狭义相对论推导详细计算过程

1、狭义相对论狭义相对论基本原理：基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价 的。在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c，与光源的运动状态无关。假设S系和S系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S系沿S系的x轴正方向 以速度v相对于S系作匀速直线运动，x、y、z轴分别与x、y、z轴平行，两惯性系原点 重合时，原点处时钟都指示零点。I洛伦兹变换现假设，x=k(x-vt)，k是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S系的坐标变 换为S系，有 x=k(x +vt)，另有y =y，z =z。将彳弋入：x=kk(x-vt)+vt x=kA2*(x-vt)+kvt7t

2、7 =kt+(1-kA2)x/kv两原点重合时，有t=t=0,此时在共同原点发射一光脉冲，在S系，x=ct，在S系，x=ct， 将两式代入和：ct=k(c-v)t得 ct=kct-kvt 即 t=(kct-kvt)/cct=k(c+v)t得ct=kct+kvt两式联立消去t和tct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=kA2ct-kA2vt+kA2vt-kA2vA2t/ccA2=kA2cA2-kA2vA21k=； 二v1 - V 2 / c 2将k代入各式即为洛伦兹变换：X 一 Vtx7=.v1 一 V 2 / c 2y=yz=zt - VX / c 2t=:V1 一 V 2

3、 / c 2或有x=k(x+vt)x=k(x-vt)=k(1+v/c)x=k(1-v/c)x两式联立，x =k(1-v/c)k(1+v/c)x1k=:=1一 V 2 /c2II同时的相对性S中取A(X1,y,z,t1 )和8 (xy,z,t2)，同时发出一光脉冲信号，即=t2,且xx2。4444,t - VX / C2,(X - ,t - VX / C2,(X - X)V / C2L,，= 22， A t，= t，- t，=21 ，由于 XA t，1 - V2 / C2 VI - V2 / C21 - V2 / C2说明在S，系中，两事件的时间间隔小于在S系看来的间隔，即在S系看来，S，系中的

4、 时钟变慢了。（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S中观察到的间隔要 长一些，便认为是S，系中的时钟变慢了。）IV长度收缩效应（尺缩）S，系中放置一沿x轴方向的长杆，设两端点的坐标是x1，和x2,，则静止长度A L，=AL0= x2，- x1，称为固有长度。在S系中要测量长杆的长度，必须同时测出x1和x2,即t= t2。由x 一 Vtx 一 Vtx 一 xALx1，= . 11 和 x2，二 二 2得 AL0= AL，= x2，- x二1= :=/1 一 V 2 / C 21 一 V 2 / C 2 1 一 V 2 / C 2V1 一 V 2 / C 2则AL=AL0v1-V2/

5、C2 c2 - c2 ：1 - V 2 / c2.寸 1 V2/c 2m得mB=.，： =，在S系中二者以相同的速度沿相反方向运动，而在S系中，mAB静止，可看做静质量（m0）。mB以速率vB运动，可视为运动质量，称相对论质量。则运动 物体的质量与其静质量的一般关系即m） 1 一 V 2 / C 2VII相对论动力学基本方程相对论动量p=mv= ,0=（p、v均为矢量）1 一 V 2 / C 2物体受力F=dp/dt= %V /dt (F、p、v均为矢量) 1 一 V 2 / C 2当v2(-1)V 1 一 V 2 / C 21当vc时对 作泰勒展开，得1 一 V 2 / C 21.=1+vA

6、2/2cA2+3vA4/8cA4+板 1 一 V 2 / C 2取前两项有Ek= m0cA2(1+ vA2/2cA2-1)= mvA2/2，即经典力学动能表达式。而式可改写为mcA2=Ek+m0cA2, mcA2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mcA2为物体的总能量。将总能量用E表示，写作E=mcA2=、mC 即相对论质能关系。Y 1 V 2 / C 2泰勒展开：根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有1f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)xA2/2!+fn(0)xAn/n!。对于 f(v)=:-1 一 V 2 / c 22七1f (v)= * =C22( ,.1- V2 /c2)3

7、VC21 V2 /C2 )32V f2V f(v)=* C232(1 V2/C2 )5V1C2 C2 31 V2 /C2 )3 TOC o 1-5 h z 3v 21=: +:C4(r1 V2 /C2 )5C2(1 V2 /C2 )3f3(v)=6v*5*v 23-2v2v31* * + * + * ,* C 22(.1 V 2/C 2)7 C 42(E V 2 / C 2)5 C 4C 22(七1 V 2 / C 2)5 C 215v39vC6(x1 V2 /C2 )7C4(,.；1 V2 /C2 )5f4(v)=15 TOC o 1-5 h z 2v105“ 315,3v 22v15- v

8、15*-* + *+ - *-.* +C22(1.T-V 2/C 2)9 C62(t1-V2/c2)7 c 6 C22(*1-V 2 / C 2)7 C46 一 , -殳 * -15 / +3 C4(p1 V2 /C2 )5c22(t1 V2 /C2)7 c4 。4(*1 V2 /C2)5 105V490V29C8(%1 - V 2 / C 2 )9 C6(%1 - V 2 / C 2)7 C4(J1 - V 2 / C 2)5此处，f(v)=f(0)+f(0)v+f(0)vA2/2!+ f3(v)vA3/3!+ f4(v)vA4/4!+=1+0+vA2/2cA2+0+3vA4/8cA4+=1+vA2/2cA2+3vA4/8cA4+区能量-动量关系代入质能方程，得将p=mv=0 V中的vA2解出，得vA2=迎2，代入质能方程，得1 一 V 2 / C 2p 2 + m02 C 2m c 2_0_Em c 2_0_EJ1 - p 2 /( p 2 + m 2 C 2)0m 2 c 20p 2 + m 2 C 2则EA2=pA2cA2+m0A2cA4