数列求和之裂项相消案例

1、数列求和之裂项相消河北平山古月中学刘晓静一、案例设计背景2020年，公立闰年，共366天。这样的一年，我们的学生已经在家中度过 了这366天中的150天，并通过网课来学习。立足当下，每一节课都需要去用比 平时更多的时间与经历与准备。数列知识是高考中的重要考察内容，而利用裂项 相消法求数列的前n项和是高考数列大题中的高频考点，其中蕴含的分解与组合 思想非常重要。本学校的学生对于数学有畏难心理，害怕数学、抵触数学。因此，如何让 学生愿意去学数学甚至爱上数学是我一直在思考的。我在设计案例时，一是尽可 能去增加学习的趣味性，使其“引人入胜”，而是在教学难度上的层层递进，使 其“渐入佳境”。在本节课中，

2、结合学生大部分是美术生这一实际，我设计了“刘 老师方块消消消”这一游戏，相同颜色的方块即可消除。而一开始出现的三种颜 色完全不同的方块，使同学们觉得无从下手，就像平时同学们面对数学课的感受。 而提醒学生去想到颜料中三原色这一知识，同学们大多觉得非常惊奇，而这三种 不同颜色的方块也立马消除干净。既使学生感到兴趣盎然，也通过这一游戏中将 一种颜色分解成其他两种颜色，从而消除这一过程体会到“分解与组合”思想。 开个好头，再由易到难、由简入繁层层引入，我相信学生也能获得较好的学习体 验。特别地，在网课期间，我采用多种软件并用，手机电脑齐上阵，来加强师 生互动，并及时得到学生的反馈。通过电脑直播，但会通

3、过手机来时时关注学生 对问题情况，包括看学生打出来的答案以及在微信群里听学生回答的语音，同时 还可以播放不同同学的语音来使同学之前起到交流。这样做也是为了保证课堂的 流程，减少钉钉直接连麦造成的网卡等问题。二、案例实施（一）教学目标知识与技能目标：使学生能够掌握裂项相消这一方法并理解其实质。过程与方法目标：通过趣引一问题探究一归纳一问题探究一归纳这一过程， 使学生一步步展开思路，主动地去探究得到结论。情感态度与价值观目标：通过游戏引入，增强学生的学习兴趣，激发学生 的求知欲，使学生感受到数学的奇妙。（二）教学重难点重点：裂项相消法的常见题型和解题思路难点：相消后所剩项的判断（三）教学过程1、爱

4、上数学 游戏引入教师：相信大家都玩过“宾果消消消”游戏，那现在大家来玩一下刘老师方 块消消消游戏，你能不能闯过这一关呢？（学生疑惑，没有思路）教师：咱们很多学生都是美术生，你们以后还要学习水粉这些，有哪位同学 知道颜料的三原色是什么？（学生在聊天面板打出墉案色红黄蓝）教师：（出示三原色）那么也就是说黄色跟红色可以组合出橙色，红色跟蓝 色可以组合出紫色，黄的跟蓝色可以组合成绿色。那么我们是不是可以把橙色的 长方体方块看成两个小方块组成的呢？如图（学生抢答：这样方块全都消掉了）这一设计主要为了吸引学生注意力，激发学生的学习兴趣，同时色彩的分解 与组合相消也与数列的裂项相消有异曲同工之妙。2、爱上数

5、学一一揭示课题教师：那么同学们，你们能不能像刚才消除方块一样去解一下这道题呢？一. 1,. 、，.求数列的刖乃项和n（ n +1）11111+ + 1X 2 2 X 3 3 X 4 4 x 5n x (n +1)（学生尝试，教师提示学生将每一项“分开”，从而相消）对这一道题进行讲解，进而得出本节课所学一一裂项相消法。同时根据刚才 的彩色方块游戏及这一道题使学生理解什么是裂项相消法。裂项相消法，是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去 一些项，最终达到求和的目的。3、爱上数学一一课堂探究探究一：如何“裂项”问题：你能证明1= H吗？n( n +1)（学生踊跃回答可以通分来证明）接着

6、提出问题，让学生继续深入研究 1类似的：请填空=n 侦 + 2 ）1_n （n + 3 ）（给出时间让学生计算，学生计算完成后统一给出答案）1_ j_（ 1 _1）n （n + 2）2 n n + 211,11=(n (n + 3)3 n n + 3教师：同学们观察这两个式子，你有什么发现？（让学生在微信群里语音回答，教师选取学生发言收听，最后统一归纳得出 结论）1111归纳：一（ = （）nln + k k n n + k教师继续提出问题，趁热打铁，让学生继续探究类似的：继续填空1(2n - 1)(2n + 2)1（3n - 2）（3n + 1）（有了之前的学习，学生快速完成计算后，教师直接

7、给出答案学生订正是否正确）类似的：继续填空L(2n 1)(2n + 2)3 2 n 1(3 n 2)(3 n + 1)1(_ )3 3n 2 3n + 1教师：同学们观察这两个式子，假设有一个分式也可以这样去分解，这个分 式有什么特点？学生1：分子是1，分母是两个分式相乘的形式（教师给出肯定并继续引导）教师：分母中相乘的这两个分式有什么特点？学生2：相减是一个常数（教师赞扬学生并继续引导）教师：那么看到相减得到常数，同学们能想到什么？（学生很快都回答出等差数列）教师将学生发现的这些特征汇总一下，归纳得到结论归纳：若气是等差数列，公差为d,气黄0,d黄0nn+1通过以上的过程引导学生一步步计算、

8、观察、讨论得出结论，加深学生的学 习影响，学生获得良好的学习效果。探究二：如何“相消在学生学完如何将数列的通项公式裂项后，下一步则是与学生一起学习如何 在计算前n项和时“相消”从而得出答案，而相消后所剩项的判断各式学生学习 难点，本阶段一是要让学生参与一起探究，二是对于最后判断所剩项时，要足够 清楚明白。 TOC o 1-5 h z 问题：求数列一1一的前n项和S n (n + 2)n教师提出问题并让学生自己完成通项公式的“裂项”，并让学生尝试“相消”。分析：a = -(1 -上) n 2 n n + 2 Li 1、 1,1 1、 1,1 1、 1,1 1、1,11 、S (1 ) + ( )

9、 + ( ) + ( ) +. + ()n 232242352462 n n + 21111111111=(1 一 + 一 一 + 一 一 + 一 一 +. +一 一 +232/ 43546 n - 2 n可以看到学生对于相消后所剩项一头雾水，在直播界面的ppt中给出前n项 和的展开式，并据此提出问题教师：我们可以看到，括号内的数都是一正一负的，那么大家观察，正数是 如何相消的？引导学生得出，正数是从1开始，会与它前面相隔两个数的负数相消。换句3话说，负数会与它后面相隔两个数的正数相消。本题中，正数1跟1没有办法消2去，负数-上与-上没有办法消去，则括号内剩下4项。n +1n + 2接着让同学

10、们对比一观察一并猜想相消后所剩项数与什么有关？1a n n (n + 1)1a n n (n + 2)归纳得出结论：分母是等差数列相邻两项求和后结果保留两项，若分母相隔 2项，求和后保留4项，相隔3项，保留6项。4、爱上数学变式训练这个环节给出几道不同的练习题，让同学们进一步掌握。（基础题，本题主要考察学生对本节课所学的掌握情况）（本题主要练习通项中分子不为1的类型）已知a 二 一，求S（本题主要考察学生能不能灵活做题n联想到平方差公式进而“裂项”） 求数列Gn L n +1）:的前n项和Sn（本题主要考察相消后所剩项的判断） 5、爱上数学一一归纳小结教师：那么到现在我们这节课的内容就学完了，

11、大家在回忆一下，我们这节 课学了什么？学生1：我们学了裂项相消法，裂项相消法是将数列的通项分解开，然后再 组合消去。学生2：我们知道了1_ 1（1 _ 1）n （n + k 已矢k a1 = n + k（同学们积极思考，让同学们通过手机在软件上语音回答，加强师生互动，并 选取几名学生的语音进行播放）最后，教师将本节课的知识归纳梳理一下，使学生对本节课所学思路清晰。三、案例反思高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方法，这要 求我们转变教学观念，丰富教学形式，改进学生的学习方式，加大课堂教学的研 究性、开放性和自主性，在开展探究列动中培养学生的基本项S将变式训练与 引导学生感悟反思放到同样的高度，进而培养学生的数学能力.n那么如何在现如今这样的云课堂去实现这一目标呢？ 一是让学生感兴趣， 学生愿意学才会自主学习，学生在家面临的诱惑很大