全国高中数学联赛习题详细分析

1、2020年全国高中数学联赛（考：上午8：009：40）一、（安分36分，每小6分）1.如，在正四棱P-ABCD中，APC=60，二面角A-PB-C的平面角的余弦（）A.1B.1C.1D.177225.（）O1和O2是两个定，P与两个定都相切，P的心迹不行能是6.已知A与B是会合1，2，3，100的两个子集，足：A与B的元素个数相同，且AB空集。若nA有2n+2B，会合AB的元素个数最多（）A.62B.66C.68D.74二、填空（安分54分，每小9分）7.在平面直角坐系内，有四个定点A(-3，0)，B(1，-1)，C(0，3)，D(-1，3)及一个点P，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的

2、最小_。在ABC和AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，CA33，若ABAEACAF2，EF与BC的角的余弦等于_。9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱1，以点A球心，23半径作一个球，球面_。3与正方体的表面订交所获得的曲的等于10.已知等差数列n的公差d不0，等比数列n的公比q是小于1的正有理数。若a1=，abd2a12a22a32q等于_。1b1b2b311.已知函数f(x)sin(x)cos(x)2(1x5)，f(x)的最小_。x4412.将2个a和2个b共4个字母填在如所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不一样行也不一样列，不一样的填

3、法共有_种（用数字作答）。三、解答（安分60分，每小20分）n1n2时，an+10建立的事件生的概率等于（）b。A.52B.59C.60D.6181818181【答案】D92=81个。【分析】甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不一样的果，故基本领件数由不等式a-2b+100得2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5，每种情况a可取1、2、9中每一个，使不等式建立，共有95=45种；当b=6，a可取3、4、9中每一个，有7种；当b=7，a可取5、6、7、8、9中每一个，有5种；当b=8，a可取7、8、9中每一个，有3种；当b=9，a只好取9，有1种。于是，所求事件的概率45753161。81

4、814.函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若数a、b、c使得af(x)+bf(x-c)=1随意数x恒成立，bcosc的等于（）aA.11D.1B.C.-122【答案】D5.1和2是两个定，与两个定都相切，P的心迹不行能是（）OOP【答案】AO和O的半径分是r、r，|OO|=2c，一般地，P的心迹是焦【分析】121212点O1、O2，且离心率分是2c和2c的曲（当r1=r2，O1O2的中垂是r1r2|r1r2|迹的一部份，当c=0，迹是两个齐心）。当r1=r2且r1+r22c，P的心迹如B；当02c|r1-r2|，P的心迹如C；当rr2且r+r2c，P的心迹如D。因为A中的和双曲的112

5、焦点不重合，所以P的心迹不行能是A。6.已知A与B是会合1，2，3，100的两个子集，足：A与B的元素个数相同，且AB空集。若nA有2n+2B，会合AB的元素个数最多（）A.62B.66C.68D.74【答案】B【分析】先|AB|66，只|A|33，此只若A是1，2，49的任一个34元子集，必存在nA，使得2n+2B。明以下：将1，2，49分红以下33个会合：1，4，3，8，5，12，23，48共12个；2，6，10，22，14，30，18，38共4个；25，27，29，49共13个；26，34，42，46共4个。因为A是1，2，49的34元子集，进而由抽原理可知上述33个会合中起码有一个2元

6、会合中的数均属于A，即存在nA，使得2n+2B。如取A=1，3，5，23，2，10，14，18，25，27，29，49，26，34，42，46，B=2n+2|nA，A、B足且|AB|66。9.已知正方体ABCD-ABCD的棱1，以点A球心，23半径作一个球，球面11113与正方体的表面订交所获得的曲的等于。【答案】536一在点A所在的【分析】如，球面与正方体的六个面都订交，所得的交分两：三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一在不点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交弧EF且在球心A的大上，因AE23=1A1AEBA

7、FEAF，。同理，所以，故弧3166623311693且在距球心1的平面与球面订交所得的小上，此，小的心B，半径3，FBG3333262于是，所得的曲333353。96610.已知等差数列an的公差d不0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数。若a1=d，1=2，且a12a22a32是正整数，则q等于。bdb1b2b31【答案】11.已知函数f(x)xx2(1x5)，则f(x)的最小值为。sin()cos()x44【答案】45512.将2个a和2个b共4个字母填在以下图的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不一样行也不一样列，则不一样的填法共有种（用数字作答）。【答案】

8、396022【分析】使2个a既不一样行也不一样列的填法有C4A4=72种，相同，使2个b22种，故由乘法原理，这样的填法共有既不一样行也不一样列的填法也有C4A4=72722种，此中不切合要求的有两种状况：2个a所在的方格内都填有b的状况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的状况有C161A92=1672种。所以，切合题设条件的填法共有272-72-1672=3960种。三、解答题（此题满分60分，每题20分）n113.设an，求证：当正整数n2时，an+1an。k1k(n1k)【分析】证明：因为11(11)，所以an2n1，于是，对k(n1k)n1kn1kn1k1k随意的正整数n

9、2，有1(anan1)1n11n112n1k1kn2k1k(11)n111(n11)0，即an+1an。n1n2k1k(n1)(n2)(n1)(n2)k1k设函数f(x)对全部的实数x都知足f(x+2)=f(x)，求证：存在3，4)知足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对随意的实数4个函数fi(x)(i=1，2，x，有fi(x+)=fi(x)；（2）对随意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。【分析】证明：记g(x)f(x)f(x)，h(x)f(x)f(x)，则f(x)=g(x)+h(x)，且22g(x)是偶函数，h(

10、x)是奇函数，对随意的xR，g(x+2)=g(x)，h(x+2)=h(x)。令gx)g(xgx)g(x()xk2cosx2()，f2(x)，f1(x)20 xk2hx)hxh(x)h(x)()xkf3(x)2sinxxk，f4(x)2sin2x2，此中k为随意整0 xk0 xk2数。简单考证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对随意的xR，fi(x+)=fi(x)，i=1，2，3，2020年全国高中数学结合比赛加试一试题参照答案一、（此题满分50分）如图，在锐角ABC中，ABAC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PEAC，垂足为E，作PFAB，垂足为F。O1、O2分别是BD

11、F、CDE的外心。求证：O、O、E、F四点共圆的充要条件为P是ABC的垂心。12【分析】证明：连接、12、2、1。因为，故BPCPOOEOEFFOPDBCPFAB四点共圆，且BP为该圆的直径。又因为O是BDF的外心，故O在BP上且是11同理可证、E四点共圆，且2是的中点。综合以上知12CDPOCPOOBC，所以POO=PCB。因为AFAB=APAD=AEAC，所以B、C、E、21四点共圆。B、D、P、FBP的中点。A充分性：设P是ABC的垂心，因为PEAC，PFAB，所以B、O、P、E1FPE四点共线，C、O、P、F四点共线，FOO=FCB=FEB=FEO，故22111、2、F四点共圆。OOE

12、O2必需性：设O、O、E、F四点共圆，故OOE+EFO=180。12121O1因为21=-，又因为2是直角的斜边中点，POOPCBACBACPOCEP也就是CEP的外心，所以PO2E=2ACP。因为O1是直角BFP的斜边BDBC中点，也就是BFP的外心，进而PFO=90-BFO=90-ABP。因11为B、C、E、F四点共圆，所以AFE=ACB，PFE=90-ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180得(ACB-ACP)+2ACP+(90-ABP)+(90-ACB)=180，即ABP=ACP。又因为ABAC，ADBC，故BDCD。设B是点B对于直线AD的对称点，则B在线段DC上且BD=BD。连接AB、PB。由对称性，有=，进而=，所以、C四点ABPABPABPACPAPB共圆。由此可知PBB=CAP=90-ACB。因为PBC=PBB，故PBC+ACB=(90-ACB)+ACB=90，故直线BP和AC垂直。由题设P在边BC的高上，所以P是ABC的垂心。二、（此题满分50分）如图，在78的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。假如两个棋子所在的小方格共边或共极点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方