垂径定理-圆周角与圆心角的关系

1、圆一圆的基本性质1、固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：2、三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在，钝角三角形的外心在。3、垂径定理及推论1中的三条可概括为：经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点4、圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。1、已知，如图，CD是直径，EOD84，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。EBDO

2、CA2、在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？3、已知：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为2,3，求BAC的度数.（4、要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径要求保留作图痕迹）5、如图，已知在ABC中，A90，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长CABD16、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB16cm，拱高CD4cm，那么拱形的半径是m。7、ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是。8、如图,为直径是52cm圆柱形

3、油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB=_9、如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则CD的长为_CABAODOEABCDCDB图1图210、如图，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（）A10cmB.8cmC.42cmD.82cm11、如图，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A3:2B.5:2C.5:2D.5:412、已知:如图,在O中,弦AB的长是半径OA的3倍,C为弧AB的中点,AB、OC

4、相交于点M.试判断四边形OACBC的形状,并说明理由.BMAO13、在O中，弦AB=10cm，C为劣孤AB的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则O的半径是.14、如图，O的半径为4cm，弦AB、CD交于E点，AC=BC，OFCD于F，OF=2cm，则BED=.15、如图，圆心角AOB=100，则ACB=CABFO16、如图，AB是O的直径，点C，D，E都在O上，若CDE，则ABEDC_DAB_OOO_CABDE_B_A_.C17、已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_eqoac(,18)、如图，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为O的直径，AD=6，则BC。65

5、A219、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台。20、如图，A、B、C、D是O上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，AOB100,OBC55，OEC=度.21、如图，已知AB是O的直径，C、D是O上的两点，D130，则BAC的度数是.如图如图22、如图所示，在O中，AB是直径，COAB，D是CO的中点，DEAB求证:EC=2EACEADOB23、如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？24如图，已知O的半径为2，弦AB的长为23，点C与点D分别是劣弧AB与优弧

6、ADB上任一点（点C、D均不与A、B重合）.(1)求ACB；(2)求三角形ABD的最大面积D7OAC25、已知：如图所示，四边形ABCD内接于O，BD是O直径，若DAC=60，BC=3，AD=5求AC的长3ABeqoac(,26)、如图，已知，在ABC中，AB10，A70，B50求ABC外接圆O的半径.CDBODAOBCAeqoac(,27)、如图，ABC中，I是内心，AI交BC于eqoac(,D)，交ABC的外接圆于E。求证：（1）IE=EC，（2）IE2=EDEA。IBeqoac(,28)、已知：如图，在ABC中，AB7，AC6，ADBC，且AD=5，求ABC外接圆O的半径r.DEC3eq

7、oac(,29)、已知：如图，在ABC中，ABAC=10，BCeqoac(,12)，求ABC外接圆O的半径r.30、如图，O为eqoac(,Rt)ABC的外接圆，点D为BC的中点，延长DO交O于E，试说明AECD31、已知：如图，在ABC中，ABC2A，BM平分ABC交ABC的外接圆于M，AMEBC交AB于E，试判断四边形BCME的形状，并说明理由EMO3132.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DEAB,DFAC,E,F为垂足.B2CA求证：E、B、C、F四点共圆.E二直线与圆的位置关系考点速览：判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的

8、直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质（1）OA=OB=OC；外心（三角形三角形三边BFDC外接圆的圆心）中垂线的交点（2）外心不一定在三角形的内部（1）到三边的距离相等；内心（三角形三角形三条（2）OA、OB、OC分别平内切圆的圆角平分线的分BAC、ABC、ACB；心）交点（3）内心在三角形内部4求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆O的半径为rabc2.cAbabc2、一般三

9、角形已知三边，求ABC内切圆O的半径r.B2SrBOaDFODECAEC1、.如图,PA、PB是O的切线，切点为A、B，C是O上一点，若P40，求C的度数。APOC2、如图所示，RtABC中，C90，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的B切线AOD3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切CEB线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。CDOAB4、如图，在eqoac(,Rt)ABC中，C=90。，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E

10、，且CBD=A，判断BD与O的位置关系，并证明你的结论。CD5.如图，AB与O相切于B，AO的延长线交O于点C，连接BC，OCAAOEB若A36。则C_ABD6、如图，O分别切ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BCa,ACb,ABcAFO（1）求AD、BE、CF的长；（2）当C90，求内切圆半径rDFCEBBOEC7、直角三角形的两条直角边为5、12，则此直角三角形的外接圆如图，半径为，内切圆半径cm8、如图，PA、PB是O的切线，AB交OP于点M，若OM2cm,ABPB，则O的半径是ABDCOBOMPEOAPA5BC9、如图，在RtABC中，C90,AC3,BC4，以BC边上一点

11、O为圆心作O与AB相切于E，与AC相切于C，又O与BC的另一个交点D，则线段BD的长10、如图，ABC内接于O，AB为O直径，过C点的切线交直径AB的延长线于P，BAC25，则P11、（贵阳）如图，O是RtABC的内切圆，ACB900，且AB13，AC12，则图中阴影部分的面积是（）A、30B、302C、303D、30412.如图，AB是O的直径，直线MN切半圆于C，AMMN，BNMN，若AM=a，BN=b，则AB=.13如图，AB是O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切O于C，则D=，ACD=，若半径为r，AC=MCCOBDNAOAB14.如图，在ABC，C90,AC8,AB10，点P

12、在AC上，AP=2，若O的圆心在线段BP上，且O与AB、AC都相切，则O的半径是（）.A1B5C12D9474eqoac(,15)如图，ABC中，A=45，I是内心，则BIC=（）A112.5B112C125D55eqoac(,16)如图，在ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F（1）求证：BF=CE；（2）若C=30，CE=23，求AC的长eqoac(,17)如图，已知ABC的内切圆O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4（eqoac(,1)）求ABC的三边长；（2）如果P为弧DF上一点，过P作O的切线，交AB于M，交BC于eq

13、oac(,N)，求BMN的周长A、152B、153C、15318如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（）152D、2219、如图，eqoac(,Rt)ABC中，AC=8,BC=6,c=90，圆I分别切AC、BC、AB于D,E,F，求eqoac(,Rt)ABC的内心I与外心O之间的距离。6三圆与圆位置的关系1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，圆心距为d）外离外切相交内切内含图形O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系dRrdRrRrdRdrRrdRr外公切线内公切线2条2条2条1条2条0条1条0条0条0条2有关性质：（1）连心线：通过

14、两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁外公切线内公切线3相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。4相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点四.圆的有关计算71、有关弧长公式的应用如图，eqoac(,Rt)ABC的斜边AB=35，AC=21，点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的圆，分别切两直角边边BC、AC于D、E两点，求弧DE的长度2、有关阴影部分面积的求法如图所示，等腰直角三角形ABC的斜边AB4，O是A

15、B的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于D、E求圆中阴影部分的面积CDEOBA3、求曲面上最短距离如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点。它爬行的最短路线长是（）A2B42C43D54、求圆锥的侧面积如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积（结果保留根号）一、基础训练1如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cm，AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是_cm24如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，

16、使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120，则r与R之间的关系是（）AR=2rBR=rCR=3rDR=4r5如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积是（）A60cm2B45cm2C30cm2D15cm26已知圆锥侧面展开图的圆心角为90，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（）A1：2B2：1C1：4D4：188将直径为64cm的圆形铁皮，做成四个相同圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的高为（）A815cmB817cmC163cmD16cm9如图，圆心角都是90的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，

17、OC=1，分别连结AC、BC，则圆中阴影部分的面积为（）A12BC2D410如图，PA切圆O于A，OP交圆O于B，且PB=1，PA=3，则阴曩部分的面积S=_11如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，分别以各边为直径向正方形内依次作弧AB,BC,CD,DA，点E是四段弧的交点一只蚂蚁由点A出发沿弧AB,BC,CD,DA,AB路径顺序不断地爬行，当它行走了2006cm时，停止爬行，此时，蚂蚁所处的位置是点_（填A，B，C，D，E之一）12如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m

18、，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_m；（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）13如图9，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45，若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为（）A10cmB20cmC30cmD35cm二、应用与探究：1如图所示，A是半径为1的O外一点，OA=2，AB是O的切线，B为切点，弦BCOA，连结AC，求阴影部分的面积BACO2.如图所示，已知RtABC，ACBC,DEF的圆心为A，如果图中两个阴影部分面积相等，求AD:DBDABECF3.如图，有一直径是1

19、米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90的扇形ABC，求：（1）被剪掉后阴影部分的面积（2）用所有的扇形铁皮围成一个圆锥该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果可用根号表示）ABO9【作业】日期姓名完成时间成绩1在两个同心圆中，两条半径所截得的弧长的比一定等于（）A、两心角的度数比C、两圆半径的平方比B、两条半径的比D、以上都不对2正三角形的内切圆与外接圆周长的比为（）A、1:2B、1:2C、1:3D、1:33若圆上一段劣弧所对的弦长等于圆的半径R，R=1，那么劣弧和弦围成的弓形面积（）A、1364B、0.09C、3D、1464如图所示，两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=4，则

20、图中圆环的面积为（）A、16C、16B、4D、2O5如图所示，矩形ABCD中，AB=1，ADCBA3，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积为（）APDA、23C、343B、4D、3MBENC6已知圆锥的底面周长为58cm，母线长为30cm，求得圆锥的侧面积为（）A870cm2B908cm2C1125cm2D1740cm27若圆锥侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A120B135C150D1808一个圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，它的母线长为a，则圆锥的表面积为（）A1221a2B21a2C12a212D12a229一个圆锥形的零件，如果

21、经过圆锥的轴的剖面是一个边长为4cm的等边三角形，那么圆锥的表面积是（）A8cm2B10cm2C12cm2D1cm2十二.圆的基础综合测试一、精心选一选1下列三个命题：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；垂直于弦的直径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（）A.B.C.D.2O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与O的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定103O中，AOB84，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A.42B.138C.69D.42或1384如图1，O的直径CD垂直于弦EF，垂足为G，若EOD=40,则DCF等于（）A.80B.50C.40D.205已

22、知两圆的半径是方程x27x120两实数根，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A.内切B.相交C.外离D.外切6已知圆上的一段弧长为5cm，它所对的圆心角为100,则该圆的半径为()A.6B.9C.12D.187两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和5，如果P与这两个圆都相切，则P的半径为()A.2B.7C.2或7D.2或4.58如图2，AB与O切于点B，AO6，AB4，则O的半径为（）A、45B、25C、213D、139如图3，已知0的直径AB与弦AC的夹角为35，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则么P等于（）A150B200C250D30010如图eqoac(,4)，ABC内

23、接于O，C=45，AB=4，则O半径为（）A、22B、4C、23D、5二、耐心填一填11过O内一点M的最长弦为10cm，最短弦为8cm，则OM=cm.12eqoac(,Rt)ABC中，C90，AC=5,BC=12,则ABC的内切圆半径为13已知正n边形的一个外角与一个内角之比为13，则n等于14某校九（3）班在圣诞节前，为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞老人的纸帽，已知圆锥的母线长为30cm，底面直径为20cm，则这个纸帽的表面积为15如图5，O是ABC内切圆，切点为D、E、F，A=100，C=30，则DFE度数是16如图6，O中，直径为MN，正方形ABCD四个顶点分别在半径OM、OP以及O上，并且

24、POM=45，若AB1，则该圆的半径为ADDE三、思维大比拼17如图eqoac(,7)，在ABC中，ACB90，B半径的圆交AB于点D,交BC于点E.求、36，以C为圆心，CA为的度数11eqoac(,18)已知：如图，ABC中，ACBC，以BC为直径的O交AB于点D，过点D作DEAC于点E，交BC的延长线于点F求证：（1）ADBD；（2）DF是O的切线ABDEOCF19如图，在eqoac(,Rt)ABC中，B90，A的平分线与BC相交于点D,点E在AB上，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作D（1）AC与D相切吗？并说明理由（2）你能找到AB、BE、AC之间的数量关系吗？为什么？20、如图

25、，已知：ABC内接于O，点D在OC的延长线上，DsinB12，D30（1）求证：AD是O的切线；（2）若AC6，求AD的长CBOA21如图，已知O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD512（1）若sinBAD35，求CD的长；（2）若ADO：EDO4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）22图是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形图是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为OAB车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）A43米BA2米BO图图23如图，在直角梯形

26、ABCD中，ADBC，B=90，AB=8，AD=24，BC=26，AB为O的直径。动点P从A点开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts,求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？（2）t分别为何值时，直线PQ与O相交、相切、相离？十三.圆的终极综合测试一：选择题1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（）13A.4个B.3个C.2个D.1个2下列判断中

27、正确的是（）A.平分弦的直线垂直于弦B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3如上图，已知O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60，的度数为100，则AEC等于（）A.60B.100C.80D.1304圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数比是2:3:6，则D的度数是（）A.67.5B.135C.112.5D.1105.过O内一点M的最长弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长为().A、3cmB、5cmC、2cmD、3cm6两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和5，如果P与这两个圆都相切，则P的半径为()A.

28、2B.7C.2或7D.2或4.5eqoac(,7)ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为eqoac(,r)，则ABC的面积为（）A.121（abc）rB.2（abc）C.（abc）rD.（abc）r38已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（）A.0d3rB.rd3rC.rd3rD.rd3r9.将一块弧长为的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）A3B35C5D22C10.如图，圆O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2，若AFCF:DF=1:4，则CF的长等于（）。A2B2C3D22OBD11.有一张矩形纸片ABCD，个以

29、AD为直径的半圆，正ADC其中AD=4cm，上面有一好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使（乙），这时，半圆还露在BCBACA点落在BC上，如图外面的部分（阴影部分）的面积是（）A.(23)cm21B(3)cm2242C(3)cm2D(3)cm23312.如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16，过小圆的弦AB，则PAPB的值是（）A16B16C4D414上任一点P作大圆二、填空题13eqoac(,Rt)ABC中，C90，AC=5,BC=12,则ABC的内切圆半径14.如图，圆O是ABC的外接圆，C30，AB2cm，15.（1）已知圆的面积为81cm2，其圆周上一段弧长为3cm，OC为则圆O的半径为cm那么这段弧所对圆心角的度数是AB（2）如图13所示，AB、CD是O的直径，O的半径为R，ABCD，以B为圆心，