数学教师成长离不开读书与解题

1、数学教师成离不开读与解题学校是学习和引发学习的场所作为学生学习的引路人教师首先应该是一个读书人教育是一项创造性工作教师只有不断地学习，才会获得滔滔不绝的源头活水。那么，数学教师的源 头活水来自哪里呢 ? 学教师职业生活最不可缺少的是什么 ? 带着这些问题，潇湘数学教育工作室的同仁们进行了深入的讨论。大家认为读书与解题应该成为数学教师职业生活的一部分是 数学教师专业成长的重要途径。一、数学教师为什么要读书我们经常听到许多数学老师，尤其是小学数学老师这样说： “我教了这么多年的数学了一本教材和教参也没有看什么书，我的教学也还过得去啊。“语文老师倒需多读点书，对我们数学教师而言来教去还不是就那点东西

2、难道我们的数学教师真的不需要再读书了 决非如此。讨论，老师们列举了在 某著名教育论坛参与讨论的一些帖子。案例 关于 3x/5=44 是不是方程的讨论帖子 这个不是等式所以不是方程为什么不是等式?因为等式有一特点是要有传递性，何谓传递性 ?举一例：例如，612=301 ，且 1515=301，尽管它们都等 ”，1 19但是它们并不具有等式的传递性 612 此可知， 有余数除法的横式不是等式。帖子 ：我的看法可能和帖子 1 老师的不太一样。我觉得上式是一个等式，也是一个方程，因为它完全符合方程的定义， 描述的是一种相等的关系，即除以 ，商是 4，还多 帖子 的作者又回帖：4 是否是方程问题的讨论早

3、几年已经有了。其小学教学研究 年第 第 金坚老师已经说得很详细，如果你们没有这资料，我可以说说，他大概的意思与我 说的差不多。不过还多一论据：4 不是代数式学教学研究1994 第 期第 也有同样的论据。当然，金老 师或杂志说的也不一定对。还是重新来讨论吧。帖子 的作者跟帖：看了大家的讨论后我想我应该修正我的观点了最近我又接到一些老师的邮件问这个问题于是又咨询了一些老同志查 了一些资料觉得帖子 的老师的观点是正确的而我前文中的理由都是我主观的判断没有经过严格的查阅资料的过程对于这种不够认真的态度，先向大家作个检讨，相信大家会理解的，呵呵其实在现代汉语词典中方程的定义是“含未知数的2 19等式。”

4、(未知数的概念应该不会有争议 而对于“ 等式”的定义是“表示两个数(或两个代数式) 相等的算式个数(或个代数式)之间用等号连接”这中间等这些概念也应该不会有争议) 。再来看“代数式的定义“用代数运算法(加减乘除乘方、开方 把数和表示数的字母联结起来的式子”所以我想从严格意义上来说们所讨论的这个算式(姑且这么叫吧 不能叫等式是我们小学数学中的一种表示等量关系的特殊方法然 帖子 1 的老师所说的等式的传递性不能满足等问题就更不用说 了。 看看大家还有什么其他的意见，请多多发表。案例 关于 与 的大小问题帖子 ：设 0.999=n。 那么 9.99=10n。 用-得 9n=9，以 ，即 =1。帖子

5、：其实是 的极限等于 1。帖子 ：0.999有极限?应该没有啊。帖子 这是一个无聊的问题么是有价值的数学?只要学 了比较小数大小的学生都知道 0.9991。案例 到底有没有无限不循环小数?帖子 ：到底存不存在无限不循环小数 ?这段时间我一直3 19在思考这个问题偶尔也和同事们讨论起这个问题但他们好像 觉得这是勿庸置疑的事，对此好像不太感兴趣。 ! 孤掌难鸣啊 有兴趣的话就听听我下面的分析：任何一个除法算式都可以转化成一个数除以整数来计算 如 123.440.13 就可以转化为*所以我们只需要讨论除数是整数的情况就可以了一个数除以整数如果除不尽那么商是由余数来决定的比如上面那个算式被除数的位数毕

6、竟是有 限的，等除到被除数的最后一位如果还除不尽时，那么就得 继续除而它的每次余数一定会是 12 中的一个数就算前几次不凑巧，那么到第 13 次余数肯定会重复，因而商也会重复，也就是商会是循环小数。有的同志一定会说“ 圆周率就是无限不循环小数啊我是这么分析的为专门究圆周率的人他们取的周长和直径的值都很精确，比如 。这样我们一转化就成了一个除数是七位数的除法算式然每次得到余数的可能性就更多了许除到小数点后面第几百万位还发现不了它会重复但那只是因为我们除得还不够多我觉得从理论上来说它是会成为循环小数的当然这些并没有必要告诉学生以免加重学生的理解负担但我觉得作为对数学文化的探讨是有必要的许我这所谓的

7、一番推理还存在很多漏洞吧， 还请大家多多指教。帖子 ：楼主有这样的观点很正常，古希腊的毕达哥拉斯学4 19派不承认有无限不循环小数。他们在原子论哲学思想的指导下，认为万物皆数这里的数当然是自然数及自然数的比即我们今天所说的有理数。事实上，在原子论的指导下，万物之间只不过是原子个数和原子排列方式不同而已原子个数显然是自然数。 于是若把单位线段包括的原子个数记为 任意另一条线段的原子个数记为 q，那条线段的长度即为 于是任意一条线段的长度均为有理数毕氏有一位弟子发现单位正方形的对角线 长不能写成 p/q 的式今天的话说就是 2 的算术平方根无法写成 p/q 形式证明这个不难但这位弟子为此付出了生命

8、的 代价，这也引发了第一次数学危机。说这些的意思是，作为现代人来说，知道有无理数并不难，真正理解则不易主能对一个被现代人看作常识的问题进行自己的思考，挺好的。当然不能满足于自己的思辨，可以找些通俗 的书读读。帖子 3：帖子 1 的老师能够自己悟出两个数理数)相除，商不可能是无理数并对无理数的存在提出质疑这精神实在是 难能可贵的。遗憾的是：无理数确实是客观存在的。帖子 ：子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆帖子 1 的老师你是一个很善于思考的数学老师如果你像帖子 2 的老师 说的那样读点书，一定能有大进步。5 19关于 4 不是方程的讨论是有了完美的结局，不过我们着实也为之捏了一把汗；关于 与 1

9、 的大小问题，由来以久，一直是部分老师迷惑的问题，看到几个帖子的回 答，我们不禁心寒；到底有没有无限不循环小数 也许你会被这个问题吓着：这也问得出啊。事实上，只要走进人民教育出版社 网站的“小学数学教师论坛”我们就可以看到许多求救”的帖子： 整数多还是分数 ?两个分数相除，等于分子分母分别相除，对吗x=1 到底是方程还是方程的解0/2 到底是不是真分数?最小的一位数是不是 等等。好问固然是一件好事，特别是如果学生能提出这些问题来倒真是不错如果我们的数学教师还围绕这些问题争论不休的话能说明本身专业知识和素养的缺失 这些可笑又可爱，但又无奈的帖子中，我们完全可以感受到，数 学老师读书，是多么的重要

10、。曾经听过一节课教学任务完成以后还有时间剩余结合教学内容教师想给学生介绍一下哥德巴赫猜想问题结果说来说 去还是停留 “我国的数学家陈景润如何如何了不起，攻克了世界难题我们要向他学习力打好基础”这层面上当一个学生举起小手说“我知道什么是哥德巴赫猜想”并说“任何不小于 的偶数都可表示成两个奇素数的和”时，老师却只能以“你知道得真多，真了不”来了事“给学生一杯水，教师应有一桶”，对6 19于数学教师来说更是不变的真理不论“ 教师是数学学习的组织者、合作”也好，还“师生之间交往互动，共同发展”也罢，教师还是教师，学高才能为师，数学教师的学识、专业水平总不能 仅仅是弄懂课本上那点数学知识。从上面几个帖子

11、所提出的问题可以看出前我国数学教师的专业水平急需提高根据有关调查小学数学教师中具有数学 专业专科文凭的人不到 10。 甚至还有人说，教小学需要那么多数学知识干吗?又要教学生微积分!改变错误认识，才能引起对读书的重视。固然，数学教师的专业成长，少不了教育教学经验的积累但如果仅凭经验来实施教育是不能很好地把握教育规律的更无所谓接受新的教育思想和观念当然就不可能有什 么教育的创新与突破。二、数学教师应读哪些书博览群书汲取千百年来人类文明的精华应该成为教师孜孜不倦的追求是对前数学教师的专业素养和读书现状， 我们在数学教师应读哪些书的问题上达成了以下共识。首先，要认真研读教材。教材是一本常读常新的书，每

12、一次研读都会有新的收获在研读教材的问题上我们认为一方面要将教材读厚如了解教学内容产生和发展的背景理解教学内容在整个知识体系中的地位和作用，体会教材的编写意图，等等。另一方面要将教材读薄握好教学内容的数学本质重要的，7 19教师不能只关注自己的那一亩三分地应该阅读比自己所教年级高和低年级的教材解学生以前学过什么后将要学什么，这样才能更加准确地把握自己的教学比如小学数学教师就应该读一读初中乃至高中的教材步了解小学数学知识的拓展与延伸初中教师也应该读一读小学数学教材看看自己的学生在小学到底学了哪些数学知识些知识与学生们将要学的知识有什么联系和区别从而更加清楚所带班级学生的底子因基础而 施教。 关于教

13、师如何面对教材的问题，潇湘数学教育工作室曾 作过专题讨论，文章已刊发在本刊 年 其次读一些针对性用性强的书籍些书拿到手里，读完就可以用到教学中比如教学设计评课一类能够提高老师们教学技巧的书籍大家几乎都列举了斯苗儿老师编著小学数学课堂教学案例透视宋淑持老师编著的松子评课 这说明，这一方面的书籍已经得到了大家的重视，这里不再赘述。第三，要读一些有助于提高专业知识水平的数学专业书籍。如果将教学技巧当作功夫的一招一式么数学专业知识就是我们俗称的数学教师的内功实的专业知识基础是数学教师专业成长的源头活水 然而目前数学教师的知识水平现状来看， 整体水平还比较低别是小学数学教师多是中师毕业(虽然很多人已获得

14、大专或本科文凭基本上不是学的数学专业仅没有系统地学习过高等数学连高中数学的相关知识也存在8 19较大的缺陷走上教学岗位以后又很难再有机会系统地进行数学专业知识学习。因此，主动地、有选择地读一些专业书籍，是 数学老师修炼内功的必要途径。讨论中大家认为小学数学教师首先要读懂初中和高中数学教材解并掌握教材中的基础知识握识间的相互联系，领会数学的基本思想和方法。其次要读的是初等数论以及与初等数论有关的书籍可以说小学数学中有关整数方面的知识是初等数论里最简单的情况如学最开始学习的除法，都是整除而且除数与被除数都是具体的数整除的一些性质没有得到很好的体现。在初等数论第一章，讲的就是除法。这里就上升到用字母

15、来表示了除的一些本质属性就体现出来了， 比如传递性(如果 a|b，则 等。这些都是教师应该把握的数学教师应该站在这个高度来把握教学才能更好地驾驭课堂，看得更远。再次，教师还要读一点关于概率与统计方面的专业书籍概率是课改新增加的内容尤其许多老师以前根本没有学过这方面的内容。于是，随着课改的深入，概率教学暴露出的 问题越来越多。讨论中，老师们列举了许多概率教学中的知识性错误案例。案例 我们在课堂中经常会遇见这样的填空：从 “可能“ 一定 ”“ 不可 ” 三个词语中选择适当的词填在下面 括号里。9 19姐姐( )比弟弟大，姐姐 )比弟弟小，小明( 比小刚小。其实，这类语句并不是在描述一个事件。什么是

16、事件 ?先 试验说起。人们经常有意或无意对某种自然现象作一些观察或研究探询这个现象的某些规律。于是，人们就规定，对某种自然现象作一次观察或进行一次科学试验就统称为一个试验但往往一次试验是不能得出什么确定的东西的所以人们喜欢进行多次 试验，就像我们经常所说的多次投掷骰子一样。那么，既然进行试验，肯定应该有个结果，这个结果，在我们没有试验前，它肯定存在，至于是什么样的结果，得试验后才 知道。拿投掷骰子为例子来说明。在你投掷前，你肯定知道，投掷 出去的骰子在停止后，肯定会有一个点数朝上 (果骰子均匀的话)这就是结果但具体会是哪一点朝上这要投掷出去后才知 道。现在你应该不难理解什么是试验了。然后，为了

17、方便，我们将每一个可能的结果称为事件。这些 东西，书上都有的。再回到上面的填空题姐姐肯定比弟弟大这是明摆在那里 的无需对它进行试验因此它不是事件案例 5 某校初三(班想举办班徽设计比赛，全班 50 名同学，计划每位同学交设计方案一份，拟评选出 10 份一等奖，那么该班某位同学获一等奖10 19的概率为。这个题目是一个伪事件因为进行设计比赛每个人所具备的素质是不同的，不是一个等可能事件，因此，这个概率是算不 出来的。像这样对概念不清晰的认识在概率教学中经常存在且比较普遍不知道到底什么是事件不清楚频率与概率的区别与联 系，搞不清楚“可能性“概率”“机会等词语的区别与联系，等等。而这些知识都是看概率

18、方面的书籍可以解决的尤其是频率与 概率，老师们一定要去读大数定理。第四要读一些有关数学史方面的书籍不了解数学的发展史就不可能理解数学的本质当今中小学所学的数学内容基本 上属于 世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是 、18 世纪的高等数学。包含这些内容的数学教材已经过千锤百炼将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂而成的样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景知识背景演化历程以及导致其演化的各种因素因此仅凭数学教材的学习难以获得数学的 原貌和全景时教材“忽视了那些被历史淘汰掉的对现实科学或许有用的数学材料与方法弥补这方面不足的最好途径就 是通过

19、数学史的学习”欧阳绛语)。11 19在座的老师们根据自己的经验绍了一些通俗易懂的数学 史书籍，比如李文林院士编写的数学史概论第二版克莱因编写的古今数学思想等，都是比较好的数学史著作，非常 值得一读。第五教师应至少通读一至两种专业性的数学期刊一般来说数学期刊刊载的都是数学或数学教育研究的最新成果讨论的是数学教育改革中的热点问题映的是数学及数学教育的最新动态。所有这些，对更新教育教学观念、提高教育教学水平将起到积极的作用。 另外，很多专业期刊都会邀请一些数学和数学教育名家就教育改革中的热点问题发表自己的观念和论述些大家的数学功底精深点独到能一针见血中要害， 使老师们豁然开朗湖南教育数学教师专门开设

20、了“专家论坛”栏目期刊登一两位全国著名数学教育家的文章奠宙先生一鸣教授企平教授等都有文章刊登这本刊， 对老师们的成长有很大的帮助。另外，大家还建议，老师们一定要带着问题、带着目的去读一些书，着重加深自己认为有待提高的那一方面的知识。 三、数学教师为什么要解题众所周知，能力的形成依赖于实践。我们认为，解题实践是数学能力形成的主要途径只有通过不断的解题实践才能真正领悟数学思想和方法的精髓把握和体会数学的本质进而将数12 19学知识转化为鲜活的数学观点成数学能力这正是每一位数学教师必须具备的素养因此解题能力应该是作为“传道授 业、解惑”的数学教师的基本功之一。首先数学教师只有亲身经历发现和提出问题分

21、析和解决问题的过程，才能有效地引导、启发、帮助、鉴别学生的数学学 习活动。“问题是数学的心脏”，数学习的过程就是不断地发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。因此，课程标准修订稿 将“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力作为数学课程的总体目标之一。问题的发现需要什么载体 ?题的提出要通过什么途 我们认为，解决问题的实践是新问题产生的源泉学的发展过程就是发现问题_ 提出问题_解决问题 _生新问题的循环往复的过程。案例 对一道平面几何题的解题探索如图 1，、CE 分别 eq oac(,是) 的外角平分线，过点 A 作AF CE 为 G 结 ： FG=1/2(AB+BC+AC) 。这

22、个问题中，要求证的是一个非常优美的结论：线段 FG 正好等 eq oac(,于)ABC 的周长的一半看到这一结论们自然会想到与之在形式上类似的三角形中位线定理和梯形中位线定理题中并没有我们所期望的三角形和梯形为此我们便力图构造出所13 19需要的梯形或三角形：分别延长 AF、，与直线 相交于点M、N，问题便转化为要证 FG 是 的中位线；或过 的平行线 ，与 BDCE 分别相交于点 、问题便转化为 要证 是梯形 的中位线。在解决了这个问题之后，我们自然会想到：如果 BD、CE 分别是 的内角平分线(如图 2)，线段 FG ABC 三边有怎样的数量系如果 是ABC 的内角平分线， 是 的外角平分

23、线(如图 3)，线段 与 三边又有怎样的数量关系这道几何题是培养学生发现和提出问题析和解决问题的 很好的素材个过程就是一个解决问题_出新问题_得出新结论的过程引导学生经历这个过程不仅可以使学生更好地理解所学的知识更有利于感悟提出问题解决问题过程所隐含的数学思想和方法的素材选取是一个长期的积累性的工作，给学生分析问题、解决问题提供有效的指导，更需要教师有更宽阔的视野认识问题我们认为数学教师不断地进行解题实 践是完成好这些工作的重要手段。其次只有亲身经历解决问题的过程才能更好地了解学生在解决问题过程中遇到的困难和障碍数学课程标准中的课 程目标中包含了解决问题，具体包括：初步学会从数学的角度提出问题

24、理问题并能够综合14 19运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识；形成解决问题的一些基本策略验决问题策略的多样 性，发展实践能力与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；初步形成评价和反思意识。很明显，这里的解决问题，放到教学中，可以通俗地理解为解题因为如此师们需要经常给学生布置这样那样的习题， 试图让学 “能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识”形成基本数学活动经验但问题是生在经历这些活动的过程中必然会遇到这样那样的困难和障碍包括解决问题的方法、策略、途径，等等。那么，教师必定要知道学生会遇到哪些困难会在哪些地方遇到麻烦才能更好地引导学生经历解 题过程，形成解决问

25、题的一些基本策略。怎么知?怎么引导呢解题 ! 只有教师自己亲自解题，才能体会到解决问题过程中的难点和障碍所在只有通过一定量的解题才能使我们获得对解决 问题的关键的洞察力。第三只有具备一定的解题能力才会有兴趣并读好数学专 业书籍。实际上，老师们有时候还是想读点书的，但是一拿起初等数轮与猜想等书时就开始犯愁了里面那么多数学公 式定理都看不懂啊讨论中有教师谈到早就听说过波利亚的15 19怎样解题我曾买来读了读，可里面大量的例题总弄得我 晕头转向，看了几页就觉得看不下去了”。的确如此，随手翻到闵嗣鹤、严士健编写的初等数论第 二 2 页 ， 就 看 到 定 ： a1 ，a2 ， ， 都 是 m 的 倍

26、数 ，q2， ， 是任意n个整数 ，则q1a1+q2a2/s +qnan 是 m 倍数。紧接着后面有个括号，写着“证明留给读者”。这种形式在多数数学专著里面时有出现没有一定的解题能力要 读懂或读好数学专业书籍几乎是不可能的。因此，我们有理由认为，解题是数学教师阅读专业书籍、提 高自身专业水平的必要条件。最后只有具备一定的解题能力才能赢得学生的尊敬与爱 戴。作为数学教师，偶尔被学生提出的问题所难倒，这很正常，因为谁也没有胆量敢拍着胸脯说什么题都能解答出来但是如果一个数学教师总是做不出学生请教的问题么这个老师也就不称职了一方面是自己面子上过不去另一方面教师的地位和形象也将在学生的心目中跑得无影无踪

27、不钦佩其学识又怎么16 19能够信其道呢?讨论中，有老师说了自己中学时代的事情：读初中的时候，我对数学特别感兴趣，也喜欢做数学题，尤其是一些竞赛题。但也总是遇到一些困难，于是去问教自己的数学老师。可我发现，老师每次都是要我将题目放在他那里后一连几天也没有得到他的回音。 这使我对他的信任大打折扣，自己解题的积极性也 受到了一些打击被学生难倒是一件好事，可怕的是学生随时都可以难倒你。学生佩服你的解题能力才能敬佩你的学识你也才能得到学生 的尊敬和爱戴。四、数学教师应解一些什么样的题常听到老师们说“数学课本上那点例题习题和习题一看就知道了还要解什么题呀”当然我们这里所谈的解题并不是机械重复地解那些为巩固所学的知识和形成技能而安排的训练题，数学教师更多的是应该以研究者的角色进行解题实践，数学教师的解题绝不能等同于学生的课后训练数学教师应解 一些什么样的题的问题上，我们认为首先，数学教师要有选择地