数学归纳法典型例题

1、数学概括法典型例题【知识梳理】数学概括法是证明对于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有侧重要的用途，因此成为高考的热门之一。近几年的高考试题，不只需求能用数学概括法去证明现代的结论，并且增强了对于不完好概括法应用的观察，既要求概括发现结论，又要求能证明结论的正确性，所以，初步形成“察看概括猜想证明”的思想模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数n相关的命题，可按以下步骤进行：（1）（概括奠定）证明当n取第一个值n=n0时命题建立；（2）（概括递推）假定n=k（时命题也建立。）时命题建立，证明当只需达成这两个步骤，就能够判定数题对从开始的全部正整数n都成立。上述证明方法叫做数学概括法。

2、数学概括法是推理逻辑，它的第一步称为奠定步骤，是论证的基础保证，即经过考证落实传达的起点，这个基础一定真切靠谱；它的第二步称为递推步骤，是命题拥有后继传达性的保证，即只需命题对某个正整数建立，就能保证该命题对后继正整数都建立，两步合在一同为完好概括步骤，称为数学概括法，这两步各司其职，缺一不行，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题能否拥有传达性，假如没有第一步，而仅有第二步建立，命题也可能是假命题。【重点分析】1、用数学概括法证明相关问题的重点在第二步，即nk1时为何建立，nk1时建立是利用假定nk时建立，依据相关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出nk1时建立，而不是直接

3、代入，不然nk1时也成假定了，命题并无获得证明。用数学概括法可证明相关的正整数问题，但其实不是全部的正整数问题都是用数学概括法证明的，学习时要详细问题详细剖析。2、运用数学概括法时易犯的错误（1）对项数估量的错误，特别是找寻nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错。（2）没有益用概括假定：概括假定是一定要用的，假定是起桥梁作用的，桥梁断了就通可是去了。（3）重点步骤含糊不清，“假定nk时结论建立，利用此假定证明nk1时结论也建立”，是数学概括法的重点一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完好，注意证明过程的谨慎性、规范性。【典型例题】例1.用数学概括法证明：时，。分析：当时

4、，左侧，右侧，左侧=右侧，所以等式建立。假定时等式建立，即有，则当时，所以当时，等式也建立。由，可知，对全部等式都建立。评论：（1）用数学概括法证明与自然数相关的一些等式，命题重点在于“先看项”，弄清等式两边的组成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值能否相关，由到时等式的两边会增添多少项，增添如何的项。（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需仔细对待，一般状况是把第一个值代入通项，观察命题的真假，（II）步骤在由到的递推过程中，一定用概括假定，不用概括假定的证明就不是数学概括法。此题证明时若利用数列乞降中的拆项相消法，即，则这不是概括假定，这是套用数学概括法

5、的一种伪证。（3）在步骤的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假定，二“凑”结论，重点是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的差别和联系。例2.。分析：（1）当时，左侧，右侧，命题建立。（2）假定当时命题建立，即，那么当时，左侧。上式表示当时命题也建立。由（1）（2）知，命题对全部正整数均建立。例3.用数学法明：全部大于1的自然数n，不等式建立。分析：当，左=，右，左右，不等式建立。假，不等式建立，即，那么当，不等式也建立。由，知，全部大于1的自然数n，不等式都建立。点：（1）本明命建立，利用假，并照目式行了适合的小来，也能够用上假后，明不等式建立。（2）用数学法明与非零自然数相关的

6、命要注意两个步缺一不行，第步建立是推理的基，第步是推理的依照（即建立，建立，另一方面，第步中，3等；第步中，明建立，进而判定数全部的自然数均建立）中的未必是1，依据目要求，有可命也建立的程中，要作适合的形，法。2，用上假。例4.若不等式对全部正整数n都建立，求正整数a的最大值，并证明你的结论。分析：取，。令所以取，得，而，下边用数学概括法证明，（1）时，已证结论正确（2）假定时，则当时，有，由于，所以，所以，即时，结论也建立，由（1）（2）可知，对全部，都有，故a的最大值为25。例5.用数学概括法证明：能被9整除。分析：方法一：令，（1）能被9整除。（2）假定能被9整除，则能被9整除。由（1）

7、（2）知，对全部，命题均建立。方法二：（1），原式能被9整除，（2）若，能被9整除，则时时也能被9整除。由（1），（2）可知，对任何，能被9整除。评论：证明整除性问题的重点是“凑项”，而采纳增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情况，进而利用概括假定使问题获证。例6.求证：能被整除，。分析：（1）当时，命题明显建立。（2）设时，能被整除，则当时，。由概括假定，上式中的两项均能被整除，故时命题建立。由（1）（2）可知，对，命题建立。例7.平面内有n个圆，此中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分红个部分。分析：时，1个圆将平面分红2部分，明显命题建立。假定时，个圆将平面

8、分红个部分，当时，第k+1个圆交前面k个圆于2k个点，这2k个点将圆分红2k段，每段将各自所在地区一分为二，于是增添了2k个地区，所以这k+1个圆将平面分红个部分，即个部分。故时，命题建立。由，可知，对命题建立。评论：用数学概括法证明几何问题的重点是“找项”，即几何元素从k个变成k+1个时，所证的几何量将增添多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来剖析，在实在剖析不出来的状况下，将n=k+1和n=k分别代入所证的式子，而后作差，即可求出增添量，而后只需略加说明即可，这也是用数学概括法证明几何命题的一大技巧。例8.设，能否存在对于自然数n的函数，使等式对于的全部自然数都建立？并证明你的结论。分析

9、：当时，由，得，当时，由，得，猜想。下边用数学概括法证明：当时，等式恒建立。当时，由上边计算知，等式建立。假定建立，那么当时，当时，等式也建立。由知，对全部的自然数n，等式都建立。故存在函数，使等式建立。评论：（1）概括、猜想时，重点是找寻知足条件的与n的关系式，猜想的关系未必对随意的都知足条件，故需用数学概括法证明。（2）经过解答概括的过程供给了一种思路：可直接解出，即。【模拟试题】1.用数学概括法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步概括假定应写成A.假定时，命题建立B.假定时，命题建立C.假定时，命题建立D.假定时，命题建立2.证明，假定时建立，当1时，左端增添的项数是A.1项B.项

10、C.k项D.项3.凸k形的内角和，凸形的内角和（）A.B.C.D.4.某个命与自然数n相关，若命建立，那么可推适合命也建立，已知当，命不建立，那么可推得A.当，命不建立B.当，命建立当n=4，命不建立当n=4，命建立5.用数学法明，由到，不等式左增添的是A.B.C.D.6.（5分）在数列中，且，2成等差数列（表示数列的前n和），分_；由此猜想_。7.（5分）已知全部都建立，那么a=_，b=_，c=_。（14分）由以下各式：，你能得出怎的？并行明。9.（16分）数列足，。（1）明：全部正整数n均建立；（2）令，判断与的大小，并明原因。10.（14分）已知函数，数列足，数列足，。（1）用数学法明（2）明：。11.（16分）（2006年，江西）已知数列足：，且。（1）求数列的通公式；（2）明：全部正整数