式，利用隔板法求解得到结果.【详解】编号为的三个盒子中分别放入个小球，则还

14、剩个小球则问题可变为求个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数由隔板法可知共有：种方法本题正确结果：【点睛】本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.16、【解析】分析：根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可.详解：由题意得，在处的切线的斜率是，且切点坐标是，则在处的切线方程是：，即.故答案为：.点睛：1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进

15、而选择相应的方法求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.(1) 设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,从而可得结果；(2)的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则, .（2）的可能取值为0，1，2，3，4， ，= ，, ，, ， ，的分布

16、列为01234.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布XB(n

17、，p)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)np)求得.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用异面直线所成角的定义再结合正四棱柱中的性质可得直线与所成的角即为所求然后在三角形利用余弦定理即可得解（2）由于多面体的不规则性故可利用因此需利用直线与平面所成角为来确定点的位置后问题就解决了【详解】（1）连接则由于在正四棱柱中故异面直线与所成角即为直线与所成的角正四棱柱中，底面边长为2，异面直线与所成角即为（2）正四棱柱中面，直线与平面所成角为，即多面体的体积为【点睛】本题考查异面直线所成的角和几何体体积的求解解题的关键是第一问要利用图形的性质将异面直线所成的角转化为相交直线

18、所成的角；第二问对于不规则图形体积的求解常采用规则图形的体积差来求解（比如本题中的多面体的体积转化为正三棱柱的体积减去三棱锥的体积）.19、（），；（）；（）详见解析.【解析】（）根据频率之和为1即可求出a的值，由历史成绩在内的有名学生即可求出的值；（）根据分层抽样具有按比例的性质得出良好的有2人，优秀有3人，通过列举法求解概率；（）补充列联表，算出，对比表格得出结论【详解】（）由题可得，解得，又历史成绩在内的有名学生，所以，解得（）由题可得，这名学生中历史成绩良好的有名，所以抽取的名学生中历史成绩良好的有名，历史成绩优秀的有名，记历史成绩优秀的名学生为，历史成绩良好的名学生为，从这名学生中随

19、机抽取名，有，共10种情况，其中这名学生的历史成绩均优秀的有，共种情况，所以这名学生的历史成绩均优秀的概率为（）补充完整的列联表如下表所示：男生女生合计优秀204060良好202040合计4060100则的观测值，所以没有的把握认为历史成绩是否优秀与性别有关【点睛】本题属于常规概率统计问题，属于每年必考题型，主要涉及知识点有：频率分布直方图：频率分布直方图中每个小矩形的面积为相应区间的频率，所以小正方形的面积之和为1；分层抽样：按比例；系统抽样：等距离；列联表：会列列联表，即判断两者是否有关联20、（1）5个；（2）见解析.【解析】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10 x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；（2）随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10 x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.于是可得其分布列为:【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列,超几何分布，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题21、 (1)略；(2)【解析】（1）推导出，从而