上海市上外附属大境中学2021-2022学年数学高二下期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

2、目要求的。1是（ ）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的奇函数2已知的分布列为：设则的值为（ ）ABCD53某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1. 961. 681. 821. 801. 601. 761. 741. 721. 921. 7830秒跳绳（单位：次）63756062727063在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6 人，则以下判断正确的为（ ）

3、A4号学生一定进入30秒跳绳决赛B5号学生一定进入30秒跳绳决赛C9号学生一定进入30秒跳绳决赛D10号学生一定进入30秒眺绳决赛4已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD5已知an为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（ ）A1BC2D36根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（ ）A1BCD7已知回归直线方程中斜率的估计值为，样本点的中心，则回归直线方程为（ ）ABCD8已知为定义在上的奇函数，且满足，则的值为 ( )ABCD9若，满足约束条件，则的最大值为（ ）ABC5D610曲线在点处的切线方程是( )ABCD11如图所示为

4、底面积为2的某三棱锥的三视图，则该三棱锥的侧面积为（ ）ABCD12若函数为奇函数，则ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若函数为偶函数，则的值为_14已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且球的表面积为,平面,则三棱锥的体积为_15若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为_ .16在四棱锥中，底面是等腰梯形，其中，若，且侧棱与底面所成的角均为45，则该棱锥的体积为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数,（1）求函数的单调区间：（2）记的最小值为，求的最大值18（12分）设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）

5、且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程； （）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点， 求证：是定值，并求出该定值.19（12分）设函数，（1）若函数f（x）在处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；20（12分）已知（I）求； （II）当，求在上的最值21（12分）为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表：时间星期

6、一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量（万辆）1234567的浓度（微克/立方米）28303541495662（1）求关于的线性回归方程；（提示数据： ）（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时的浓度；（II）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中， .22（10分）已知.（1）求的最小值；（2）已知为正数，且，求证.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小

7、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】整理,即可判断选项.【详解】由题,因为,所以该函数是奇函数,周期为,故选:D【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用.2、A【解析】求出的期望，然后利用，求解即可【详解】由题意可知E（）101，所以E（12）1E（）21故选A【点睛】本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出的分布列，再由分布列求出期望3、D【解析】先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果【详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，

8、3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.【点睛】本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.4、D【解析】分析：求出导函数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果即可详解：函数，可得f（x）=x2mx+1，函数在区间1，2上是增函数，可得x2mx+10，在区间1，2上

9、恒成立，可得mx+，x+2=1，当且仅当x=2，时取等号、可得m1故选：D点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.5、C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=11，联立可求公差d解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=11，得：解得：a1=1，d=1故选C考点：等差数列的前n项和6、C【解析】根据程序图，当x0继续运行，x=1-2=-10，故所以=0+2=2，故答案为2.点睛

10、：考查偶函数的基本性质，根据偶函数定义求出第二段表达式是解题关键，属于中档题.14、1【解析】由题意两两垂直，可把三棱锥补成一个长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球由此计算即可【详解】平面，又，三棱锥可以为棱补成一个长方体，此长方体的外接球就是三棱锥的外接球由，得，即，故答案为1【点睛】本题考查棱锥及其外接球，考查棱锥的体积，解题是把三棱锥补成长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，而长方体的对角线就是球的直径，这样计算方便15、1【解析】先根据侧面展开是面积为的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解.【详解】如图所示：设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，因

11、为圆锥的侧面展开图是半径为l，面积为的半圆面，所以，解得，因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长，所以，故圆锥的底面半径.【点睛】本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式.16、【解析】过作于，求得，设为的中点，则，由题意得顶点在底面的射影为，且，再根据体积公式即可求出答案【详解】解：过作于，设为的中点，则，侧棱与底面所成的角均为45，顶点在底面的射影到各顶点的距离相等，即为等腰梯形的外接圆的圆心，即为点，为四棱锥的高，即平面，该棱锥的体积，故答案为：【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，考查线面垂直的的性质，考查推理能力，属于中档题三、

12、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单减区间为，单增区间 （2）【解析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）由（1）可得的最小值，作为的函数，对求导，同样利用导数与单调性的关系确实单调性后得最大值，只是确定的零点时，要先确定的单调性，然后才能说明零点的唯一性【详解】（1）， 单减区间为，单增区间 （2）由（1），容易得到在上单调递减，时，时，所以在单增，单减，【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性函数的导函数是，一般由确定增区间，由确定减区间要注意有时函数的零点不易确定，可能还要对求导，以确定的单调性及零点有存在性18、（I）（）；（II）【解

13、析】（I）根据几何关系，即可证明为定值，再利用椭圆的定义即可求出点E的轨迹方程；（）利用点斜式设出直线的方程，与椭圆方程联立方程组，得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系以及弦长公式表示出，同理可得，代入中进行化简即可证明为定值。【详解】（I）因为，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以，由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）. （II）依题意：与轴不垂直，设的方程为,.由得,.则，.所以. 同理： 故(定值)【点睛】本题考查解析几何中的轨迹问题以及定值问题，综合性强，运算量大，属于中档题。19、（1）函数f（x）的最大值为（2）存在，详见解析【解析】（1）函数f（x）在处有极值说

14、明（2）对求导，并判断其单调性。【详解】解：（1）由已知得：，且函数f（x）在处有极值，当时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减；函数f（x）的最大值为（2）由已知得：若，则时，在上为减函数，在上恒成立；若，则时，在0，+）上为增函数，不能使在上恒成立；若，则时，当时，在上为增函数，此时，不能使在上恒成立；综上所述，b的取值范围是【点睛】本题主要考查了函数的极值，以及函数单调性的讨论，在解决此类问题时关键求导，根据导数判断单调性以及极值。属于难题。20、 (1) .（2），.【解析】分析：（1）对函数求导，指接代入x=1即可；（2）将参数值代入，对函数求导，研究函数的单调性得到最值.详解

15、：(1) （2）解：当时， 令即 解得：或是得极值点因为不在所求范围内，故舍去 ，点睛：这个题目考查的是函数单调性的研究和函数值域.研究函数单调性的方法有：定义法，求导法，复合函数单调性的判断方法，即同增异减，其中前两种方法也可以用于证明单调性，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.21、 (1) ;(2)() 91微克/立方米;() 13万辆.【解析】(1)由数据可得： ， 结合回归方程计算系数可得关于的线性回归方程为. (2)(I)结合(1)中的回归方程可预测车流量为12万辆时， 的浓度为91微克/立方米. (II)由题意得到关于x的不等式，求解不等式可得要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.【详解】(1)由数据可得： ， ， ，故关于的线性回归方程为. (2)(I)当车流量为12万辆时，即时， .故车流量为12万辆时， 的浓度为91微克/立方米. (II)根据题意信息得： ，即， 故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内.【点睛】一是回归分析是对具有相关关