SEC3-离散系统的时域分析

1、3.1 基本离散信号与LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应SEC3 离散系统的时域分析3.3 卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质3.2 微分方程差分方程卷积积分卷积和连续系统离散系统描述求解分析运算基本信号基本响应类比3.1 基本离散信号与LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。1. 差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：因此，可定义：（1）一阶前向差分定义：

2、f(k) = f(k+1) f(k) （2）一阶后向差分定义： f(k) = f(k) f(k 1)式中，和 称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k)（4）二阶差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1)= f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2) = f(k) 2 f(k-1) +f(k-2)（5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分

3、的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)。解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 一般不易得到解析

4、形式的(闭合)解。二、差分方程的经典解y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k)1. 齐次解yh(k)齐次方程y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 其特征方程为1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。参见P.99当特征根为单根时，齐次解yh(k)形式为： Ck当特征根为r重根时，齐次解yh(k)形式为：(Cr-1

5、kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式相同(r1）。（1） 激励f(k)=km (m0）所有特征根均不等于1时，特解为yp(k)=Pmkm+P1k+P0有r重等于1的特征根时，特解为yp(k)=krPmkm+P1k+P0（2） 激励f(k)=ak当a不等于特征根时; yp(k)=Pak当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(k)或sin(k) 且所有特征根均不等于ej ；yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k)本页不做要求例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(

6、k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。解： 特征方程为2 + 4+ 4=0可解得特征根1=2= 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ，解得P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k2 , k0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4y(k)= yh+yp = (k

7、 -1/4) ( 2)k + 2k2 , k0本页不做要求三、零输入响应和零状态响应y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以分别用经典法求解。y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, 1 , 2, , n 1(初始条件)设激励f(k)在k=0时接入系统， 通常以y(1), y(2) , ，y(n)描述系统的初始状态。yf(1) = yf(2) = = yf(n) = 0所以y(1)= yx(1) , y(2)= yx(2),，y(n)= yx(n) 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yx(j)和yf(j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1

8、)例：若描述某离散系统的差分方程为y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k)已知激励f(k)=2k , k0，初始状态y(1)=0, y(2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yx(k)满足方程yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0 其初始状态 yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 首先递推求出初始值yx(0), yx(1), yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2) yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1 , yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)=3 方程的特征根为 1= 1 ，2=

9、 2 ， 其解为 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 将初始值代入并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k0（2）零状态响应yf(k) 满足yf(k) + 3yf(k 1) + 2yf(k 2) = f(k) 初始状态yf(1)= yf(2) = 0递推求初始值yf(0), yf(1)，yf(k) = 3yf(k 1) 2yf(k 2) + 2k , k0yf(0) = 3yf(1) 2yf(2) + 1 = 1yf(1) = 3yf(0) 2yf(1) + 2 = 1分别求出齐次解和特解，得yf(k) = Cf1(1)k + Cf2(

10、2)k + yp(k)= Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k代入初始值求得Cf1= 1/3 , Cf2=1所以yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0作业：p.1273-22:(1)3-23：（1，2）3.2 单位序列和单位序列响应一、单位序列和单位阶跃序列定义：连续信号 是连续时间变量t的函数，记为f (t)。 离散信号 是离散时间变量tk（k为任意整数）的函数，记为f (tk)。离散信号表示：（a）图形表示：预习 复习（b）解析表示：（c）集合表示：预习 复习离散基本信号：1. 单位脉冲序列：位移单位脉冲序列：预习 复习运算：加：乘：

11、延时：迭分：预习 复习取样性质：偶函数：预习 复习2. 单位阶跃序列： (k)(1)定义：(2)运算：同一般离散信号的运算相加：相乘：延时：预习 复习迭分：3、 (k)与 (k) 关系：预习 复习3.正弦序列：预习 复习预习 复习4.复指数序列：预习 复习5.Z序列：类比：连续与离散基本信号的对应关系预习 复习二、单位序列响应和阶跃响应单位序列响应当LTI系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应称为单位序列响应（或单位样值响应、单位取样响应）。用h(k)表示，它的作用与连续系统中的冲激响应h(t)类似。求解系统的单位序列响应可用求解差分方程法或z变换法（见后面章节）。由于单位序列(k)仅

12、在k=0处等于1，而在k0时为0，因而在k0时，系统的单位序列响应与系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求解单位序列响应的问题转化为求解齐次方程的问题。而k=0处的h(0)值可按零状态的条件由差分方程确定。2. 阶跃响应当LTI系统的激励为单位序列(k)时，系统的零状态响应称为单位序列响应。用g(k)表示。若已知系统的差分方程，可以利用经典法可以求得系统的单位阶跃响应g(k)。此外由于由线性和移位不变性 由于那么例：求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响应g(k)。解：（1）列写差分方程，求初始值。由加法器的输出可写出系统的差分方程为y(k)=f(k)+y(k-1)+2y(k-2

13、)整理y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)根据单位序列响应的定义h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=(k)初始条件：h(-1)=h(-2)=0由迭代 h(0)=h(-1)+2h(-2)+(0)=1h(1)=h(0)+2h(-1)+(1)=1（2）求h(k)当k0时，h(k)满足齐次方程h(k)-h(k-1)-2h(k-2)=0其特征方程为 2- -2=(+1)(-2)=0其特征根为 1=-1，2=2，得齐次方程的解h(k)=C1(-1)k+C2(2)k,k0代入初始值得h(0)= C1+C2=1h(1)= -C1+2C2=1注意：这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足k=

14、0。 由上式可解得： C1=1/3 C2=2/3于是，系统的单位序列响应(3) 求g(k)解法1根据阶跃响应的定义,它满足方程g(k)-g(k-1)-2g(k-2)=(k)初始条件：g(-1)=g(-2)=0由迭代得：g(0)=g(-1)+2g(-2)+(0)=1g(1)=g(0)+2g(-1)+(1)=2容易求得其特解为：gp(k)=-1/2,k0代入初始值得：由上式得：于是，系统的阶跃响应：解法II由级数求和公式考虑到k0,得；作业：p.1273-24:(3)3.3 卷积和一、卷积和1 .序列的时域分解任意离散序列f(k) 可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) +

15、 f(1)(k-1)+ f(2)(k-2)+ + f(i)(k i) + 卷积和2 .任意序列作用下的零状态响应根据h(k)的定义：3 .卷积和的定义注意：求和是在虚设的变量i 下进行的， i 为求和变量，k 为参变量。结果仍为k 的函数。若有两个序列f1(k)和f2(k),如果序列f1(k)是因果序列，即有f1(k)=0，k0，则卷积和可改写为：若有两个序列f1(k)和f2(k),如果序列f2(k)是因果序列，即有f2(k)=0，k0，则卷积和可改写为：若有两个序列f1(k)和f2(k)均为因果序列，即有f1(k) =f2(k)=0，k0，则卷积和可改写为：例1：f (k) = a k(k)

16、, h(k) = b k(k) ，求yf(k)。这种卷积和的计算方法称为解析法。作业：p.1283-29：（2）（3）例2：求 (k) * (k)二、卷积的图解法自学卷积过程可分解为四步：（1）换元： k换为i得f1(i)， f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转 f2(i)右移k f2(k i)（3）乘积： f1(i) f2(k i)（4）求和： i 从到对乘积项求和。注意：k 为参变量。下面举例说明。例1：f1(k)、f2(k)如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？作业：p.1283-26：（1）三、不进位乘法求卷积f(k)=所有两序列序号之和为k 的那些样本乘积之和。如k=2时f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + 排成乘法本教材上提出的是列表法，本质