高三复习数列知识点和经典试题的解题方法归纳

1、数列学问点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质定义：an1and d为常数,ana 1n1d；n 的常数项为等差中项：x,A, 成等差数列2Axy前 项和Sna 1annna1n n1d22性质：a n是等差数列（ ）如mnpq,就ama napa q；（2）数列a2n1,a 2n,kanb仍为等差数列；Sn,S2nSn,S3nS2n 仍为等差数列；（ ）如三个数成等差数列,可设为ad, ,ad；（4）如an,bn是等差数列Sn,T n为前n项和,就amS 2m1bmT2m1（ ）an为等差数列Snan2bn（ , 为常数,是关于0 的二次函数）Sn的最值可求二次函数Snan2bn的

2、最值；或者求出an中的正、负分界项,即：又当a10,d0,解不等式组an100可得Sn达到最大值时的n值；an当a10,d0,由an100可得Sn达到最小值时的n值；nan如：等差数列an1an23,S 31,就an,S n18,an（由anan1an233an13,an11S 3a12a333a21,a 213Sna1anna2an1n121n18n27）322二、等比数列的定义与性质定义：an1q（ 为常数,q0）,ana qn1Gxyan等比中项：x、G、 成等比数列G2xy,或na 1q1 前 项和：S na 11qnq1 （要留意 ）1q性质：a n是等比数列（ ）如mnpq,就am

3、a napaq（2）Sn,S2nSn,S 3nS 2n 仍为等比数列三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、由S 求an； （n1时,a1S 1,n2时,anSnSn1）3、求差（商）法如：an满意1a 11a2 1an22n511n1 2222n解： n1 时,1a1215,a11n152142 211n2时,1a11a2an1222n142n, a n12得：1an2, a n2n2nn2 练习数列an满意S nSn1n5an1,a1n4,求an3（留意到an1S n1S代入得：Sn14S又S 14,Sn是等比数列,S n4n1nS n1 n2时,anSn34 4 、叠乘法例如：数列an

4、中,a 13,an1nn1,求ann1an解：a 2a 1a3 an11 a2nn1,aan23an21又a13,an3n 5 、等差型递推公式由anan1f n ,a1a0,求an,用迭加法n2时,a2a 1f a3a2f 两边相加,得：ana anan1f n a1f f f n na0f f f n 练习数列an,a111,an3n1an1n2,求an（a n13n）26、等比型递推公式aancan 1d c、 为常数,cd0,c1,d0可转化为等比数列,设anxc an 1xncan 1c1xc1, 为公比的等比数列令c1 xd,xcd1ancd1是首项为a1ancd1ca1ccd1d

5、cn1ana1dn1c11练习 7数列an满意a 1n19,3 an1an4,求ann211（an84n11）,求an, 由已知得：a11ana3、倒数法2an例如：a 11,aan2n22ana1111,1为等差数列,11,公差为1n1an2ana 12111n1, ann21n1an22三、 求数列前 n 项和的常用方法 1、公式法：等差、等比前 n 项和公式 2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；如：n1101a11an是公差为d 的等差数列,求a ak1k解： 由ak111111dak1aka kdda kakn1n111 a ak1k1dakak1k1

6、11111da 1a 2a 2a3ann111da 1an1练习求和：11113 11231 n212（an ,Sn2n1） 3 、错位相减法：如an为等差数列,bn为等比数列,求数列11a bn（差比数列）前n 项和,可由SnqSn求Sn,其中q为bn的公比；如：Sn12x3 x24x3 nxn1xSnx2x23 x34x4 nxn1nxn212：1x S n1xx2 xn1nxnx1 时,S n1xnnxn1x21xx1 时,Sn123 nn n124、倒序相加法：把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加；Snna 1a 1a21 an11an相加a1an Snanan a2a12 S

7、ana2an 练习已知f x 1x22,就f f f1f 2f1ff f1x234（由 f x f11x212x21111x12x21x1xx2xf1 3f1 2原式f f f f411113 1 2）2例 1 设 an 是等差数列,如 a2=3, a7 =13,就数列 an 前 8 项的和为（）A 128 B80 C64 D 56 （福建卷第 3 题）略解：a2 +a 7 = a 1 +a8 =16, an 前 8 项的和为 64,故应选 C例 2 已知等比数列 a n 满意 a 1 a 2 3,a 2 a 3 6,就 a 7（）A 64 B 81 C128 D243 （全国卷第 7 题）答

8、案： A于（例 3 已知等差数列a n中,a26,a 515,如b na2n,就数列b n的前 5 项和等）D186 （北京卷第7 题）A 30 B 45 C90 略解： a 5-a 2 =3d=9, d=3 ,b 1=a26, b 5=a10=30,nb的前 5 项和等于90,故答案是 C例 4 记等差数列的前n 项和为S ,如S 24,S 420,就该数列的公差d（）A 2 B3 C6 D7 （广东卷第4 题）* N , 其中a b 为略解：S 4S 2S 24 d12,d3, 应选 B.an2bn,n例 5 在数列 an中,an4n5,a 1a 2Lan2常数,就 ab（安徽卷第15 题

9、）答案： 1例 6 在数列 an中,a 12,a n1a nln11,就an（）nA 2ln n B 2n1lnn5 题）C 2nlnn D1nlnn（江西卷第答案： A例 7 设数列a n中,a 12,an1ann1,就通项an _ （四川卷第16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住an1a nn1中a n1,a系数相同是找到方法的突破口a n2略解：a 132,an1a nan1a n,a n1a 1n11,a n1a n2n21,a n32a 1n1,K ,a 21a 21 1,211将以上各式相3加,得a nn1n2n3L2 1n1n1nn1n n11,故22应填n

10、 n1+1n 的绽开式中前三项的系数成等差数列,就绽开式中x 4 项的系数为2例 8 如 x+1 2x A 6 B 7 C8 D9 重庆卷第 10 题答案： B使用挑选题、 填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、 理科考生在才能上的差异,侧重于基础学问和基本方法的考查,命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主, 如,例 4 以前的例题 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的懂得；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 就考查二项绽开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第 1 题,浙江卷第 4题,陕西卷第 4

11、 题,天津卷第 4 题,上海卷第 14 题,全国卷第 19 题等,都是关于数列的客观题,可供大家作为练习例 9 已知 an是正数组成的数列,a1=1,且点（a n , a n 1）（n N*）在函数 y=x 2+1的图象上 . 求数列 an的通项公式； 如数列 bn满意 b1=1,bn+1=bn+2 a ,求证：2bn bn+2b n+1. （福建卷第 20 题）略解：（）由已知,得 an+1- an=1,又 a1=1, 所以数列 an是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列故 an=1+ n-1 1=n. 由（）知,an=n,从而 bn+1- bn=2 n,bn= bn- bn-1+ bn-

12、1- bn-2+ +（b2- b1）+b1=2 n-1+2 n-2+2+1=2 n-1 . bn.bn+2-b2 n1=2n-12n+2-1-2n+1-12= -2n0, b nbn+2b2 n1对于第（）小题,我们也可以作如下的证明： b2=1, bn bn+2- b 2n 1 = bn+1-2 n bn +1+2 n+1- b 2n 1 =2 n+1 bn+1-2 n bn+1-2 n2 n+1 2 n（ bn+1-2 n+1）=2（bn+2 -2 n+1）=2（ bn-2）= =2（b1-2 ） =-2 0, b n- bn+20 , anan1=5 n2 当 a1=3 时, a3=13

13、,a15=73 a1, a3,a15不成等比数列a1 3;当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n 3附加题 解: 引入字母 , 转化为递归数列模型 .设第 n 次去健身房的人数为 an,去消遣室的人数为 bn,就 a n b n 150 .a n 9 a n 1 2 b n 1 9 a n 1 2 150 a n 1 7 a n 1 30 即 a n 7 a n 1 30 .10 10 10 10 10 10a n 100 7 a n 1 100 ,于是 a n 100 a 1 100 7n 110 10即 a n 100 7n 1 a 1 100 .10lim n a n 100 . 故随着时间的推移,去健身房的人数稳固在 100 人左右 .4. 解 ：（ ） 由 a n 1 2 S n 1 可 得 a n 2 S n 1 1 n 2, 两 式 相 减 得a n 1 a n