矩形截面杆的扭转

1、9.5矩形截面杆的扭转学习思路：应力函数的确定是扭转应力解法的关键。但是矩形横截面柱体的扭转问 题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程一泊松方程简化为 拉普拉斯方程。第二步是将应力函数表达为坐标 x和y的函数。并且根据问题性质，简 化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。并且分析横截面切应力 分布。学习要点：.矩形截面柱体的扭转分析；.扭转应力函数；.扭转级数解；.矩形截面柱体扭转切应力；.横截面应力分析设矩形的边长为a和b,如图所示。

2、矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭 转问题一样假设扭转应力函数为原因很简单，这个应力函数虽然满足义=0,但是泊松方程V犷二一2Gs却不可能满足。由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首 先简化扭转问题的基本方程。对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。为了简化分析，需要找到泊松方程二氏?）的特解，将基本方程转化为 拉普拉斯方程。因为拉普拉斯方程求解相对简单。221 2因为变形协调方程V W =有一个特解-2G例-匕），所以设底（第小）二心（工/） 一 G（py2 一 *）则变形协调方程转化为V2% = o对于柱体的侧面面力边界条件，中c= 0 ,则要求中0满

3、足边界条件x = a,及（ci,y）二仃奴/一*）y = 3由于柱体横截面是关于坐标轴 x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的， 因此横截面 切应力必然是与坐标轴反对称的。所以，设扭转应力函数中o（x,y）为犷（瑞 y） = X（H）A（y）代入变形协调方程V犷0 = ,则F + XY = 0X、F*/=/将上式改写为,其中K为任意常数将上式改写为,根据/ = 0F+犯P = 0所以X - j.cosh右:+ Bsinh 为cY = Ccosb;/ + Dsin &根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该 为坐标x和y的偶函数。所以犷口（兀,了）二 月 coshZsc

4、 cos4y上式仅是方程V夕0 二 的一个特解。如果将所有特解作线性迭加就是 方程的通解，所以中0（x,y）写作死旭了）=E A C。出九/C0观）x = a, 为（士5y）= G（y2 -b2） 根据边界条件V = %（工型）=的第二式，有4 coshlxcosA =0A cosh 2 x 0 一cos Ab = 0由于、 w ，所以 ”。口（2再+ 1）方/门1 。 x= -? （ri - 1, 2,）因此，左。回代可得z ）三1 （21+1）71（21）可W& （工,y） = XA 8sh ” 父。腔 ，了qXl?2bx = a.%(凡)=一/)根据边界条件=%(D =。的第一式，有40

5、Z 4 cosh040Z 4 cosh0(2n + l)7i (24 + 1)瓦a cos 2b2b了二 G -V)(2fj + l)x jcosdy对于上式两边同时乘以2b，并在(一b, b)区间积分,可得32feiG中(2m +1)571s cosh 几Q所以，应力函数为3263 Gp cosh2nx(2门+1)*71? coshZnacosQ-Gwy-b2)根据应力函数表达式，应力分量为汇=Gd粤(V (-1厂 1 产产而力)一 2川1彳 (2舛+ 1)%。也见i 山165 1 sinh 人工r 二(-1) r-cosZ v域 7i2 n (2 + 1)3 coshAa上式中的单位长度扭

6、转角邛由端面面力边界条件确定，即T = 2口加砂=1g以出_ 1032? if ； tanJU.学 3瓦 丁(2;j + 1)对于上述级数，其收敛很快，取 n=0一项分析，则i JCcosh 16bGtp 2b -J 二：sin如图所示中点，即cosh 2bTDC1 es sinh _ 166Gp2b/ 一 /如图所示中点，即cosh 2bTDC1 es sinh _ 166Gp2b/ 一 /nacosh T = yGb3a(p-皎 cos2b2b 1032GfeV71根据切应力表达式，可以得到矩形横截面的应力分布,0最大切应力发生在矩形长边的6bG学 -12 小代 8-2口 2Gb中=5攻7

7、r cosh元2b-)icacosh*2bT 二2口科七砂二Gba6,如图所示。根据薄膜比拟，狭长矩形薄膜的形状沿长边方向基本不变，主要薄膜形 状改变在短边方向。因此可以推断，应力函数在横截面的几乎是不随长度方向变 化，因此对应的薄膜形状近似于柱面。所以可以近似地取丝二口3甲-&艺8x 办 力因此狭长矩形杆的扭转变形协调方程可以写作ay因此狭长矩形杆的扭转变形协调方程可以写作ay曲7这是一个常微分方程，对上式作积分，并注意到边界条件L这是一个常微分方程，对上式作积分，并注意到边界条件L+ =2可得将上述应力函数代入扭转端面边界条件,G(p3T可得将上述应力函数代入扭转端面边界条件,G(p3T工

8、ak。根据公式6T二一斤人% =最大切应力由薄膜比拟可以推论在矩形截面的长边上，其数值为37_ 3T。序。单位长度的扭转角为。贷G上述结论与矩形截面杆件扭转应力分析结果完全一致。工程结构中经常使用的开口薄壁杆，它们的横截面大都是由等宽度的狭长矩形组 成的。根据薄膜比拟可以想象，假如一个直边狭长矩形和一个曲边狭长矩形， 它们具有相同的长度a和宽度S,如果张在这两个狭长矩形上的薄膜受有相同的 压力q和张力T,两个薄膜就与各自边界平面所占的体积 V,以及薄膜的斜率 大体是相同的。因此，曲边狭长矩形截面扭杆与直边狭长矩形截面扭杆的扭转切应力是 近似的。所以，以下关于狭长矩形截面扭杆分析同样适用于曲边狭长矩形截面杆 件。如果用ai和6分别表示开口薄壁杆第i个狭长矩形的长度和宽度，Ti表示该矩形 面积上承受的扭矩，胃表示该矩形长边中点的切应力，中为单位长度的扭转角。 则根据合力条件，开口薄壁杆横截面的扭矩为根据上述公式，消去 巴有 ，回代可得1工调i3Tt 仇 v r i TJr tI八一勺1_I1对于狭长矩形长边中点的切应力，上述公式给出了相当精确的解答。但是需要注意的是： 在开口薄壁杆件两个狭