相似三角形判定共边共角型嵌入型学生郭亚琦数学

1、相像三角形的判断知识精要判断三角形相像的方法有：预备定理，三个判断定理，斜边-直角边定理。此中使用频次最高的是“两角对应相等，两三角形相像”和“两边对应成比率且夹角相等，两三角形相像”。全部的判断方法只需证明两点：一是角相等，另一个是边成比率。证明“角相等”应特别注意：1）特别角（如直角），2）特别关系（如公共角，对顶角，等腰三角形的两底角，等角的余角，等角的补角等）。依据图形的构造，可将判断三角形相像的方法归纳为三种基本种类：共角共边型，嵌入型，旋转翻折型。种类一：共角共边型“共角共边型”是指有一个角为公共角或对顶角的两个三角形，只需再证明一个角相等或许证明夹公共角（对顶角）的两边对应成比率

2、就能证明两个三角形相像。共以下四种基本图形：图中的ABC和ADE有一个公共角或一组对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比率。例题精解例1如图，ABC中，D,E分别在AC,AB上，且ABD=ACE,联络DE。求证：ADEABC。评论：（1）若将题中条件“ABD=ACE”变成“BDAC,CEAB”，则结论。（2）证明过程中比率式ADAEAB既是由ABDACE获得的结论，又是判断ADEACABC的条件，也就是说，证明第一对三角形相像获得的结果（角相等或边成比率）作为条件立刻用于证明第二对三角形相像，这是证明三角形相像常用的方法。引申：（1）若设BD,CE的交点为F，则还能够证明和可获得4对相像

3、三角形。2）若条件“ABD=ACE”变成“BDAC,CEAB”，即便BD,CE成为ABC的高，则共可获得8对相像三角形。【贯通融会】1、如图，D是RtABC斜边AB上的中点，过D作DFAB，交BC于E，交A的延伸线于点F，求证：DC2=DEDF.2、如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，AE交BD于F,已知BE2=EFAE。求证：DC2=BFBD.3、如图，等边三角形ABC中，D,E分别在BC,AB上，且BD1DC,AE1EB,AD交CE22于F。求证：ADDF=4AB2.9评论：等腰三角形和等边三角形中相等的角为相像三角形准备了“天然”的条件。此题整个图形呈旋转对称造就了诸多的边角相等关

4、系和线段成比率关系。种类二：嵌入型“嵌入型”是指一个角镶嵌在一个三角形或四边形的内部，这个角的极点与三角形的极点重合，或许这个角的极点在三角形或四边形的一条边上，而这个角的两条边分别与三角形或四边形的两条边订交。例1、如图，ABC中，BAC=90，AB=AC,点D,E在边BC上，DAE=45。（1）写出图中的相像三角形；（2）求证：AB2=BEDC评论：此题中，ADE嵌入ABC内，两个三角形有一个公共极点（A），称之为“正嵌型”，如例2图所示；假如嵌入的三角形极点在该角的对边上，称之为“反嵌型”，如下图。在ABC中，BAC=90,AB=AC,点D在斜边BC上，E,F分别在AC,AB上，EDF=

5、45，能够证明BDFCED.【贯通融会】1、如图，ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E,F分别在AB,AC上，且EDF=B，联络EF。找出图中相像三角形并说明原因。1）如图，梯形ABCD中，AD求证：ABCE=BPPC;（2）APE可否与ABP相像？若能够，求此时点P的地点；若不可以够，请简要说明原因。3、正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，AEF=90，联络AF.(1)找出图中必定相像的三角形并加以证明。(2)AEF或ADF可否与ABE相像？假如能，求此时点E的地点；如不可以，试说明原因。种类三：旋转翻折型“旋转翻折型”能够看做先使此中一个三角形经过放大或减小，再与另一个三角形

6、呈旋转对称或轴对称的地点关系。例1如图，若1=2=3，写进出中全部相像的三角形，并简要说明原因。【贯通融会】1、如图，ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DEBC,交AB于点E,CE交AD于点F.求证：ABCF.ACDF2、如图，CD为RtABC斜边AB上的高，G为DC延伸线上一点，AFBG,垂足为F,AF交CD于E。求证：CD2=DEDG.3、如图，ABC中，点D在BC上，ADE=B,BAD=CAE.1）求证：ADAC=ABAE;2）当BAC=90时，求证：ECBC.内容提炼1、将三角形相像的判断与三角形全等的判断进行类比：三角形全等AAS,ASASASSSSHL三角形相像AASASSS

7、SHL能够看出，判断“相像”比判断“全等”要求要低一些：比如“两个角对应相等”没法判断全等，但能够判断相像；再比如，“两组对边对应成比率”的要求也比“两条边对应相等”的要求低，因为“两条边对应相等”是“两边对应成比率”中当比率系数为1时的特别状况。实质上，“相像”的含义知识“像”，而“全等”的含义则是“如出一辙”，“全等”的要求自然要高一些。2、正由于判断相像比判断全等的要求低，因此相像形的图形变化更多，解题方法也更灵巧。判断三角形相像第一要察看图形中有没有相等的角，比如，两个三角形没有公共角，能否等腰三角形的两个底角或等腰梯形同一底上的两个角，等等；其次，要把已知的乘积式化为比率式，观察所波

8、及的线段围成的三角形能否相像，有时还需要经过中间比转变。3、构成相像三角形的图形常常相互交织，相互浸透，图形中常包括证明相像三角形“隐含条件”。本节波及的隐含条件分别为：在共边共角型中，供给了公共角（或对顶角）相等；反嵌入型中的三角形外交等于不相邻的两个内角和；旋转型中的旋转角相等。稳固提升（必做题，要求步骤完好，思路清楚）1、知足以下条件的两个三角形不必定相像的是（）A.有一个角都等于30的两个直角三角形；B.有一个角都等于30的两个等腰三角形；B.两直角边之比为1:2的两个直角三角形；D.两条边之比为1:2的两个等腰三角形。2、如图，在ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD均分ABC,ACE=ABD,与BEF必定相像的三角形为（）A.BFC;B.BDC;C.BDA;D.CEA3、如图，梯形ABCD中，DCBC21BD2AB21AC2如图，ABC中，AB=AC,射线BF交22高AD于G，交AC于E，作CF证：BG2GEGF.4、如图，在ABC中，AB=AC,点D在BC延伸线上，点E在AC上，联络AD,联络BE并延伸，交AD于F,联络FC,已知EBC=D.(1)求证：ADBC=BDBE.(2)点E在AC上什么地点上，能使FCBD？证明你的结论。研究题（1）如图，D,E分别在等边三角形ABC的边CB和边BC的延伸线上。已知BC2=DBCE,求DAE的度数。