固体物理答案第一章课件

1、第一章 晶体结构和X射线衍射 1.1 指出立方晶格（111）面与（110）面的交线的晶向。解: 立方晶格（111）面与（110）面的交线为AB，其等效晶向为yxzABOzxyALGKONMa/2zxyGDFEABOHIa/2C1.2 在图中，试求(1)晶列ED、FD和OF的晶列指数；(2)晶面AGK、FGIH和MNLK的密勒指数；(3)画出晶面 、 。解：zyxozyxo(3)晶面(2)各晶面的密勒指数分别为(1)各晶列指数分别为ED从图得知，、FD、OFFGIH(201)、AGK、MNLK和晶面如图所示设是倒格矢的基矢，则同理1.4 画出体心立方和面心立方晶格结构在面上的原子排列。解：面为面

2、面为面面为面1.5 试证六角密积结构中。证明：如图 中，。第二层球心正对着。同时和 球相切。所以得1.6 如果等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为：简立方：体心立方：面心立方：六角密积：金刚石结构：证明：设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，V则致密度表示晶胞体积，（1）对简立方晶体，任一原子有6个最近临，若原子以刚性球堆积，如图1.1所示，因为a=2r,，晶胞内包含1个原子，a1234图1.1 简立方晶胞中心在1，2，3，4处的原子球将一次相切。所以（2

3、）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近临，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，位置的原子球相切。，晶胞内包含2个原子，所以a图1.2 体心立方晶胞O体心位置O的原子与处在8个角顶因为晶胞空间对角线的长度为（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近临，若原子以刚性球堆积，如图1.3所示，面心原子球相切。1个晶胞内包含4个原子，所以a图1.3 面心立方晶胞123中心位于角顶的原子与相邻的3个因为因为四面体的高晶胞体积一个晶胞内包含两个原子，所以（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近临，若原子以刚性球堆积，如图1.6所示，原子与中心在1，2，3，4处的面心原子相切。因为晶胞体积一个晶胞中包含8个

4、原子，所以a图1.6 金刚石结构123中心在空间对角线四分之一处的O因此，对于体心立方，(1)体心立方设小球位于立方体中心，大球位于立方体顶角，立方体的边长a=2R，空间对角线长为。当小球恰与大球相切时，将形成稳定的体心立方结构。此时，小球的半径若r/R0.73，小球在体心处可以摇动，结构不稳定，因此 不能以体心结构存在，只能取配位数较低的简单立方结构。即 ， 所以 由图看出， (2)简单立方设小球(半径r)在中央，恰与上下左右前后6个大球(半径R)相切，各大球之间也相切，从而形成稳定的简单立方结构。ARBOr若r/R0.23时，则得到层状结构。因此，对于四面体结构，（3）四面体结构 当大球(

5、半径R)形成一正四面体且彼此相切，而小球(半径r)位于由它们围成的正四面体中的间隙处并与大球相切时，则四面体处于稳定状态。当r/R0.41时，又只能取配位数更低的四面体结构。 。因此，对于简单立方结构， 所以 有所以因此，对于层状结构，。在层状结构中，当半径为R的三个大球A、B、C彼此相切，而间隙中又共同外切一半径为r的小球时，结构最稳定。(4)层状结构ABCDO1.8: 证明体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。解:体心立方的原胞基矢:倒格矢：同理得:体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方 。所以可知同理得1.10证明:证明:晶棱(晶面的交线)互相平行的晶面组合成晶带,互相平行的晶棱的

6、共同方向称为该晶带的带轴.由定义可知,带轴与该晶带中的平面的法线互相垂直.表示带轴方向;表示平面(h1h2h3)的法线方向;那么由倒格子的性质:晶带轴l1l2l3与该晶带中的平面(h1h2h3)满足下述关系因而与正交，即利用正交关系得 (1)晶面的法线方向平行于倒格矢 的方向，对于晶面和，同理可得 (2) (3) 欲要u、v、w不同时为零，即要方程组(1)、(2)、(3)有非零解，由线性方程理论知道，其系数行列式必须为零，于是得到1.12 对于六角密积结构，固体物理学原胞的基失为求其倒格失。解：晶胞体积为其倒格基失为倒格失为1.13：证明在二维晶格中，倒格子原胞面积S与正格子 原胞面积S的有关

7、系为SS2*)2(p=表示正格子的基矢，正格子原胞的面积为证明： 以式中，为间的夹角如表示垂直于所在平面的单位矢量，表示倒格子基矢，则二维倒格子基矢可写成因而利用矢量乘积公式得到所以因为代入上式得因而倒格子原胞的面积等于比较(1)、(2)两式，即得证明：1.14 证明：在二维格子中，（1）密勒指数为（hk）的晶列与倒格失垂直。其中为倒格子基失。（2）晶列间距。如图所示，设和为晶列（hk）中相邻的两条，通过原点o,（hk）中最近临原点的一条。是按照密勒指数的意义，在基失、的截距为（1）CDAB由图可见，由正倒格子基失间的关系可得由图可以看出，晶列间距（2）1.15 证明在立方晶系中，晶列与晶面正

8、交，并求晶面与晶面的夹角。证明：设d为晶面族的面间距， 为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族将 分别截为等份，即于是有（1）其中，分别为平行于三个坐标轴的单位矢量。而晶列的方向矢量为（2）由（1），（2）两式得即与平行。因此晶列 与晶面 正交。晶面与晶面的夹角，对于立方晶系，就是晶列与晶列的夹角。设晶面与晶面的夹角为 ， 由得1.17： 试求面心立方和体心立方晶格中粒子密度最大的晶面,并计算这个最大面密度的表达式.解:由倒格子的性质知晶面族(h1h2h3)的面间距:由面心立方,正格矢粒子面密度(d是面间距,是粒子数体密度)对于布喇菲格子, 是常数,因此d大的晶面就大,这样的晶面是解理面.(

9、上述晶面对应于结晶学原胞的111面)面心立方结构的粒子体密度当(h1h2h3)是晶面100和111时, 取最小值 ,这时面上的粒子密度最大.体心立方:(上述晶面对应于结晶学原胞的110面)当(h1h2h3)是晶面100和 时, 取最小值 ,这时面上的粒子密度最大.体心立方结构的粒子体密度OA1A6A5A4A3A2B1B2B3B4B5B6c解：设晶面族(hkil)的面间距为d， 晶面法线方向的单位矢量为 。因为晶面族(hkil)中最靠近原点的晶面ABC在轴上的截距分别为， 1.18 在六角晶系中，晶面常用四个指数来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成的共平面轴上的截距为第

10、四个指数表示该晶面在六重轴c上的截距为。,因此 (1) 由于 把式的关系代入，即得， 本题也可以采用晶面(ABC)截割坐标轴后的面积关系求解。于是，约去公因子，并用hkl乘等式两边即得(2)式。其中。若题中各个(hkl)晶面改用(hkil)表示，则分别为，。 在图中，1.19 证明对于布喇菲格子，任意晶面上的粒子密度为式中为该晶面族的面间距，是布喇菲原胞的体积。证明：设有一任意格矢 此六面体的体积以R为棱边， 和为底构造一平行六面体，格矢分别为，RO(1) 设以格矢为法线的晶面族的面间距为d， 则其法线 单位矢。 在上述平行六面体中，通过割补法，一共可以截取个等面积的晶面，它们的面积均为用表示

11、这族晶面上粒子的面密度，为体密度， 则此平行六面体中包含的粒子数为或用体密度表示为 (2)(3) (2)、(3)式中均用了(1)式的结果。 对于布喇菲格子，一个原胞只含一个离子，即于是(3)式变为联立(2)、(4)两式则可得到结果（4）1.20 设点阵中晶面族的面间距为，证明：(1)倒格矢与该族晶面垂直；(2)(3)利用上述关系证明，对于简单格子，式中为晶格常数。 证明：(1)因为同一组晶面中的各晶面是互相平行的，要证明倒格矢垂直晶面族 ，只需证明垂直于这族晶面中 最靠近原点的晶面上两相交矢量就行了。设ABC为所述晶面，根据密勒指数的意义， 它在三个轴上的截距分。别为 矢量和都在晶面ABC上。

12、由易证而矢量因此，与ABC晶面垂直，同时也垂直与整个晶面族。(2)由图可看出，晶面族的面间距d等于原点0到晶面族ABC的垂直距离，亦即等于截距 在晶面ABC法向方向上的 投影。OCAB单位法向矢量(3)对于简单立方晶格，若以a表示晶格常数，则原胞的基矢 此处是直角坐标系中的方向单位矢量。因此倒格子基矢因而 所以1.21 证明：三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子，并且倒格子基矢间的夹角和基矢长度分别满足式中，和分别为正格子基矢的长度和基矢间的夹角。 证明：按照倒格子基矢的定义(1) 应用(1)式， (2) (3) 式中表示倒格子基矢和间的夹角。把(3)式代入(2)式得到 式中为正格子基矢。

13、对于三角布喇菲格子，基矢的长度为 ，基矢间的夹角。从(1)式容易看 出，倒格子基矢长度必为 。(4) 结合前述 其中使用了三角转换公式。轮换 (4)式中各量的下标，容易得到 。结论，可见三角布喇菲格子的倒格子仍为三角布喇菲格子。 在图中，过O点做，连接。 PQ，并过P点做 在中其次，设基矢和所在晶面的法向单位矢为，它 与基矢的夹角为。OQPR根据余弦定理，线段和的夹角的余弦从的几何关系可得 即(5)(5)式中最后一个等式已使用式(4)进行化简。于是，三角布喇菲原胞的体积把(6)式代入式(3)并将等式两边开平方即得1.22 电位移矢量与外电场的关系为，式中六角晶体，为介电常数张量。试根据晶体的对

14、称性证明，对于简单解：电位移与电场间的关系用矩阵表示为如图选取六重轴为x轴，并令电场沿x轴正方向， (1) ，由(1)式得到 () 令晶体绕x轴转动，使y轴转到-y轴方向，z轴转到-z轴方 向。将作相同的转动，转动后的电位移用表示，则(3) 但是，上述转动不过是六角晶体的一个对称操作，转动前后 yxzo晶体并没有差别，而转动又以为轴，电场也没有改变，因此电位移矢量理应不变，即将(2)式和(3)式代入可得因而(4) 如取电场沿y轴正向，然后令晶体绕y轴转动，仿照上述的讨论，应有(5) 若对z轴作相同的讨论，同理得到 (6) 如再取电场沿六角形顶点A的方向，如图所示， 代入(1)式并注意到(4)式

15、，则有令晶体以为轴转动，y轴将转到 轴处,z轴将转到轴处。注意到轴和轴方向原来的电位移的值，得到转动后的电位移为 即 因为现在 所在方向是2重轴，转动 是对称操作，因而 ，从上式解得 综合(4)(5)(6)诸式，得在将写作，oEA证明：电位移矢量与外电场间的关一般可表示为用矩阵表示为 或1.23 证明：在具有立方对称性的晶体中，介电常数张量为对角张量： ,其中表示沿轴的分量。(1)用表示晶体旋转后的电位移矢量。设电场沿y轴正方向， (1)式变为 (2) 今将晶体绕电场方向转动，使z轴转到原x轴方向，y轴转 到原y轴方向，x轴转到原z轴方向，由于电位移作相同的转动，由于上述转动是立方晶体的一个对

16、称操作，电场没有改变，应有 (3) 于是由(2)式和(3)式得要使上两式同时满足，只有 (4) 同理可得 (5) 若再取电场沿111方向， ，则有 让晶体绕转动 ，使z轴转到原x轴，x轴转到原y轴，y轴转到原z轴，则有 xyzo111由上面可得，具有立方对称性的晶体的介电常数张量为或 因为，由上式得 (6) 1.24 试导出简单单斜晶系、六角晶系、四方晶系中晶面族面间距的表达式。解：对于单斜晶系，基矢间夹角 基矢长度 原胞体积倒格子基矢长度同样可得而因为晶面间距 与倒格矢 的关系为 故有把前面有关的各项结果代入，稍加整理即得因为晶面间距 与倒格矢 的关系为 对于六角晶系，因而原胞体积倒格基矢而

17、把这些结果代入(1)式经整理后即得对于四方晶系建如下坐标，使此处 为直角坐标系的三个方向单位矢量。 原胞的体积 倒格子基矢而 晶面间距 与倒格矢 的关系为 因而将前述各项结果代入上式，稍加整理即得 证明：由题已知，设衍射波矢为又简立方正格矢1.25 如 射线沿简立方晶胞的 负方向入射，求证：当 时，衍射光线在其中 是衍射光线和 方向的夹角。平面上，其倒格矢由衍射极大条件可知（1）又因代入可知所以因为由知所以即衍射光线在 平面上。证明：若用和分别代表入射光束和衍射光束的方位角，仅考虑一级衍射，劳厄方程写为1.26 如表示晶格常数，表示入射光束与衍射光束之间的夹式中，是衍射面的密勒指数；为X射线波

18、长。角，证明对于简单立方晶格，(1) (2)注意到对于立方晶系，式(2)化简为 (3)若以和代表入射光束和衍射光束的单位矢量，代表它将(1)式中各等式两边平方，然后相加，则得到此处a、b、c分别为三维方向上的原子间距，对于简单立方结构，a=b=c。代表它们间的夹角，代入(3)式，得 则1.27 试讨论面心立方结构衍射面指数和衍射强度的关系。解：在结晶学中，面心立方结构的原胞包含4个原子，其坐标为。如晶体由一种原子组成，将各原子坐标代入得 当时，结构因子为零，相应的反射消失。1.28 在氯化钠晶格中，在诸点；在诸点。试讨论衍射面指数和衍射强度的关系。解：因为氯化钠晶格为面系立方结构，且 和坐标如

19、题给。已知因又因为所以衍射面指数与几何结构因子的关系为：所以衍射面指数与衍射强度的关系为：1.29: 设由原子A和B组成的一维双原子晶体中,原子A和B的散射因子分别为fA和fB,A与B之间的距离为a2,X射线垂直于原子线入射,试证明:(1)干涉条件是n=acos(是衍射光束与原子线间的夹角);(2)当n为奇数时,衍射强度当n为偶数时,衍射强度解:相邻两结点散射波的波程差为PQ+ABPQPQ=acos当波程差为波长的整数倍时,干涉相长,即干涉条件是n=acos(2)+AB一个晶胞包含两个原子,其位矢为:正格矢:倒格矢:1.30 CuCL的晶格为ZnS型结构，测知其晶格密度为，从晶面反射的X射线亮

20、纹对应的布喇，求X射线波长。格角解：由于CuCL具有ZnS结构，一个晶胞中含有4个Cu原子和4个CL原子，或者说是4个CuCL分子。已知Cu和CL的原子量分别为63.54和35.457，故1molCuCL的质量M=(65.53+35.457)g。，应有 此处为阿伏加德罗常数。 设晶格常数为a，晶格的密度为于是根据布拉格衍射公式，对于一级衍射(n=1)，得到对于立方晶系，(111)面的面间距等于立方体空间对角线长度的，即。1.31 用波长为的X射线投射到钽的粉末上，得到前如下：面几条衍射谱线的布喇格角已知钽为体心立方结构，试求：(1)各谱线对应的衍射晶面族的面指数；(2)上述各晶面族的面间距；(3)利用上两项结果计算晶格常数a。解：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式确定：(200)、(211)、(220)和(310)的散射。（n=1）即考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和(h+k+l)为奇数时，衍射条纹消失。只有当(h+k+l)为偶数时，才能产生相长干涉。