拉普拉斯变换

1、拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换。拉 氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t （ t 0）的函数攵转 换为一个引数攵为复数s的函数攵。拉普拉斯变换（3）有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运 算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各 种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果， 往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性 微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理， 从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都 是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优

2、 点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就 为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制 系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。拉普拉斯变换是对于t0函数攵值为零的连续时间函数x（t）通过关系 式X （s） = x dtJq（式中st为自然对数底e的指数攵）变换为复变量s的函数X（s）。 它也是时间函数*化）的“复频域”表示方式。据此，在“电路分析 中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V二RI， 电感元件：V=sLI，电容元件：I二sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系 统的传

3、递函数为H（s）=（1/RC）/（s+（1/RC）于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s） 与传递函数H（s）的乘积，即Y（s）=X（s）H（s）如果定义f（t）是一个关于t的函数，使得当t0时候，f（t）=0；I为了清言敷字囹保处理通常将耳Ki化为1- I+- /(I - i-ri/G-/+ 1) - /N.J - D I，幻时贝*】I 8/U1/) - / 10NE 寻 D J(jv -1.J-1) 一Ajr - J + L)- /J +1J - D - /0,f (t)=mathcal 人 left二frac int_ 人 F (s), e dsc,是收敛区间的横坐

4、标值，是一个实常数且大于所有F (s),的个 别点的实部值。为简化计算而建立的实变量函数攵和复变量函数间的一种函数攵变换。对 一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运 算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在 实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运 算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求 解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制 系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普 拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系 统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法

5、来确定控制系统的整个 特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法)，以及综合控制系统的校正装置(见寸5 ，)一2；函/鸳世 E为r近含敦字用昧姓坝-通裁将耳询化为Ib月；.川- I !Hj)- H； + l，jJ-E-L“一成-I s/ti./i -/r： + ij)- IJJ -J,j 4 一 J，j U /L-l,j-U -控制系统校正方法)提供了可能性。：拉普拉斯变换用f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉 普拉斯变换，它是复变量s=o+j&owega；的一个函数攵，其中。和&owega； 均为实变数攵，j2=-1。F (s)和f

6、(t)间的关系由下面定义的积分所确 定：如果对于实部 ；ac的所有s值上述积分均存在，而对 ac时积 分不存在，便称g为f(t)的收敛系数攵。对给定的实变量函数f(t)， 只有当g为有限值时，其拉普拉斯变换F (s)才存在。习惯上，常 称F (s)为f (t)的象函数，记为F (s) =Lf (t)；称f (t)为F(s)的原函数，记为ft=L-1F (s)。函数变换对和运算变换性质 利用定义积分，很容易建立起原函数 f (t)和象函数F (s)间的变换对，以及f (t)在实数域内的运算与 F (s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常 用的一些函数攵变换对和运算变换性质。拉普拉斯变化的存在性：为使F (s)存在，积