空间向量基础知识应用

1、空间向量基础知识和应用空间向量与立体几何知识网络知识重点梳理知识点一：空间向量空间向量的观点在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量。注：空间的一个平移就是一个向量。向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。共线向量1）定义：假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于记作当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同向来线，也可能是平行直线（2）共线向量定理：空间随意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使。向量的数目

2、积（1）定义：已知向量，则叫做的数目积，记作，即。（2）空间向量数目积的性质：；（3）空间向量数目积运算律：；2/16空间向量与立体几何（互换律）；（分派律）。4.空间向量基本定理假如三个向量不共面，那么对空间任一直量，存在一个独一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间随意三个不共面的向量都能够组成空间的一个基底。空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向成立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称成立了一个空间直角坐标系,

3、点叫原点，向量都叫坐标向量经过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在独一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若，则，3/16空间向量与立体几何，；，夹角公式：（3）两点间的距离公式：若，则或。知识点三：空间向量在立体几何中的应用立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可经过向量运算来证明对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般

4、是利用共线向量和共面向量定理进行证明2利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转变为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则能够利用向量的夹角公式。3用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。规律方法指导向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数目积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即获得平面的一个法向量（如图）。4/16空间向量与立体几何线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的

5、角为。（注意：线线角的范围00,900）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离点A到平面的距离：，此中，是平面的法向量。直线与平面之间的距离：5/16空间向量与立体几何，此中，是平面的法向量。两平行平面之间的距离：，此中，是平面的法向量。空间向量是高中数学中的重要内容之一，是办理空间线线、线面、面面地点关系和夹角的重要工具，是高考考察的重要内容之一.运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，防止了几何法中作协助线的问题，进而

6、降低了立体几何问题的难度.本文将空间向量在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以分析.【考点及要求】理解直线的方向向量与平面法向量.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.能用向量方法证明证明直线和平面地点关系的一些定理（包含三垂线定理）.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，认识向量方法在研究会合问题中的应用.【考点概括剖析】考点1.利用空间向量证明空间垂直问题6/16空间向量与立体几何利用空间向量证明空间线线、线面、面面垂直问题是高考考察的重点内容，考察形式灵巧多样，常与探究性问题、平行问题、空间角问题联合，考察形式能够是小题，也能

7、够是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目简单，是高考取的重要得分点.例1(2010辽宁理19）已知三棱锥PABC中，面，1PAABCABACPA=AC=AB，N为AB上一2点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.证明：CMSN；审题要津：此题空间坐标系易成立，可用坐标法.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，轴正向成立空间直角坐标系如图，则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,1），N（1,0,0），S（1,1,0）222uuuuruuur1,1,0),CM(1,1,1),SN(222uuuuruuur1100，所以CMSN.由

8、于CM?SN227/16空间向量与立体几何【评论】对坐标系易成立的空间线线垂直判断（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数目积为0证明两直线垂直.例2(2010天津理19)在长方体ABCDA1B1C1D1中，、分别是棱BC,CC1EF上的点，CF=AB=2CE,AB:AD:AA1=1:2:4.证明AF平面A1ED审题要津：此题空间坐标系易成立，可用坐标法.分析：如下图，成立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),3A1(0,0,4),E1,02已知uuur,uuur1,3,4,uuur1,1,0于是AF(1,2,1)EA1ED22

9、uuuruuuruuuruuur=0.所以，AFEA1,AFED,又AFEA1=0，AFEDEA1EDE所以AF平面A1ED【评论】对坐标系易成立的空间线面垂直问题，往常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向8/16空间向量与立体几何量平行或许直接用向量法证明直线与平面内两条订交直线垂直，再用线面垂直判断定理即可.例3（2010年山东文）在如下图的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PD/MA，E、F分别为MB、PB、PC的中点，且ADPD2MA.求证：平面EFG平面PDC.审题要津：此题空间坐标系易成立，可用坐标法.uuuvuuuvuuuu

10、v分析：以A为原点，向量DA,AB,AM分别为x轴、y轴、z轴的正方向，如图成立坐标系，设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),P(2,0,2),M(0,0,1),则E(0,1,1),G(1,1,1),F(2,1,1)，2uuuv=(-1,0,uuuv=(1,0,0),设平面EFG的法EG1),GF2向量m=（x，y，z），则uuuvuuuvEG?m=x1z=0且GF?m=x=0，取y=1，则x=z=0，2m=（0，1,0）,易证面PDC的法向量为uuuv=(2,0,0),DAuuuv=200100=0,m?DAuuuv,平面EFG平面PDC

11、mDA9/16空间向量与立体几何【评论】对于易成立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先成立坐标系，求出两个平面的法向量，经过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直.考点2.利用空间向量办理空间平行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考察的另一个重点内容，考察的形式灵巧多样，常与探究性问题、垂直问题、空间角问题联合，能够是小题，也能够是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考取的得分点之.例4（2010湖南理18）在正方体ABCDA1B1C1D1，E是棱DD1的中点。在棱C1D1上能否存在一点F，使B1F平面A1BE?证明你的结论。审题要津：此题坐标系易成立，可用向量法求解.分析

12、：以A为坐标原点，如图成立坐标系，设正方形的棱长为2，则B(2,0,0),E(0,2,1),A1(0,0,2),B1(2,0,2)，uuuvuuuvBE=(2,2,1),BA1=（2，0，2），设面BEA1的法向量为m=（x，y，z），则uuuvuuuv=2x2z=0，取x=1，则z=m?BE=2x2yz=0且m?BA110/16空间向量与立体几何1，y=3，m=（1，3，1）,22假定在棱C1D1上存在一点F，使B1F平面A1BE，设F(x0，2，2)（0 x02）,uuuv=（x0uuuv=1(x02)3=0，则BF2，2，2），则m?BF2(1)22解得x0=1，当F为C1D1中点时，B

13、1F平面A1BE.【评论】对于易成立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条订交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，依据共面向量观点和直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面法向量，而后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探究性问题，往常先假定成立，设出有关点的坐标，利用有关知识，列出对于坐标的方程，若方程有解，则存在，不然不存在.注意，（1）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线段所成的比，用比表示坐标能够减少未知量，简化计算;(2)注意点的坐标的范围.例5在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，在底面ABC中A

14、BC=900,D是BC上一点，且A1B面AC1D，D1为B1C1的中点，11/16空间向量与立体几何求证：面A1BD1面AC1D.审题要津：此题的坐标系简单成立，可用向量法.分析：以B点为原点，如图成立坐标系，设AB=a，BC=2b，BB1=c，则A（a,0,0），C1(0，2b，c)，B1(0,0,)，A1(a，0，c)，D1(0，b，c)，设D(0，y0，（0y02b），uuuv=(auuuuva，2b，c)，uuuvAD，y0，0)，AC1=(BA1=(a，uuuuv=（0，b，c），0，c)，BD1设面AC1D的法向量为m=(x1，y1，z1)，则uuuvuuuuvcz1=0，取y1=

15、a，则m?AD=ax1y0y1=0且m?AC1=ax12by1x1=y0，z1=ay02ab，c则m=（y0，a，ay02ab），又A1B面AC1D，cuuuvay02ab=0，解得y0=b，m=（b，a，m?BA1=ay0ccab），c设面A1BD1的法向量为n=(x2,uuuvy2,z2),则n?BA1=ax2cz2=0uuuuvcz2=0，且n?BD1=by2取z2=1，则x2=c，y2=c，则n=(c，c，1)，ababn=abcm，mn，面A1BD1面AC1D.【评论】对面面平行问题的向量方解法有两种思12/16空间向量与立体几何路，（1）利用向量证明一个面内两条订交直线分别与另一个

16、平面平行，依据面面判断定理即得；2）求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.考点3利用空间向量办理异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考察的热门和重点，常与探究性问题、平行问题、垂直等问题联合，重点考察综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的有关观点解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度.例6(2010天津理19)在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC,CC1上的点，CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；（2）求二面角A1EDF

17、的正弦值。审题要津：此题坐标系易成立，能够向量法.分析：如下图，成立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,3,0213/16空间向量与立体几何(1)uuur0,1,1,uuuur,于是证明：易得EFA1D(0,2,4)2uuuruuuuruuuruuuur3cosEFgA1D,所以异面直线EF与A1D所EF,A1Duuuruuuur5EFA1D成角的余弦值为35解：设平面EFD的法向量n=(x,y,z)，则uuuvuuuv1y=0，n?EF=1yz=0且n?ED=x22不如令x=1,可得n=(1,2,1),设平面uuuv

18、=m1n=0A1ED的法向量m=（m，n，p）则m?ED2uuuuv=2n4p=0，且m?DA1取p=1,则n=2，m=1，则m=（1,2,1）于是cosn,m=n?m=2，进而sinn,m=5，|n|m|33所以二面角A1-ED-F的正弦值为35【评论】（1）对异面直线夹角问题，先求出两条异面直线的方向向量分别为m、n，在求出m、n的夹角，设两异面直线的夹角，利用cos=|cosm,n|求出异面直线的夹角，注意：（1）异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面角l的大小问题，先求出平面、的法向量m、n，再求出m、n的夹14/16空间向量与立体几何角，在内取一点A，在内取一点B，设二面角uuuvuuuvl大小为，若n?AB与m?AB同号，则=m,n，若uuuvuuuvm,n，注意二面角大小与n?AB与m?AB异号，则=法向量夹角的关系.例7（2010全国卷I理7）正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为A2B3C2D63333审题要津：此题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解.分析：如图成立坐标系，设正方体棱长为1，BB1与面ACD1的夹角为，则D(0,0,0),C(0,1,0)，B(1,1,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),uuuv=（1，1,0uuuuvuuuv=(0,0,1),AC），AD1=(