约束极值问题

1、3单周期的随机型存贮模型随机因素是需求和拖后时间统计规律为历史资料 策略分类：按订货条件分：订购点订货法；定期订货法按订货量分：定量订货法；补充订货法单周期：只订一次(缺时也不订),期后可处理余货一、模型六：需求是离散随机变量报童问题：报童每天售出的报纸份数r是一个随机变量,其概率P(r)为已知报童每售出一份报纸能 赚k元；如售剩报纸，每剩一份赔h元问报童每第1页共19页天应准备多少份报纸？分析：售出r份概率P(r),7 P(r) =1,设每天备Q份.r =01.损失期望值最小值原则 当Q -r (供大于求)时,损失期望值Q、h (Q r) P(r)r =0当Q : r (供不应求)时，错失期

2、望值 k(r-Q)P(r)r :Q 1故每天的损失期望值QC(Q) =h (Q-r)P(r) k (r-Q)P(r)r =0r=Q1边际分析(微分或差分)法：C(Q) =C(Q 1) -C(Q)Q 1二h (Q 1 -r)P(r) k (Q i)p(r)r =0r =Q 2Q:-h (Q -r)P(r)-k (r -Q)P(r)r :Sr =Q 1QoOQ- Q=hL P(r) k 送 P(r) =hZ P(r)k.卩送 P(r)rTr :Q +r生- r丄1丄1k+h=(k h) P(r)Q记 Q记 F(Q)八 P(r),r =0kN 损益转折概率k h从而:C(Q) =(k h)F(Q)-

3、N与 F(Q)-N 同号F（Q）是Q的增函数.且F（：） =1CL）二h0（每增一份,损 h 元）由于 C(O)=(k h)F(O)-N若 F(0) ： N ,则C(0) C(Q 1) C(Q) C(Q)后升; 故必有最小值点，设Q时，有C(Q ) pn：C(Q)C(Q -1) ：0和 C(Q ) 一0F(Q -1) ： N F(Q ) Q第5页共19页若 F(0) N,即 P(0) N：C(0) 0,并且C(Q) 0 C(Q),Q =0,1,2,.增C(0)最小 Q =0.综上所述 最佳订购量Q“满足Q 1Q 1、P(r):r P(r) (11.8)r 2.获利期望值最大准则 设获利期望值C

4、(Q)当Q -r时，赚kr元，赔h(Q -r),获利期望值：Q kr -h(Q -r)P(r)r od当Q : r时，赚kQ元，获利期望值、：、 kQP(r)r =Q 1故总获利期望值Q:C (Q)二 kr h(Q r)P(r)、 kQP(r)r =8r =Q +作同样边际分析：Q(Q)二C(Q，1)-C(Q)化简后得k h Q1C (Q)二 k1P(r)二 k1F(Q)k r=0N1显然 C (Q)与k1F(Q)同号，且严格递减.N当F(0) ： N时，与前同论(先升后降)，得C (Q 一1)(和 C(Q )乞 0也推得：Q 4kQ当F(0) 一 N ,即C (Q)严格递减，最大值为C (0

5、), 故 Q =0.注：两种角度，结果一致，理由如下.经计算可得：oOC(Q) C (Q)二k rP(r)r =0oO其中v rP(r)二E(r)平均需求量，故r =0C(Q) C(Q)二平均盈利(常数)故一个最大，另一个最小.例5某工厂将从国外进口 150台设备.这种设备有一个关键部件，其备件必须在进口设备时同时购买 ， 不能单独订货该种备件订购单价为 500元，无备 件时导致的停产损失和修复费用合计为 10000元. 根据有关资料计算，在计划使用期内，150台设备因 关键部件损坏而需要r个部件的概率P(r)下表问 工厂应如何订购r0123456789上P(r)0.470.200.070.0

6、50.050.030.030.030.020.02解若关键部件损坏时，有备件，可免损10000,故边际收益为：k =10000 - 500 =9500元若多一个备件，则浪费h二500元，因此，损益转折概率95009500 50095009500 500= 0.95由上表得，备件需要量r的累积概率QF(Q)八 rP(r)r 二078rP(r) =0.93 : N = 0.95 八 rP (r) = 0.96r r却因此Q =8,即同时购买8个关键部件，可使损失 期望值最小.例6某商品每件进价 40元，售价73元.商品过期 后将削价为每件20元并一定可以售出.已知该商品 销售量r服从泊分布：P（r

7、厂r!根据以往经验，平均销售量，=6件问采购多少件 该商品.解 每件销售赢利（边际收益）k = 73-40 =33元滞销损失（边际损失）h = 40 -20 =20元损益转折概率 N =33/（33 20） =0.623.销售量r累积概率：查表得:F(6) =0.6063 ： 0.623 ： F(7) = 0.7440故应采购7件该商品，可使损失期望值最小、模型七：需求是连续的随机变量 设每件进价k ,售价p ,存贮费G,需求量r连续型随机变量,密度(r),分布F(a) = f(r)dr.问订购量(或生产量)Q为多少时，使赢利期望最大分析实际销售：min r, Q实际收入：p min r,Q进

8、货成本：kQ存贮费为：G(Q)= C1(Q-r),0,r Q销售赢利:W(Q)二 p minr,Q -kQ -C,(Q)赢利期望：EW(Q) = ： pr(r)dr 亠pQ(r)dr -kQ - 上1(0 -r)”(r)dr 二pE(r) T P(r Q)/(r)dr :G(Q r)G(r)dr kQ平均盈利缺货损失期望值滞销损失期望值 损失期望值(含进货成本)记中括号为EC(Q),贝UEW(Q)EC(Q)二 pE(r)与模型六同，maxEW(Q)可转化为 min EC(Q),其中 Q 同.分析 min EC(Q):令dEC(Q)】d dr _Q)：G(r)dr 亠 I C1(Q -r)：(r

9、)dr kQdQ dQ Q0=G f(r)dr p pf*(r)dr +k=G+p) r)dr -(p-k)=0得qp kF(Q) = (r)dr二上 一 Q 为最小值点.P +G(因为EC(Q)对Q的二阶导数0)若p - k ：: 0,表示无利可图,故不订货Q =0. 若缺货损失含赔偿等费时,用单位缺货费C2（ p） 代p是合理的，此时有 TOC o 1-5 h z qC kF（Q）二（r）dr 2 定出 Q .02i模型七也为一次性订货问题.多阶段订货问题设本段存贮量为I ,则进货成本少kI ,余同模七. 故可用（t,S）存贮策略，S = Q”（最大存贮量）,第17页共19页*F(Q *F(Q )=C? _kC2 +C1若I -Q”，本阶段不订货右I ：Q ,本阶段订货，订货量Q二Q -I （补足）.例7工厂生产某产品,成本220元/吨,售价320元, 每月存贮费10元月销售量为正态分布，平均值为 60吨，标准差3吨.工厂应产多少，使获利期望最大. 解依题意，k =220,p =320，G =10,销售量 r ：