空间中的垂直关系64859

1、空间中的垂直关系(1-2)1一. 直线与平面垂直的定义1 两直线互相垂直： 如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。2 观察旗杆与地面内的每一条直线有什么关系，旗杆与地面的关系呢？32 直线与平面垂直： 如果一条直线（l）和一个平面（）相交于点A，并且l和这个平面内过点A的任何直线都垂直，则该直线垂直于这个平面，记作l，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。4lAab5 在几何中，定义兼具两重性，既是判定又是性质。判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是判定证明直线与平面垂直的一种

2、方法；性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。6 这是在线面垂直问题中经常要用到的一个结论。即判断正误：如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂直，则直线 l和平面 互相垂直.7二. 直线与平面垂直的判定定理1定理：文字语言：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.图形语言：符号语言：a ，b ，ab=O，la，lb， l.8 实验：过ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，且使折痕ADBC，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.DCBA9已知： ， 求证： 证明：设m是内的任意一条直线 推论1

3、 ：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 10推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 。已知：直线l平面，直线m平面，垂足分别为a，b，求证：l/m.证明：假设直线m与直线l不平行。过直线m与平面的交点B作直线m/l，11由直线与平面垂直的判定定理的推论1可知m. 设m和m确定的平面为，与的交线为a，因为直线m和m都垂直于平面，所以 直线m和m都垂直于交线a，因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，所以直线m与m必重合，即有l /m.12例1过一点和已知平面垂直的直线只有一条。已知：平面和一点P.求证：过点P与垂直的直

4、线只有一条。13证明：不论P点在外或内，设PA，垂足为A(或P)， 如果过P点，除直线PA外，还有一条直线PB，设PA，PB确定的平面为, 且=a， 于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线a， 这是不可能的。所以过点P与垂直的直线只有一条。14例2已知：直线l平面，垂足为A，直线APl. 求证：AP在内。证明：设AP与l 确定的平面为，假设AP不在内，则设与相交于直线AM。因为l，AM ,所以lAM，15又已知APl，于是在平面内，过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的，所以AP一定在内。16直线与平面垂直的判定方法3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个

5、平面。1.定义：如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线，则此直线垂直于这个平面.2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。4.如果直线和平面所成的角等于90,则这条直线和平面垂直17练习题： 1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交C182、在空间，下列命题（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（ ）A. (1)(3)(4) B. (1)

6、(4) C. (1) D.四个命题都正确。B193 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1HD1O，H为垂足，求证：B1H平面AD1C.证明：连接B1D1， B1BAB，B1BBC， B1B平面ABCD， B1BAC，20 又ACBD， AC平面BB1D1D，又B1H平面BB1D1D， ACB1H，又B1HD1O， B1H平面AD1C.21平面与平面垂直1 定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。两个平面，互相垂直，记作：。22两个平面互相垂直的画法： 画两个互相垂直的平面，把直立平

7、面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图所示，平面和平面垂直，记作：。232 平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；图形语言：符号语言：AB，AB=B，AB 。24253平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；图形语言：符号语言：,=a，AB ，ABa，且垂足为B， AB.26已知：平面平面，=CD，BA ，BACD，B为垂足，求证：BA.证明：在平面内过点B作BECD，因为， 所以BABE，又因为BACD，CDBE=B，所以BA。27例3已知：平面平面，在与的交线上取线段A

8、B=4cm，AC，BD分别在平面和平面内，它们都垂直于交线AB，并且AC=3cm，BD=12cm，求CD的长。解：连接BC，因为BDAB，直线AB是两个互相垂直的平面 和的交线，28所以 BD，BDBC， 所以CBD是直角三角形，在直角BAC中，BC= 在直角CBD中，CD=所以CD的长为13cm. 29例4已知RtABC中，AB=AC=a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使BDC成直角，求证：（1）平面ABD平面BDC，平面ACD平面BDC；（2）BAC=60.30证明：（1）如图，因为ADBD，ADDC， 所以AD平面BDC，因为平面ABD和ACD都过AD，所以平面ABD平面BDC，平面

9、ACD平面BDC；31（2）在原图中，直角BAC，因为AB=AC=a，所以BC= a， 所以 BD=DC= a， BDC是等腰直角三角形。 所以BC= BD= a BDC是等腰直角三角形。 所以AB=AC=BC，因此BAC=60. 32练习题1 下列命题中正确的是（ ）（A）平面和分别过两条互相垂直的直线，则 （B）若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则 （C）若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则（D）若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则C332设两个平面互相垂直，则（ ）（A）一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 （B）过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内 （C）过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 （D）分别在两个平面内的两条直线互相垂直B343. 如图所示：四边形ABCD是平行四边形，直线SC平面ABCD，E是SA的中点， 求证：平面EBD平面ABCD. 证明：连接AC，BD，交点为F，连接EF，EF是SAC的中位线， EF/SC.35 SC平面ABCD， EF平面ABCD，又EF 平面BDE， 平面BDE平面ABCD.364 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=3，B1B=4，连接B1C，过B作BEB1C，交B1C于F，交CC1于E， 求证：平面BDE平面A1BCD1。 证明：连接AC，ABCDA1