三悬臂、连续体系梁桥计算B.2课件

1、桥 梁 工 程Bridge Engineering主讲：赵 华湖南大学本科教学讲义课时：32学时考核：闭卷考试第二篇 混凝土梁桥和刚架桥 湖南大学土木工程学院桥梁教研0731-88822221 zhmit第四章 混凝土悬臂、连续体系 梁桥计算B4.4 预应力计算的等效荷载法4.4.1 预应力次内力的概念超静定结构（连续梁、连续刚构）因各种强迫变形（预应力、徐变、收缩、温度、基础沉降 等）而在多余约束处产生的附加内力，统称次内力或二次内力。简支梁在预加力作用下只产生自由挠曲变形和预应力偏心力矩（初预矩），不产生次力矩。连续梁在多余约束处产生垂直次反力，且产生次力矩，其总

2、力矩为： 初预矩 预应力引起的挠曲变形和次内力 次力矩（力法或等效荷载法）(4.4.1)简支梁压力线与预应力筋位置重合连续梁压力线与预应力筋位置相差:压力线预应力筋对中心轴的偏心力矩M(x)为由材料力学知：(4.4.3)(4.4.4)索曲线倾角的改变量 等效荷载（向上为正）(4.4.5)等效荷载沿全跨长的总荷载 恰与两端预加力的垂直向下分力 相平衡。曲线索等效荷载 总结：预应力对结构的作用可以用一组自平衡的等效荷载代替4.4.3等效荷载法的应用(1) 计算步骤按预应力索曲线的偏心距ei及预 加力Ny绘制梁的初预矩:此时不考虑支座对梁体的约束影响。求截面的次力矩：M次=M总M0用力法或有限单元法

3、程序求解连 续梁在等效荷载作用下的截面内 力，得出的弯矩值称总弯矩M总， 它包含了初预矩M0在内；按布索形式分别确定等效荷载值(2) 示例初预矩图两等跨等截面连续梁，索曲线的布置如下，各段索曲线的偏心距e(x)方程列出如下表，端部预加力Ny=1158kN，求中支点B截面的总弯矩M总和次力矩M次。分段号坐标原点索曲线方程 ei(x)a-d段a点e1(x)=0.0079x20.0933xd-b段d点e2(x)=0.18+0.12x0.03x2半结构索曲线方程绘制预加力的初预矩图，即：结构、预加力对称于中支点B截面，取半结构分析，视B截面为固定端。计算步骤如下：计算预加力的等效荷载 a-d段的端转角

4、：a-d段的等效荷载： d-b段的端转角： d-b段的等效荷载：（向下）（向上） B支点总预矩M总计算B支点的总弯矩为： B支点次力矩M次计算图式见图，可分解为两种简单工况，然后应用手册中给出的公式计算；注意： 手册中，q是以向下为正，向上为负。BB线性转换只要保持束筋在超静定梁中的两端位置不变，保持束筋在跨内的形状不变，而只改变束筋在中间支点上的偏心距，则梁内的混凝土压力线不变，总预矩不变。 预应力束在中支点上调整偏心距e后，支点B所增加(或减少)的初预矩值，与预加力次力矩的变化值相等，而且两者图形都是线性分布，因此正好抵消。扩展-用力法解预加力次力矩（直线索为例）力法方程变位系数赘余力总预

5、矩压力线位置4.5 混凝土徐变次内力计算的换算弹性模量法4.5.1 徐变次内力的概念1 名词(1) 徐变变形弹性变形 在长期持续荷载作用下，混凝土棱柱体继瞬时变形；徐变变形 弹性变形以后，随时间t 增长而持续产生的那一部分变形量。 徐变变形 弹性变形(2) 徐变应变徐变应变单位长度的徐变变形量。瞬时应变单位长度初始加载时瞬间所产生的变形量，又称弹性应变徐变系数自加载龄期起至某个t 时刻，徐变应变值与瞬时应变（弹性应变）值之比。或徐变应变 与混凝土应力 呈线性关系，称为线性徐变理论。 徐变变形量棱柱体长度(3) 瞬时应变 弹性变形量棱柱体长度(4) 徐变系数 徐变应变，与t 有关弹性应变、恒定值

6、2 徐变次内力徐变次内力超静定混凝土结构的徐变变形受到多余约束制约时，结构截面内产生的附加内力。两条悬臂梁在完成瞬时变形后，端点均处 于水平，悬臂根部弯矩均为 ；随着时间的增长，两悬臂梁端部将发生随 时间t而变化的下挠量 和转角 ；直到徐变变形终止，该梁的内力沿跨长方 向不发生改变。合龙以后接缝处仍产生随时间变化的下挠量 ，但转角 始终为零，这意味着两侧悬臂梁相互约束着角位移；结合截面上弯矩从 ，而根部弯矩逐渐卸载，这 就是内力重分布（应力重分布），直到徐变变形终止；徐变次内力 与根部弯矩绝对值之和仍为 。 静定结构只产生徐变变形、不产生次内力；超静定结构产生随时间t变化的徐变次内力。 4.5

7、.2 徐变系数表达式1 徐变系数的三种理论徐变系数与加载龄期和加载持续时间两个主要因素有关。加载龄期混凝土自养护之日起至加载日的时间间距，用 表示，i=0，1，2天；持续荷载时间自加载日起至所欲观察之日t的时间间距，即 。老化理论：不同加载龄期的混凝土徐变曲线在任意时刻 ，其徐变增长率相同。任意加载龄期混凝土在t 时刻的徐变系数计算公式：加载龄期为 的混凝土至 时刻的徐变系数；(1) 老化理论(4.5.1)加载龄期为 的混凝土至 时刻的徐变系数；(1) 先天理论先天理论认：不同龄期的混凝土徐变（徐变曲线）增长规律都是一样的。任意加载龄期混凝土在t 时刻的徐变系数计算公式： 以 为原点的徐变基本

8、曲线上，加载持续时间为 的徐变系数。(4.5.2)兼有上述两种理论特点的理论称混 合理论，试验表明： 老化理论比较符合早期加载情况， 先天理论比较符合后期加载情况。(2) 混合理论早期加载后期加载2 公路桥规关于徐变系数的表达式(4.5.3)名义徐变系数：其中：加载后徐变随时间发展的系数其中：加载龄期（d）；计算时刻混凝土龄期；RH环境年平均相对湿度（）；构件理论厚度（mm）， A为截面 面积，u为构件与大气接触的周边 长度；28d龄期混凝土的平均立方体抗 压强度（MPa）；龄期28d混凝土立方体抗压强度标 准值（MPa）；有下列关系式：单位力P=1时其作用方向上的位移单位力矩M=1时，作用方

9、向上的转角 按照结构力学中的虚功原理：(4.5.4)(4.5.5)载变位3 静定结构在随时间t变化的荷载作用下之徐变变形计算先简支后两跨简支基本结构，切口处初始恒载弯矩 ，基本结构上只有垂直恒载q和随时间变化的徐变赘余次力矩M(t) 作用。单位力矩 弯矩图恒载q 弯矩图常变位巴曾法：在任意时刻t 时，切口两侧的变形协调方程： 老化系数，又称时效系数，它是考虑结构次内力的徐变因混凝土的老化而逐渐衰减的一个 折减系数，其值小于1。代数方程式(4.5.7)式（4.5.6）在理论上是比较精确的，但当结构为高次超静定，且各梁段的徐变系数又不相 同时，必须建立庞大的微分方程组，求解十分困难。式（4.5.7

10、）中的第二项是代表在t 时刻由恒载q在切口处产生的相对徐变角位移，而第一项 是代表同一时刻由徐变次内力M(t)在切口处产生的总的相对角位移，它可表为：它将M(t)假想地视为不随时间t 变化的赘余力，通过老化系数 修正徐变系数 后，求得该次内力产生的总变形。但式中有两个未知量：M(t)和 ，不能求解。故可采取联立混合求解方法：应用式（4.5.6）求解M(t)，再代入式（4.5.7），得到关于 的一般表达式，解得这个未知量后，再求解线性代数方程组就不成问题了。(4.5.6)(4.5.6)式（4.5.6）的求解：令：(4.5.8)(4.5.7)M(t) 下切口处徐变变形： 4 换算弹性模量概念(4.

11、5.7)1）应用在不变荷载（恒载）下徐变变形（载变位）计算的换算弹性模量2）应用在随 t 变化荷载下徐变变形（常变位）计算的换算弹性模量则式（4.5.7）成为：为便于用结构力学中力法来求解超静定结构的徐变次内力问题，引入两个广义换算弹性模量：(4.5.7)(4.5.9)(4.5.10)(4.5.11)结构力学公式4.5.4 超静定梁的徐变次内力计算1 计算方法1）狄辛格方法；2）扩展狄辛格方法；3）换算弹性模量法；4）以上述理论为基础的有限元法等。计算外荷载及赘余约束处初始内力Xi引起的徐变变形时，换算弹性模量取 计算由待定的、随时间t变化的徐变赘余力Xit引起的徐变变形时，换算弹性模量取1）

12、原理 超静定结构所选取的基本结构，其被截开的截面或者被移去的多余支点（赘余约束）处， 除了加上荷载产生的赘余力Xi外，还要施加随时间t变化的徐变赘余力Xit，然后根据变形 协调条件：外荷载及赘余力（Xi和Xit）在赘余约束处产生的徐变变形之和应为零，可求得 徐变次内力。 2 换算弹性模量法2）计算步骤 对于同一座连续梁，施工方法（一次现浇成桥、先简支后连续、悬臂浇筑等）不同，各节段的 加载龄期就不同，计算模式也不同，因此其徐变次内力也不相同。其一般计算步骤如下：在赘余联系处分别施加各单位赘余力 ，得到各 图；根据已知条件分别计算各梁段的老化系数 和换算弹性模量 、 ；按换算弹性模量和图乘法计算

13、所有恒定外力、徐变赘余力在赘余约束处产生的变位，即：选取基本结构的计算图式；按不同施工阶段计算恒载内力图 ；由变形协调条件，解力法方程组求各徐变次内力 ：按解得的徐变次内力Xit分别计算各梁段的内力及变位。将各施工阶段的恒载内力和变形与第7步的计算结果迭加，便得整个结构总的受力和变形。例1 两跨等截面连续梁采用先吊装后合龙固结的施工方法，左半跨的徐变系数 ， 右半跨的徐变系数 ，试求 时中支点截面的徐变次力矩。3）示例选取支点断开的两跨简支梁作为基本结构，合龙时该截面的弯矩为零，即：在赘余联系处仅施加一个赘余力，即待定的徐变次内力 ；计算老化系数及换算弹性模量基本结构常变位和载变位计算（图乘法

14、）解力法方程弯矩Mt即为徐变完成后中支点的最终弯矩。先简支后结构，徐变引起支点负弯矩增大，跨中正弯矩减小。例2 两跨等截面连续梁分两阶段施工，中支点两侧采用对称悬浇法，两端采用在支架上进行合 龙，中间梁段徐变系数 ， 两端梁段徐变系数 ，试求 时中 支点截面的徐变次力矩。取两跨简支梁作为基本结构，应用结构力学的方法计算出两个施工阶段中支点截面的初始弯矩换算弹性模量常变位与载变位计算 由于结构及荷载均对称，可取其中 一跨进行计算，计算中部分利用图 乘法，部分采用分段积分法。中支点截面的最终弯矩值对于悬臂施工的连续结构，徐变引起支点负弯矩减小，跨中正弯矩增大。例3 两跨等截面连续梁结构尺寸与上例相

15、同，在支架上一次浇注完毕，徐变系数 ， 试求 时中支点截面的徐变次力矩。取两跨简支梁的基本结构，其换算弹性模量：支点截面的初弯矩常变位及载变位计算一次浇筑的超静定结构，其徐变次内力为零，但产生徐变变形，可叠加两种不变荷载q和 工况下的徐变变形后而得到。先简支后连续的非预应力结构： 徐变使得跨中正弯矩减小，支点 负弯矩增大；一次浇注的超静定结构： 徐变无内力重分布产生， 但有徐 变变形。悬臂施工的连续结构： 徐变使得跨中正弯矩增大，支点 负弯矩减小； 连续梁徐变引起内力重分布的规律徐变内力重分布使内力分布趋于均匀M1M2M3徐变次内力作业：两跨等截面连续梁采用先吊装，然后张拉预应力，最后合龙固结

16、的施工方法（中跨支点顶部的合龙预应力束省略），左半跨的徐变系数 ，右半跨的徐变系数 ，作用于桥上的均布恒载q=10kN/m（预制梁自重），E、I 分别为该结构的弹性模量和截面抗弯惯矩，试求 时中支点截面的徐变次力矩。Ny=2000kN2.4m1.0m4.6 混凝土收缩次内力计算4.6.1 混凝土收缩应变表达式1 一般表达式混凝土结构的收缩并不是因外力产生，而是由结构材料本身的特性引起的。混凝土收缩应变 也随时间变化，其增长速度受空气温度及湿度等条件的影响。收缩方向是三维的，但在 结构分析中主要考虑它沿杆件方向的变形量。对于连续梁桥，一般只计算结构的收缩位移量，但对于墩梁固结的连续刚构体系桥梁，

17、则 必须考虑因收缩引起的结构次内力。(4.6.1)收缩开始龄期 、计算考虑龄期为 时的收缩应变名义收缩系数收缩随时间发展系数2 名义收缩系数年平均相对湿度()28d龄期混凝土的平均立方体抗压强度（MPa）水泥种类系数 构件理论厚度（mm）， A为截面面积，u为构件与大气接触的周边长度；3 收缩随时间发展的系数计算时刻混凝土龄期按式（4.6.1）求出结构中某段长度内的收缩应变量以后，便可将它换算为这段长度内的相对温降量：具体的计算可按年平均温差的工况和用手算或用电算程序来完成。4.6.2 等效温降值计算法材料温度膨胀系数收缩应变 构件理论厚度（mm），A为截面面积，u为构件与大气接触的周边长度；

18、因为箱梁的顶板上面铺有桥面铺装，因此在计算u时可以不计算顶板的长度4.7 基础沉降次内力计算关于超静定连续梁因沉降产生的次内力计算，在结构力学中已有详细的叙述。公路桥涵地基与基础设计规范规定的沉降量 、 ：相邻墩台均匀总沉降（cm）差值（不包括施工中的沉降）为： 地基土沉降比混凝土徐变复杂土质类别、历史成因、所处位置不同、作用力大小。超静定结构会因不均匀沉降而产生支点反力重分布。如考虑与其它次内力的耦合作用，就更难求解。大跨连续梁恒重比例大，土基沉降量大部分在施工阶段完成，为简化分析，通常是按基规规定的 相邻墩台的容许沉降差进行结构内力分析。更重要的是：不良地带的建桥，先要地基加固，或加大地基

19、承压面，采用超长桩或增加桩基数量等措 施，以尽量减小后期沉降量。墩台均匀总沉降（cm）值（不包括施工中的沉降）为：L(m)为相邻墩台间最小跨径长度，小于25m时仍以25m计。4.8 温度次内力和自应力计算4.8.1 基本概念1 温度梯度温度梯度桥梁结构受到日照温度影响后，温度沿梁截面高度变化的形式。下图为各国桥梁规范对梁式结构沿梁高方向的温度梯度的规定，属于日照温差（局部温差） 的表现形式。图g)所示的是反映气温随季度发生周期性变化时，在构件截面上假定为平均变化的年温差表 现形式。这个形式在各国都是一致的，而只有取值上的差异。各国桥梁规范规定的温度梯度形式新桥规对温度梯度的规定 计算桥梁由于梯

20、度温度引起的效应， 可采用图所示的竖向温度梯度曲线。竖向温度梯度（尺寸单位：mm）结构类型T1（C）T2（C）混凝土铺装256.750mm沥青混凝土铺装层206.7100mm沥青混凝土铺装层145.5结构A（mm）混凝土梁H400mmH-100H400mm300混合结构300混凝土上部结构和带混凝土桥面板的钢结构的竖向日照反温差为正温差乘以-0.5。T1 规 定A 规 定2 温度次内力结构因受到自然环境温度的影响（升温或降温）将产生伸缩或弯曲变形，当这个变形受到多余约束时，便会在结构内产生附加内力，工程上称此附加内力为温度次内力。悬臂梁和连续梁在年温差（温升）时，只产生纵向水平位移；而不产生次

21、内力；连续刚构在同样条件下由于受固结桥墩的约束，故不但使主梁产生水平位移，而且使墩和梁均 产生弯曲变形和支点反力，从而导致截面内产生次内力。1) 年平均温差2) 线性变化的温度梯度静定的简支梁在线性温度梯度的影响下，结构只产生弯曲变形；超静定结构在温度影响下，由于存在中支座的多余约束，限制梁体变形，使中支座产生向 下的垂直拉力，从而导致梁体内产生次内力。3 温度自内力温度自应力结构在非线性温度梯度影响下产生挠曲变形时，因梁要服从平截面假定，致使截面内各纤维层的变形不协调而互相约束，从而在整个截面内产生一组自相平衡的应力，称此应力为温度自应力。分离、顶板变形满足平截面假定受非线性温度梯度的超静定

22、结构，其总的温度应力将是温度自应力和温度次内力产生的次应力之和：4.8.2 基本结构上温度自应力计算(4.8.1)沿梁高连续分布的任意曲线T(y)来代表截面上的温度梯度：取梁中一个单元进行分析，并假定全截面匀质、忽略钢筋影响，则当纵向纤维之间互不约束，各自作自由伸缩时，则沿梁各点的自由变形应变为：(4.8.2)温度自应力计算示意图材料的线膨胀系数 实际梁截面的变形服从平截面假定，它的应变变化可表示为: y=0处应变值单元梁段挠曲变形后的曲率任意纤维层的自应力:(4.8.4)(4.8.3)温度自应变为式(4.8.2)、(4.8.3)的应变差，即图中阴影部分，由纵向纤维间的约束产生:(4.8.5)

23、未知？自应力是自平衡状态的应力，可利用截面上应力合力的总和为零及对截面中和轴的力矩之和为零两个条件求得 和 ：其中：(4.8.7)(4.8.6)例 试求T形截面梁在翼板内受5温度差的影响时，截面的 和 值。截面的 yc和 I 可由式（4.8.6）求得，代入到式（4.8.7）得:式中:推导 和 计算公式如上图所示，结构采用50mm沥青混凝土铺装层，试求在如下各种温度梯度下的 和（1）同书上例题；（2）三角形分布（两种情况）；（3）T形分布；（4）新桥规对温度梯度的规定根据计算结果，比较T梁在线性温度梯度和非线性温度梯度下 的变化情况？如果是矩形截面，情况又会怎么样？510105非线性温度变化次内

24、力作业（一）：4.8.3 连续梁温度次应力计算1 等截面连续梁的温度次内力中支点切口处的赘余力矩为 ，其力法方程：(4.8.8) 在赘余力矩方向上引起 的相对转角；温度变化在赘余力矩方向上引起 的相对转角计算步骤如下：按式（4.8.7）计算两简支梁挠曲线曲率：计算该两跨在各自端点切线之间夹角：等截面基本结构中每跨梁两端的转角 对称且相等，各等于 ：相对转角方向与所设赘余力矩M1T的方向相反。2 变截面连续梁的温度次内力求解的方法有平面杆系有限元法，图解解析法和纽玛克法等。本节仅介绍图解解析法：(4.8.8)绘制 的分布图绘曲率分布图以曲率分布图为虚荷载， 用总和法计算虚反力RB1和 RB2，虚

25、反力便是中支点处 梁端转角；按下式计算:求解 与求 基本相似，只需应用式（4.8.7）求全梁若干段截面的 值来取代图中的 ，所得到B支点的反力之和便是 。1) 的计算步骤2) 的计算步骤当解力法方程求得赘余力矩 之后，便可得到全梁各个截面的温度次内力 ，再应用材料力学中的公式可以得到截面上由温度次内力产生的温度次应力为：则连续梁总温度应力的一般表达式：3 连续梁内的总温度应力(4.8.9)(4.8.10)4.9 悬臂施工时挠度和预拱度计算简支梁桥一般采用预制安装或有支架法施工，其计算图式就是成桥计算图式，计算简单；悬臂施工的T型刚构桥和连续体系梁桥：其受力状况较为复杂，对每个节段设置预拱度，

26、使成桥以后的桥面标高符合设计要求等问题；1 有支架施工的悬臂梁4.9.1 恒载作用下挠度计算和预拱度设置悬臂法施工中的一期恒载主要包括结构自重和预施预应力两大部分。 每个结点的预拱度 可用下式表示：各结点在卸架后由恒载引起的总变形节段自重 及预应力对 i 结点产生的弹性变形(4.9.1)各节段对 i 点挠度均有贡献2 悬臂拼装结构由于恒载而设的预拱度 可表示：(4.9.2)悬臂结构逐段拼装时，后节段的恒载对先拼节段会产生弹性变形，而先拼的节段已完成了本身恒载的变形，不再对后续节段产生影响。 3 挂篮施工的悬浇结构挂篮施工悬浇和悬臂拼装工艺的最大差别：挂篮在施工过程中固定在先完成的节段上，挂篮自重使结构产生变形，挂