电动力学第二章

1、第二章 静电场Electrostatic field本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。1. 静电场标势微分方程2. 唯一性定理3. 分离变量法4. 镜像法6. 电多级矩本章内容：本章重点：本章难点：分离变量法、电多极子静电势及其特性、分离变量法、镜象法2.1 静电势及其微分方程Scalar potential and differential equation for electrostatic field一、静电场的标势二、静电势的微分方程和边值关系

2、三静电场的能量本节主要内容在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。一、静电场的标势无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即设C1和C2为P1和P2点的两条不同路径。C1与C2合成闭合回路，因此电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所作的功为这功定义为P1点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势下降。由此由这定义，只有两点的

3、电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令()=0有相距为dl的两点的电势差由于因此，电场强度E等于电势 的负梯度 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场强度。点电荷Q激发的电场强度其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为一组点电荷Qi激发的电势若电荷连续分布，电荷密度为，设r为源点x到场点x的距离，则场点x处的电势为二、静电势的微分方程和边值关系电势满足的方程 拉普拉斯方程 适用于无自由电荷分布的均匀介质泊松方程(适用于均匀介质)2

4、静电势的边值关系(1) 两介质分界面0 P Q导体的特殊性1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；2、导体内部电场为零；3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为，设它外面的介质电容率为，导体表面的边界条件为导体1自由电荷介质2（2）导体表面上的边值关系三静电场的能量 一般方程： 能量密度 总能量 仅讨论均匀介质 若已知 总能量为 讨论：（1）适用于静电场，线性介质；（2）适用于求总能量.（3）不能把 看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以密度 的形式在空间连续分布，场强大的地方能量也大；

5、（4） 中的 是由电荷分布 激发的电势；（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。（6）若全空间充满了介电常数为的介质，可得到电荷分布所激发的电场总能量式中r为 与 点的距离。例1 P42 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上因此静电场总能量为解方法之一: 按电荷分布方法之二: 按电场分布因为球内电场为零，故只须对球外积分yoxp例2 P41 求均匀电场 的电势。Solution: 因为均匀电场中每一点强度 相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为 。根据 ，得到如果，

6、例3 P42均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，求空间的电势。场点pRozz电荷源Solution: 选取柱坐标：源点的坐标为（0,0, z),场点的坐标为（R, 0, 0)，电荷 元 到P点的距离无穷大的积分结果与电荷不是有限区域内分布有关。 计算两点P和P0的电势差可以不出现无穷大。设P0点与导线的垂直距离为R0，则有限长直导线在P点和P0点相对的电势为无限长直导线在P点相对P0点的电势差若选P0为参考点，则例题4 电偶极子产生的电势-QQzxyP解：系统偶极矩 求近似值：同理 平面为等势面（Z = 0的平面）。若电偶极子放在均匀介质中（无限大介质）：注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介

7、质 ，而用真空中的。这由 决定。均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与束缚偶极子产生的势的迭加，设 为束缚电荷，总结： 泊松方程导体：总能量 2.2 唯一性定理Uniqueness Theorem 学习“唯一性定理”的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原则上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是要求空间所有的电荷分布必须已知. 现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域内的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未知的, 此时就不能利用库仑定律例如 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中。 但具有一定的边界

8、条件, 利用给定的边界条件去解静电场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题. 边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、格林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的解是不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出明确的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因. 对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。静电势的微分方程边值关系复习上一节课的内容导体表面上的边值关系唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程的解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论.1) 绝缘介质静电问题的

9、唯一性定理 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、i (i = 1、2、3 ) ，V 中的自由电荷分布(或) 为已知，那么，当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。数学表述如下:(在每个小区Vi)(在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外)(在两种绝缘介质的分界面上)分界面法向单位矢量 由 指向 )或以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值

10、关系,在整个区域V 的边界面上满足给定的边界条件或 以上所讨论的是区域内只有绝缘介质的情形. 如果区域内有导体存在,情况会有不同,因为导体表面的电荷分布与导体外的电场是相互制约的,因而无法预先得知. 在这种情况下,必须对导体附加一些条件,区域内的电场分布才能唯一被确定,这正是我们下面要讨论的.2）有导体存在的情况 设区域V 中有若干导体，其余部分都是一种均匀介质,将扣除导体后的区域称为V，V的边界应包括两部分:V 的表面S(或V的外边界) ，每个导体的表面Si (或V的内边界) .此时，要唯一地确定V内的电场，除了前面提到的关于绝缘介质的边界条件外，还须对导体附加一定的条件。 附加的条件有两种

11、类型,一种是给定每个导体的电势 i ,另一种是给定每个导体所带的总电量Qi两种类型分别表述如下:a）区域V 内有若干导体，设除导体外的区域V内的自由电荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每个导体表面的电势 i 也已知，则区域V内的电场有唯一解。 数学表示为:(在V 内)(已知)(已知)或b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外的区域V内的自由电荷分布已知，V的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每个导体所带的总电量Qi 为已知，则区域V内的电场有唯一解。数学表示为:(在V 内)(已知)(已知)（待定）或满足以上定解问题的电场分布就是唯一解。 最后需要强调一点,尽管唯一性定理

12、并不给出求解泊松方程的具体方法与步骤,但它对于解决实际的边值问题有着重要的意义. 首先,它明确了在哪些条件下可以唯一地确定一个静电场,即给出了求解静电场的依据;其次,它使我们可以灵活地选用最简单、最合适的解题方法,甚至可以猜一个解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中的场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就可以肯定地说,它就是该问题中的唯一正确的解.例题1(P62），两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为1，右半部电容率为 2，设内球壳半径为a，带总电荷Q，外球壳接地，半径为b。求电场和球壳上的电荷分布。baS1S2解:设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 和如

13、果我们假设E仍保持球对称性，即此时边值关系得到满足。由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系baS1S2内导体球面S1上的积分将电场值代入得解出则此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解baS1S2 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保持球对称性。则则球面上的电荷面密度为 虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面密度不具有球对称性。2.3 拉普拉斯方程，分离变量法Laplaces equation, method of separate variation 基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方

14、程+边界条件只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法具体的工作：解泊松方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形

15、下通解为因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解。 利用边界条件定解说明两点： 第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplaces equation . 第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：边界条件：及导体的总电荷3、举例说明定特解的方法例3 P51 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷面密度。例1 P48一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1 R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。OZ球外空间，Q点处，电势满足泊松方程。 根据镜象法

16、原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。OZPR球坐标系99（2）由边界条件确定和设 OZOZPR球坐标系100PR0OZ因 任意的解得 OZOZPR101OZOZPR102（3）讨论： 球面感应电荷分布 导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 移到地中去了。OZOZPR103 ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面上，剩余传到无穷远。104 若导体不接地，可视为 分布在导体面上。不接地导体已为等势体，加上 还要使导体为等势体， 必须均匀分布在球面上。这时导体球上总电量 （因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球心的点电荷产生的电

17、势）等效电荷一般是一个点电荷组或一个带电体系，而不一定就是一个点电荷。（4）若导体不接地105 若导体球不接地，且带上自由电荷 ，导体上总电荷为 ，此时要保持导体为等势体， 也应均匀分布在球面上。 可以看作 与 及位于球心处的等效电荷 的作用力之和设 ， ，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与 无关，与 正负无关）。当 时，F l 情况下的场分布问题。 以一个最简单的例子来说明：假设V中有一个点电荷Q，位于（a,0,0）点上，如果对远处产生的电势来说，相当于xyzoQ零级近似xyzoQxxxyzoQa=+yzoQayzoa-QxyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-Q如果作为一级近似

18、，且o=xyzQaxzoQ+xzoQa/2-Qo+xz-Q-QQ+QxyzoQ+xyzo+Q-Q一级近似o=xyzQaxzoQ+xzoQa/2-Qo+xz-Q-QQ+Qoxz-Q-QQ+Q+xyz-QQQ-Q-Qa/4xyzQQQ-QQ-Q-Q-Q总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；。xyzoxyzo+-QQQa/2二级近似xyz-QQQ-Q-Qa/43. 电四极矩张量电四极矩最简单体系举例： 四个点电荷在一直线上按（+，-，-，+）排列，可看作一对正负电偶

19、极子。 体系总电荷、总电偶极矩为零依定义 其它分量均为零 有9个分量zx+-+a-ab-bzx+-+a-ab-bPRzx+-+a-ab-bPR它与直接计算结果完全一致（）： r+r-D33讨论：（1）如果带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑偶极子，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩；如果带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须考虑电四极矩。只有对原点不是球对称的电荷分布才有电四极矩。 （2）对电四极矩 的进一步认识 电偶极矩 是一个张量，有9个分量，即也可以写成其中 i, j=1,2,3总结下一次课把第一章作业带来 复习三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）1设外场电

20、势为 ，场中 电荷分布为 ，体系 具有的总能量为：可以证明：因此：+称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。2带电体系为小区域时相互作用能的展开将 对电荷 所在小区域展开为麦克劳林级数zyx3相互作用能的意义：体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；体系等效电偶极子在外场中的能量；体系等效电四极子在外场中的能量。若外场为均匀场4. 带电体系在外场 中受到的力和力矩设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场中受到的力 （假定Q不变）以下仅讨论 和力：相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中受到的作用力若为均匀场电偶极子只在非均匀场中受力。假定在外场作用下 不变，设 为 与 之间的夹角，则 可见即使均匀场 ， 但力矩：下一次课交第二章的作业7. 有一内外半径分别为r1 和r2 的空心介质球，介质的电容率为。 使介质内均匀带静止自由电荷f ，求（1） 空间各点的电场；（2） 极化体电荷和极化面电荷分布。r2r1作业答案2）由公式：r2r1外球壳上，r= r2， n 从介质1 指向介质2 ，即介质指向真空P2n = 0内球壳上，r= r1， n 从介质1 指向介质2 ，即真空指向介质，P1n = 08. 内外半径分别为r1 和r2 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流jf。 导体的磁导率为。 求磁感应强度和磁化电流r2r1从介质1指向介质2在内