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文档简介

1、第二节、二重积分的性质假设以下各积分存在性质1k为常数性质2性质3 （可加性）（除分界线）性质4 如果性质5 (不等式性) 如果在D上特别的:性质6 (估值性) 设性质7 (积分中值定理) 设f(x,y)在闭区域D上连续,则至少存在一点证明：三、举例例2、 设区域D:是变量y的奇函数XYO解：是变量x的偶函数注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立例3、 估计下列积分值Ep4:其中D由x=0,y=0及x+y=1围成解：Ep5：解：第二节 二重积分的计算方法（1）一、区域的类型及表示1、X-型区域：穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyoo

2、o2、Y-型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交至多两点3、其它类型 如图非X-型，非Y-型区域xyycdooxy例1、闭区域D由所围成，使用联立不等式表示区域D解：法一、D是X型区域 则法二、D是Y-型区域且一般的综上：类似的，若D为Y-型区域称为先x后y的二次积分情形仍成立关键，步骤如下：法一 D是X-型区域，且法二 D是Y-型区域，且(4,2)(-1,1)例3、计算，其中D由所围成解：D是X-型区域又 D是Y-型区域无法积分这说明此积分先x后y的顺序的方法失效注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性。例4、改变二次积分的积分次序均为X-型，画出区域D如图视为Y-型区域解：则原式=例5、计算由曲面所围立体的体积解：立体如图，且在xoy面上投影区域放在极坐标系中第一步 分割:用两族曲线r=常数同心圆=常数射线任意分割区域D为n个小区域除含边界的小区域外，其它小闭区域面积第二步 取且对应的直角坐标系为则从而其中为极坐标系下的面积元素 注: 相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要换限 情形（3）极点在D内D例1：计算D是由曲线解：例2、将化为极坐标系下的二次积分解：在极坐标系下

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