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文档简介
1、高二数学期末调研理科 第7页 共7页南京市20232023学年度第一学期期末调研试卷高二数学理科2023.01本卷须知:1本试卷共4页,包括填空题第1题第14题、解答题第15题第20题两局部本试卷总分值为160分,考试时间为120分钟2答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后,交答复题卡一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1命题“假设ab,那么|a |b|的逆否命题是2双曲线x21的渐近线方程是3复数为纯虚数,其中i是虚数单位,那么实数a的值是4在平面直角坐标系xOy中,点(4
2、,3)到直线3x4ya0的距离为1,那么实数a的值是5曲线yx4与直线y4xb相切,那么实数b的值是6实数x,y满足条件那么z2xy的最大值是7在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y24x的焦点为F,P为抛物线C上一点,且PF5,那么点P的横坐标是8在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2y2r2(r0)与圆M:(x3)2(y4)24相交,那么r的取值范围是9观察以下等式(sin)2(sin)212; (sin)2(sin)2(sin)2(sin)223; (sin)2(sin)2(sin)2(sin)234; (sin)2(sin)2(sin)2(sin)245;依此规律,当nN*时,(sin)
3、2(sin)2(sin)2(sin)210假设“xR,x2axa0是真命题,那么实数a的取值范围是11函数f(x)(x2xm)ex(其中mR,e为自然对数的底数)假设在x3处函数f (x)有极大值,那么函数f (x)的极小值是12有以下命题:= 1 * GB3“m0是“方程x2my21表示椭圆的充要条件;= 2 * GB3“a1是“直线l1:axy10与直线l2:xay20平行的充分不必要条件;= 3 * GB3“函数f (x)x3mx单调递增是“m0的充要条件;= 4 * GB3p,q是两个不等价命题,那么“p或q是真命题是“p且q是真命题的必要不充分条件其中所有真命题的序号是13椭圆E:1
4、(ab0)的焦距为2c(c0),左焦点为F,点M的坐标为(2c,0)假设椭圆E上存在点P,使得PMPF,那么椭圆E离心率的取值范围是14t0,函数f(x)假设函数g(x)f(f(x)1)恰有6个不同的零点,那么实数t的取值范围是二、解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy中,ABC三个顶点坐标为A(7,8),B(10,4),C(2,4)(1)求BC边上的中线所在直线的方程;(2)求BC边上的高所在直线的方程16(此题总分值14分)数列an满足a11,(an3)an1an40(nN*).(1
5、)求a2,a3,a4;(2)猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明.17(此题总分值14分)在平面直角坐标系xOy中,圆M的圆心在直线y2x上,且圆M与直线xy10相切于点P(2,1)(1)求圆M的方程;(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为,求直线l的方程18(此题总分值16分)某休闲广场中央有一个半径为1(百米)的圆形花坛,现方案在该花坛内建造一条六边形观光步道,围出一个由两个全等的等腰梯形(梯形ABCF和梯形DEFC)构成的六边形ABCDEF区域,其中A、B、C、D、E、F都在圆周上,CF为圆的直径(如图)设AOF,其中O为圆心(1)把六边形ABCDEF的面积表示成关于的函数f()
6、;(2)当为何值时,可使得六边形区域面积到达最大?并求最大面积AABCFDE第18题图O19(此题总分值16分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:1(ab0)的离心率为,两个顶点分别为A(a,0),B(a,0),点M(1,0),且3,过点M斜率为k(k0)的直线交椭圆E于C,D两点,其中点C在x轴上方 (1)求椭圆E的方程; (2)假设BCCD,求k的值; (3)记直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求证:为定值DDxAByCMO(第19题图)20此题总分值16分函数f(x)axlnx(aR).(1)当a1时,求f(x)的最小值;(2)假设存在x1,3,使得lnx2成立,求a的取值范围;(3
7、)假设对任意的x1,),有f(x)f()成立,求a的取值范围.南京市20232023学年度第一学期期末检测卷高二数学理科参考答案及评分标准202301说明:1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续局部的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该局部正确解容许得分数的一半;如果后续局部的解答有较严重的错误,就不再给分3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数,填空题不给中间分数一、填空题本大题共14小题,每题5分,共70分1假设
8、|a |b|,那么ab 2y2x 32 45 53 69 74 8(3,7) 9 10(,04,) 111 12= 4 * GB313, 14(3,4) 二、解答题本大题共6小题,共90分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15此题总分值14分解:1由B(10,4),C(2,4),得BC中点D的坐标为6,0,2分所以AD的斜率为k8, 5分所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y08(x6),即8xy480 7分2由B(10,4),C(2,4),得BC所在直线的斜率为k1, 9分所以BC边上的高所在直线的斜率为1, 12分所以BC边上的高所在直线的方程为y81(x7),即xy150 14分1
9、6此题总分值14分解:1令n1,2a230,a2,1分令n2,a340,a3,2分令n3,a440,a43分2猜想an(nN*)5分证明:当n1时,a11,所以an成立, 6分假设当nk时,an成立,即ak,8分那么(ak3)ak1ak40,即(3)ak140,所以ak1,即ak1,所以当nk1时,结论an成立. 12分综上,对任意的nN*,an成立. 14分17此题总分值14分解:1过点(2,1)且与直线xy10垂直的直线方程为xy30,2分由解得所以圆心M的坐标为(1,2),4分所以圆M的半径为r,6分所以圆M的方程为 (x1)2(y2)227分2因为直线l被圆M截得的弦长为,所以圆心M到
10、直线l的距离为d,9分假设直线l的斜率不存在,那么l为x0,此时,圆心M到l的距离为1,不符合题意假设直线l的斜率存在,设直线l的方程为ykx,即kxy0,由d,11分整理得k28k70,解得k1或7,13分所以直线l的方程为xy0或7xy014分18此题总分值16分解:1作AHCF于H,那么OHcos,AB2OH2cos,AHsin,2分那么六边形的面积为f ()2(ABCF)AH(2cos2)sin2(cos1)sin,(0,)6分2f ()2sinsin(cos1)cos2(2cos2cos1)2(2cos1)(cos1)10分令f ()0,因为(0,),所以cos,即,12分当(0,)
11、时,f ()0,所以f ()在(0,)上单调递增;当(,)时,f ()0,所以f ()在(,)上单调递减,14分所以当时,f ()取最大值f ()2(cos1)sin15分答:当时,可使得六边形区域面积到达最大,最大面积为平方百米16分19此题总分值16分解:1因为3,所以3(1a,0)(a1,0),解得a22分又因为,所以c,所以b2a2c21,所以椭圆E的方程为y214分2方法1设点C的坐标为(x0,y0),y00,那么(1x0,y0),(2x0,y0)因为BCCD,所以(1x0)( 2x0)y020= 1 * GB36分又因为y021,= 2 * GB3联立= 1 * GB3= 2 *
12、GB3,解得x0,y0,8分所以k210分方法2因为CD的方程为yk(x1),且BCCD,所以BC的方程为y(x2),6分联立方程组,可得点C的坐标为(,),8分代入椭圆方程,得()21,解得k2又因为点C在x轴上方,所以0,所以k0,所以k210分3方法1因为直线CD的方程为yk(x1),由消去y,得(14k2)x28k2x4k240,设C(x1,y1),D(x2,y2),那么x1x2,x1x212分所以14分3,所以为定值16分方法2因为直线AD的方程为yk1(x2),由解得D(,),12分因为直线BC的方程为yk2(x2),由解得C(,),由于C,M,D三点共线,故,共线,又(1,)(,
13、),(1,)(,),所以,14分化简得12k22k1k14k12k23k2,即(4k1k21)(k13k2)0,假设4k1k210,那么k2代入C(,),化简得C(,),此时C与D重合,于是4k1k210,从而k13k20,所以3,即为定值16分方法3设C(x0,y0),那么CD:y(x+1)(2x02且x01),由消去y,得(x01)24y02x28y02x4y024(x01)20.12分又因为y021,所以得D(,),14分所以3,所以为定值16分方法4设D(x0,y0),y00,那么k1kBD12分因为CD的方程为yk(x1),设C(x1,y1),D(x2,y2),由消去y,得(14k2
14、)x28k2x4k240,那么x1x2,x1x2,所以k2kBD14分又因为k1kBD,所以3,即为定值16分20此题总分值16分解:1a1时,f(x)xln x , 那么f (x)1,令f (x)0,那么x12分当0 x1时,f (x)0,所以f(x)在(0,1)上单调递减;当x1时,f (x)0,所以f(x)在(1,)上单调递增,3分所以当x1时,f (x)取到最小值,最小值为14分2因为lnx2(x0),所以axlnx(2lnx)x2,即a2xxlnx,6分设g(x)2xxlnx,x1,3,那么g (x)2(1lnx)(1lnx)(1),令g (x)0,解得xe,当1xe时,g(x)0,所以g(x)在(1,e)上单调递增;当ex3时,g(x)0,所以g(x)在(e,3)上单调递减,8分因为g(1)2,g(e)e,g(3)6ln3,因为6ln32,所以函数g (x)的值域是2,e,所以a的取值范围是2,e10分3对任意的x1,),有f(x)f()成立,那么axlnxlnx,即a(x)2lnx0令h(x)a(x)2lnx,那么h(x)a(1),当a1时,ax22
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