山东省淄博市2021届高三上学期教学质量摸底检测(零模)数学试卷及答案解析

1、 山东省淄博 2021 届高三学期教学量摸底检（零模）数学试卷注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（择题）请点击修改第 I 卷文字说明评卷人得分一选择题已集合U （ ）A. B. 复 满足 ，则 A.1 B.1 已向量 ， b 的夹角为 ， ， b ，则 （ ）A. 2 B.3 D.12某学生的男女人数之比为 2:3 ，照男女比例通过分层随机抽样的方法抽到一个样本， 样本中男生每天运动时间的平均值为 100 分、女生为 分结合此数据，估计该校全 体学生每天运动时间的平均值为（ ）A. 分B.90 分C. 分钟85 分若实数 ， 满x ， 3

2、 x 的最小值是（ ） 12 2527已定义在 R 上的奇函数f 满足f ff ，则f （ ）A.B.1212在 6 张券中有一等奖奖券 1 张二等奖奖券 2 张、三等奖奖券 3 张现有 3 个抽奖， 每人 张则不同的获奖情况有（ ）A.15 B.18 C.24 D.90我知道，人们对声音有不同的感觉，这与音的强度有关系，声音的强度常用 I （单位：瓦 / 米 2 ，即 W 2 ）示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 L （位：分贝）表示，它们满足换算公式：L II（ ，其中I 2 是人平均能听 n n 2 n n n n 2 n n 到的声音的最小强度），国家城市区域噪声标准中规定白天公共

3、场所不超过6 则要求声音的强度不超过（ ）分贝，A.106W / 2B.10W / m26 W / 216 / 2第 II （非选题）请点击修改第 II 卷的文字说明评卷人得分二解答题我探月工程嫦娥五号探测器于 2020 年 12 月 1 日 时 分落在月球表面预选着陆区， 在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国 首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响，为进一 步培养中学生对航空航天的兴趣爱好，某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工 作，前五天的报名情况为：第 1 天 3 人第 2 天 人第 3 天 人，第 4 天

4、13 人第 天 ，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性关关系（1已知第 x 天报名人数为 y 求 y 关 x 的性回归方程，并预测第 的报名人数 （结果四舍五入取整数）（2该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系，随机调查了 1 名 生，并得到如下 2 联表：男生女生合计有兴趣无兴趣合计请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过 0 的条下认中学生对航空 航天的兴趣爱好和性别有关系参考公式及数据：回归方程bx中斜率的最小二乘估计公式为： i ii i i i i i，y ；i i Kn ，其中 P ( K 2 k 0.05 0.010 0.005 0.001 3.84

5、1 10.82810.在 中角 ， B ， 所对的边分别是 ， ， ，3ab cos Ctan B （1求角 B 的小；（2若 ， BA 12，求b的值11.已知数列n增的等比数列，且各均为正数，其前 n 项和为 S，a S 1 ， ， a 成等差数列（1求数列n式；（2若_，求 n 项，并求的最小值从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题数列n ， 3b n nn n（ N）；数列n 项 n（ n ）；数列n 项 满： n n（ N注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分12.已知函数f 2 （ ，且a b R ）在 处取得极值 （1讨论函数f 的单调性；

6、（2判断是否存在实数使得函数f 的图像与直线 相切，若存在，求出的值；若不存在，说明理由13.某商场在双二进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有 红 2 白 个球， 乙盒中有 1 红 4 白 个球，这些小球除颜色外完全相同有两种活动规则：规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还 从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出 个球 奖励 100 元，每个顾客只有 摸球机会（每次摸球都不放回）；规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要 从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，

7、每摸出 红球奖励 元每个顾客只有 3 次球机会（每次摸球都不放回）（1按照规一，一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；（2请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由 0, 0,14.已知函数f （ e 是自然对数的底数）（1求函数f 的最小值；（2若函数评卷人 得分有且仅有两个不同的零点，求实数 的值范围三填空题15.已知随机变量 P 16.已知 ，tan，则 _17.已知数列n列，数列n列若集合 , 1 ，集合 , b b ），且 ， _ 评卷人得分18.已知a b 四新添加题，则下列叙述中正确的是（ ）A.若 a ， bB.若a ，则 C.“ a ”是 ”的充分不必要条件命题 ， a 2

8、 的否定是“， 2 ”19.为了更好地支持中型企业的展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，现 调查了当地的 家小型企业年收入情况并根据所得数据画出了样本的频率分布直方 图，则下面结论正确的是（ ）,012,012A.样本在区间 内的频数为 18B.如规定年收入在 300 万元以内的企业才能享受减免税政策估计有 30%的当地中小型 企业能享受到减免税政策C.样本的中数小于 350 万元可估计当地的中小型企业年收入的平均数超过 400 万（同一组中的数据用该组区间的 中点值为代表20.已知函数f （其中 ， ， ）的部分图像，则下列结论正确的是（ ）A.函数 的图像关于直线x 对称B.函 的

9、图像关于点 对称C.将函数x图像上所有的点向右平移个单位，得到函数gx，则gx为奇函数函数 在区间 , 上单调递增21.定义正数函数：x x , x ，若 ， b ，则下列说法正确的是（）A. ln ln aB. b a bln ln22.在二项式 的展开式中，所有项系数之和_，含 x 4 项的系数是_用数字作答） 参考答1.C【解析根据集合补集运算求出AU，根据集合交集运算求出 U解：由题意得 A 故选：2.B【解析因，所以 z 2i 选 B.3.A【解析利用条件进行数量积运算即可求出，从而可得出a 的值.2 a 3，a ， ， a 2 b a 4 ， a ，故选：4.C【解析根据学生的男女

10、人数之比为 ，样本中男生人数为 2，女生人数为 ，利用平均数公 式求解设样本中男生人数为 2，女生人数为 ，则样本容量为 5，又男生每天运动时间的平均值为 分钟、女生为 80 分钟，所以该校全体学生每天运动时间的平均值为100 ,故选：5.C【解析 1 1 1 1 x y 变形得1 ，然后利用基本不等式的乘“1 ”计算最x y 变形得1 ，为 x ， 是正实数， 则3 y y 12 y = 2 25 y x y ， 3 当且仅当 时取最小值 x 12 y 故选：6.D【解析根据题意可得函数f是周期为 周期函数，结合函数为奇函数可得f ，代入函数解析式化简即.解：因为定义在 R 上的奇函数f ，

11、所以所以f ，f ，即函数f 是周期为 4 的期函数，又 ，所以 (0.5) 12故选：D.7.A【解析分两步，第一步分配一等奖奖券，第二步，分配二等奖奖券，可算出答. 第一步：把一等奖奖券分给 人中的一个，有 =3 ；3第二步：把 2 张等奖奖券分配，有两种情况，其一张给了得一等奖的人，另外一张给了剩下两人中的一人，C =22种抽等奖的人没有得二等奖，则两张二等奖奖券分给剩下 2 人人一张或者有 人 2I I 张，有1 种综上：共有故选：8.B【解析3 种情况令L 60，解此不等式即可得令 10lgII60，可得 ， I I m I 故选：（1） 1.1，；（）在犯错误的概率不超过 0.00

12、1 的条件下认为中生对航空航天的兴趣爱好和性别有关”【解析（1利用最小二乘法直接求解回归方程，进而预测第 7 天报名人数；（2根据 2 联表直接求得 K ，进而判断.解：（1）时间的平均数为x ，报名人数的平均数为 y 3 510，所以 x y i ii x 2 2i ，i ，所以线性回归方程为 x ，把 代入得24.8 25，所以第 7 的报名人数约为 25（2由列联表数据可得 K 2 因为，100 所以，在犯错误的概率不超过 的条件下认中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有 关系10.（1 313 ；（2 b .2a a 【解析10.将切化弦，再利用正弦定理及三角形内角和定理化简，即可求出 ；

13、由 BA 可得 ，余弦定理并配凑出 及 ac ，即可求出 b ；可由 及解出 ，由余弦定理，即可求出b（1因为3a 3 sin sin C sin B tan B 由正弦定理，得 b cos C C cos C B，又 ，所以 A sin sin B B，因为 ，所以 sin sin A A ，所以 ， B cos B 又 (0,)，所以 ，所以 B sin 即 tan B 3 ，又 ，所以 B .（2解法一：因为 1 1 ，所以 cos B 2 2，即 由余弦定理，得 b222 ac cos ，13所以 b 2解法二：因为 1 ，所以 BC cos 2 2，即ac ，又 5 1 1，所以 2

14、 ，得 ， 或 a ， ， 2ac 由余弦定理，得 b222 B 1 1 4 4，所以 b 13211.（1 a ；2答案见解析【解析11.求等比数列的通项公式用公式法，基本量代换； b 3 b 3 对于由 bn n n n用累乘法求出从而得到 nc1n1n 用裂项相消法求和；对于由 用b =T n 求出n，出到c b n用错位相减法求和；对于由 及 b =T n n n n b n n n 得到b 1 b 求出n，得到解：（1）设数列n q ，由a n，a 所以 1 2 3，因为a ，以 n ，因为 ， a ， 4 成等差数列，所以a 4 3，即 ，以 3 4 ，所以a 1，所以 a （2选

15、择：因为 ， 3b n nn n（ N），所以b 1 b 3 （ N），b 1 1所以 ；b b 3 4b 1 b ；b 1 b 3 b b 2 b b 3n n 1 2 n 所以b n1 3n n ，当n 时也成立 所 以 n 2 所 以 n 2 b 所以 n n1 1 1 n ，因为 1 n P n n n 是递增的，所以 的最小值为 P ，选择：由 n可知：当 n 时，b 1 1，当 2 时 b b n 所以nn当 n 时亦满此关系，所以c n 所以 ，两式相减得： 6 1 所以，因为是递增的，所以的最小值P 1，选择：因为 n（ n 所以T n n（n 2），两式相减得6 n n，即

16、n（ 2），b 1所以 （ ） 而 1 1，即b 所以数列 首项， 为公比的等比数列，所以 b n ，所以 c b n n n 5，n n 1 3 85 1 n 5 0,0,n n 1 3 85 1 n 5 0,0,所以 n 1 5 5，当 n 为数时，由于 5 58；当 n 为数时，由于 8由P 58 在 n 为数时单调递，所以当 2 时 P 的最小值为5 16 8 12.（1答案见解析；（2）存在， 或【解析12.（1利用f ，分类讨论 a ，利用导数可得函数f 的单调性；（2 ）设存在实数 a 使函数f 的图像与直线 相切，根据f ( ) ，f 可解得结果（1因为f且 ，得b ， ，得f

17、 ，当 a 时f f 增 2 减 3a增即函数f 单调递增区间为和 3a 2 ，递减区间为 当 a 时3 a,03 a3 a 3 a,03 a3 a 2 2 f f减增减即函数f 单调递增区间为 23a,0 2 ，递减区间为 和（2假设存在实数 使得函数f 的图像与直线 相切，设切点的坐标为 （ ），可得f ， ft ，消掉 a ，得 t 2 t 解得 t 当当t ，得 ；t ，得 a 527；综上，存在实数 或使得函数f 的图像与直线x y 相切13.（1138（）选择规则一更有利理由见解.【解析13.（）按规则一，设 次球后摸到的红球个数为随机变量 X ，可能的取值有 ，2， ， 用互斥事

18、件以及独立事件同时发生的计算公式分别计出各个概率的值，并列出分布列，而所求的奖励金额为随机变1 ，根据期望计算公式即可求解；（2与（）同方法可求出规则二的奖励额的期望，与1）中的结果相比较，即可知规 则一更有利.解：（1）按照规则一，设顾客经过 摸球后摸取的红球个数为 X ，则 X 可以取 ，1，2，3则 2 4 5 5 4 25； 3 2 2 1 4 4 3 14 5 5 5 5 ；3 2 2 2 5 3 4 5 50； 3 3 2 1 5 10随机变量 的布列为：X 2 3110在规则一下，顾客摸球获奖励金额的数学期望 1 E 100 X 25 （2若选规则二，设顾客经过 摸球后摸取的红球

19、个数为 Y ，则 Y 可取 ，1，3 2 4 5 5 25；3 2 2 1 1 17 Y 5 4 5 5 4 5 4 50；3 2 2 3 2 2 8 5 4 3 5 25；3 1 Y 3 5 4 3 随机变量 Y 的布列为：X 2 31750110规则二下顾客摸球获奖励金额的数学期望为 1 E Y 50 ，因为 ，所以选择规则一更有利14.（1fmin ；（2） 【解析14.（1求导f ，令f ，求得极小值即.（2 （ ） ，当 时易知函数g 是增函minmin数，不合题意，当 k ，求导 k x x x，令 ，由导数法知h 是增函数，利用零点存在定理，得到函数g 有最小值，且gmin0 0

20、 x 0 0 x 0，然后由导数法论证g 0存在一个零点即可.（1函数fx，令f，解得x 当 单调递减；当 时，f 单调递增，所以函数f有最小值fmin（2 x （ ）， 当 时，函数g 是增函数，g 有唯一的零点，与已知矛盾当 时， gk x x x，令h，则 ，以 h 是增函数又h，故存在x ，使 ， 0当x 单调递减；当 单调递增，所以函数g 有最小值，且 0g 0 0 e x e ln x x ， 0当x 0 单调递增；当 0 ， g 0单调递减，所以g 0maxg 当x 时，存在x 有且仅有两个不同 10 10 的零点；当 x 时，此时k e，g有唯一的零点 ；当 时，存在 0 ，再

21、g ，故g 有且仅有两个不同的零点综上所述，k 15. 0.2【解析15.根据随机变量 服正分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性即可求出 因为 N )，所以正态曲线的对称轴为x ，因为P ( 0.3 ，以 P ，所以 ( P ( ( 0.3 0.2故答案为： 16. 【解析16.根据题意求出sin,cos，进而求出 sin 2 2，用两角差的正弦公式展开化简即.解：由 0,，tan可得 3 10 ，10 10所以 sin 2 cos 3 ， cos 2222 2 10 所以 sin 2 3 2 2 5 2 故答案为： 17. 【解析17.根据题意判断出b 2，根据等比数列的性质可得 2 b

22、4 1 ，根据等差数列的性质，列出等式 2a （或 ），求出、b即可由 a 2 b 2 ， ，可得b 则 b 2 b ， , b ， b , b 3 可得ab ，令n a , ，根据等差数列的性质可得 2 ，所以 ，根据得出a ，所以 a ；令n a a ，根据等差数列的性质可得 2 ，所以 ，根据得出 b ，所以 a ；同理令na a ，根据等差数列的性质可得 2 ，所以 ，与联立可 ；令n , ，根据等差数列的性质可得 2 ，所以 ，与联立可 ；综上所述 a 故答案为： 18.BC【解析18.利用赋值法可判断选项 A；去绝对值后可判断项 B；据分条件和必要条件的可判断 C；据含有一个命题的

23、否定可判断 D.对 A当 ， 时， 1 b不成立，故 A 错；对 B因 ， |，所以 ，以 a，故 B 正确；对 ，当 a 时a2 ( ，所以 2a ，充分性成立；当 2 ，即 a 或 故 不定成立，故必要性不成立，所以“ a ”“ a 2 a ”充分不必要条件故 确；对 D，命题“ ， ”否定是“ ， a ”，故 D 错.故选：19.AB【解析19. 由题意和图形及频率分布直方图的相关公式计算频率、中位数、平均数即可，由图可得 0.0004) a 样本在区间 100 ，故 正确；年收入在 300 万元以内的企业频率为 0.002) ，故 正； 0.002 0.56 0.5则中位数在 x 则 300 377 350，故 C 不确；年收入的平均数超过 250 350 0.26 0.26 650 0.04 376 D 不正确故选：20.ACD【解析20.，故根据函数图象求得 解析式