河南省信阳市普通高中2022年数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知n元均值不等式为：，其中均为正数，已知球的半径为R，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为 ABCD2为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日

2、来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）ABCD3已知偶函数在单调递减，则不等式的解集为（）ABCD4对相关系数，下列说法正确的是（ ）A越大，线性相关程度越大B越小，线性相关程度越大C越大，线性相关程度越小，越接近0，线性相关程度越大D且越接近1，线性相关程度越大，越接近0，线性相关程度越小5已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）ABCD6已知命题 R，使得 是幂函 数，且在上单调递增命题：“ R，”的否定是“ R，”，则下列命题为真命题的是 （ ）ABCD7设x0是函数f（x）lnx+x4的零点，则x0所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4

3、）8已知，则a，b，c的大小关系为ABCD9已知函数的导函数为，且满足，则的值为（ ）A6B7C8D910某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得，由断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（ ）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A0.1B0.05C0.01D0.00111恩格尔系数,国际上常用恩格尔系数来衡量一个地区家庭的富裕程度，某地区家庭2018年底恩格尔系数为，刚达到小康

4、，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数满足达到富裕水平至少经过（ ）（参考数据：，,，）A年B年C年D年12下列命题错误的是（ ）A命题“若，则”的逆否命题为“若 ，则”B若为假命题，则均为假命题C对于命题：，使得，则：，均有D“”是“”的充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，若，则实数的取值范围是_14若是函数的极值点，则的极小值为_.15已知平面向量，若，则_.16把一个大金属球表面涂漆，共需公斤油漆，若把这个大金属球融化成个大小都相同的小金属球，不计损耗，把这些小金属球表面都涂

5、漆，需要这种油漆_公斤.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项.求：(1)展开式的二项式系数和；(2)展开式中项的二项式系数.18（12分）已知抛物线的焦点为，圆：与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.求抛物线的方程；设圆与抛物线交于两点，点为抛物线上介于两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于两点，在圆上是否存在点，使得直线均为抛物线的切线，若存在求出点坐标（用表示）；若不存在，请说明理由.19（12分）近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝而每平方米

6、发生渗水现象的直接经济损失约为元，且渗水面积以每天的速度扩散当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人元，劳务费及耗材费为每人每天元若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作写出关于的函数关系式；应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小（总损失因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）20（12分）已知函数.证明：；已知，证明：.21（12分）已知集合，其中。表示集合A中任意两个不同元素的和的不同值的个数。(1)若，分别求和的值；(2)若集合，求的值，并说明理由；(3)集合 中有2019个元素，求的最小值，并说明理由。

7、22（10分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n元均值不等式可求最大值.【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，则有，解得；正四棱锥的体积，当且仅当时取到最大值，故选A.【点睛】本题主要考查四棱锥体积的求解和n元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.2、C【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，

8、最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有,所以所求概率为选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.3、B【解析】因为函数是偶函数，所以，那么不等式转化为，利用单调性，解不等式.【详解】函数是偶函数， 在单调递减， ，即 .故选B.【点睛】本

9、题考查了偶函数利用单调性解抽象不等式，关键是利用公式转化不等式，利用的单调性解抽象不等式，考查了转化与化归的思想.4、D【解析】根据两个变量之间的相关系数r的基本特征，直接选出正确答案即可【详解】用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，|r|1，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故选D【点睛】本题考查两个变量之间相关系数的基本概念应用问题，是基础题目5、C【解析】函数在时取得最大值,在或时得,结合二次函数图象性质可得的取值范围.【详解】二次函数的图象是开口向下的抛物线.最大值为，且在时取得，而当或时，.结合函

10、数图象可知的取值范围是故选:C【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.6、C【解析】利用复合命题的真值表进行判断即可，注意中的幂函数的系数为1，而中的小于的否定是大于或等于【详解】命题令，解得，则为幂函数，且在上单调递增，因此是真命题，命题 “， ”的否定是“，”，因此是假命题，四个选项中的命题为真命题的是，其余的为假命题，故选C【点睛】（1）幂函数的一般形式是，而指数函数的一般形式是；（2）我们要熟悉常见词语的否定，若“大于”的否定是“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”，“至少有一个”的否定是“一个都没有”等7、C【解析】由函数的解析式可得，再根据函数

11、的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案【详解】因为是函数的零点，由，所以函数的零点所在的区间为，故选C【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8、D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先

12、考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确9、C【解析】求出，再把代入式子，得到.【详解】因为，所以.选C.【点睛】本题考查对的理解，它是一个常数，通过构造关于的方程，求得的值.10、D【解析】根据观测值K2，对照临界值得出结论【详解】由题意，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为.故选D【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题11、B【解析】根据“每年消费支出总额增加，食品消费支出总额增加”以及列不等式，解不等式求得至少经过的年份.【详解】设经过的年份为年，依题意有，

13、即，两边取以为底的对数得，即，故至少经过年，可使家庭恩格尔系数满足达到富裕水平.故选B.【点睛】本小题主要考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查实际生活中的函数运用，考查阅读与理解能力，属于中档题.12、B【解析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A；由复合命题的真值表即可判断B; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C；根据充分必要条件的定义即可判断D；【详解】A命题：“若p则q”的逆否命题为：“若q则p”，故A正确；B若pq为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故B错C由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p：xR，使得x2+x+10，则p为：xR，均有x2+x+10，故C正确；D由x23

14、x+20解得，x2或x1，故x2可推出x23x+20，但x23x+20推不出x2，故“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，即D正确故选：B【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】对的范围分类讨论函数的单调性，再利用可判断函数在上递增，利用函数的单调性将转化成：，解得：，问题得解.【详解】当时，它在上递增，当时，它在上递增，又所以在上递增，所以可化为：，解得：.所以实数的取值范围是故填：【点睛】本题主要考查了分类思

15、想及函数单调性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。14、【解析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【详解】，是的极值点，即，解得，由，得或；由，得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，的极小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，属中档题15、5【解析】由向量平行关系求出，利用向量模的公式即可得到答案【详解】因为，所以，解得，则，故【点睛】本题考查向量平行以及向量模的计算公式，属于基础题16、【解析】根据大金属球和64个小金属球体积相同，求半径的比值，再求大金属球和64个小金属球的表面积比值，最后求油漆数量.【详解】

16、，.故答案为：【点睛】本题考查球的体积和表面积的实际应用问题，重点考查表面积和体积公式，关键是利用前后体积相等求半径的比值，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)(2)【解析】根据通项公式,求出二项式的常数项,再求出的展开式的各项系数之和,根据题意可以求出的值；(1)直接运用二项式展开式二项式系数和公式求解即可；(2)运用二项式的通项公式即可求出展开式中项的二项式系数.【详解】二项式的通项公式为：,令,因此的展开式中的常数项为：,在中,令,所以的展开式的各项系数之和为,由题意可知：.,(1) 因为,所以展开式的二项式系数和为；(2) 因为,所

17、以二项式的通项公式为：,令,所以展开式中项的二项式系数为：.【点睛】本题考查了二项式通项公式的应用,考查了数学运算能力,区分是二项式的系数还是项的系数是解题的关键.18、；存在,.【解析】(1)由题意，从而求得抛物线方程；（2）设，可设出切线方程及，并设出过点的直线与抛物线相切，从而联立抛物线知，同理，可表示过点N的切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案.【详解】是等边三角形，原点为中点，半径圆，半径，抛物线设，过点作抛物线的两条切线（异于直线）交于点，并设切线，由替换法则，抛物线在点处的切线方程为即记设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得，即根据韦达定理，由可得， 同理可得，切线

18、联立与圆可得，韦达定理可得，联立、并代入可求得，代入可求得 .所以即切线的交点在圆上，故存在圆上一点满足均为抛物线的切线.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力，分析能力，转化能力，难度较大.19、（1）（2）应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小【解析】（1）由题意得要抢修完成必须使得抢修的面积等于渗水的面积，即可得，所以；（2）损失包渗水直接经济损失+抢修服装补贴费+劳务费耗材费，即可得到函数解析式，再利用基本不等式，即可得到结果【详解】由题意，可得，所以设总损失为元，则当且仅当，即时，等号成立，所以应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小【点睛】本题主要考查了函

19、数的实际应用问题，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题是关键，以及合理运用函数与不等式方程思想的有机结合，及基本不等式的应用是解答的关键，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力20、证明见解析；证明见解析.【解析】(1) ，于是证明即可，左边可由所证得到；（2）即证，表示成含n的表达式，利用数学归纳法可证.【详解】令，则在上单调递增，在上单调递减.，即当时，由可得，即，即由可知下面用数学归纳法证明当时，结论成立；假设时，结论成立，即；当时，设，其中，则在上单调递增又，数列单调递增，故由归纳假设和中结论时结论成立，即结合可得，即【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.21、 (1) 5，10 (2)见解析；(3) 最小值是4035【解析】（1）根据题意进行元素相加即可得出和的值；(2) 因为共有项，所以由集合，任取，由此能出的值