高等量子力学-第三章-本征矢量和本征值

1、3 本征矢量和本征值3-1 定义3-2 本征矢量的完全性3-3 厄米算符完备组 3-4 无穷维空间的情况厄米算符的本征值问题有两个重要的性质： （1）厄米算符的本征值都是实数。 3-1 定义（3.1） 本征值一般是复数，也可以是零。（2）厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量相互正交。 设 那么 又有, 二式相减，得 下面讨论属于同一个本征值a，厄米算符A有多少个本征矢量的问题。 本征子空间的维数s ，称为所属本征值的简并度。这个本征值或这组本征矢量称为是s重简并的；而简并度为1的情况，通常称为无简并的。 为了指出 s 维本征子空间，只需给出其中一组 s 个线性无关的本征矢量即可。有时人们说某个

2、本征值只有一个本征矢量或有s 个本征矢量，实际都是指一个或 s 个线性无关的本征矢量。定理： 若A和B 两算符相似，即对于有逆算符R 有则A和B有相同的本征值谱，而且每一本征值都有相同的简并度。设已知A的全部本征值和相应本征矢量；即 证明：3-2 本征矢量的完全性 希尔伯特空间中的厄米算符的全部线性无关的本征矢量，构成这个空间中的正交归一完全集，亦即构成这个空间的一组基矢。下面我们对有限维空间的情况给出一个证明。定理 在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量构成正交完全集。A的本征值方程为 可以用它们作为这个空间的一组基矢。 对于无穷维希伯特空间，厄米算符具有离散本征值的情况，虽然没有经过数学上

3、的一一证明，在物理上总是认为，厄米算符的全部线性无关的本征矢量，可以构成此空间的完全集, 进行正交化后，完全性关系成立，写成通常的下标形式，有： 在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符本征矢量去“构造”一个希尔伯特空间，其原因就在这里。 厄米算符A，本征值不论有无简并，本征矢量的集合构成此空间的一组正交归一完全集 , 在物理上，常常用厄米算符的本征矢量去确定一组基矢，甚至用厄米算符本征矢量去“构造”一个希尔伯特空间，其原因就在这里。3-2 本征矢量的完全性3-3 厄米算符完备组 对于一个希尔伯特空间，每一个厄米算符的全部线性无关的本征矢量，都可以用来构成空间的基矢，即

4、正交归一化完全集，这使我们能够得到一些有物理意义的基矢，给量子力学的讨论带来方便。 但是，当这个厄米算符的本征值有简并时，对应于这一本征值的本征矢量的数目与简并度相同，这时，由本征矢量所确定的基矢不是唯一的，在简并的子空间中可以有多种选择，这一小节的任务就是要消除这一不确定性，我们可以通过再取一个厄米算符去把本征子空间中的基矢确定下来。首先给出一个定理。定理 当且仅当两个厄米算符互相对易时，它们有一组共同的本征矢量完全集。 于是同样下面分两种情况：上述矢量成为B的本征矢量的条件是当b没有等根时，所得的共同本征矢量完全集就是完全确定的。共同本征矢量的完全性关系简写成 3-4无穷维空间的情况 以上我们对有限维空间作了较完整的讨论，但是在量子力学中更多见到的是无穷维的矢量空间。这种空间中厄米算符大体上有两种，一种是离散的本征值谱，其本征值（以及相应的本征矢量）是可数的无穷多个；另一种具有连续的本征值谱，具有不可数无穷多个本征值和相应的本征矢量。归一化： （1）离散谱的情况 本征方程：正交归一化关系： 完全性关系： （3.2） 归一化： （2）连续谱的情况 本征方程