抛物线的焦点弦-经典性质及其证明过程

1、 有关抛物线焦点弦问题的探讨，y2)两点12 # #ABAF+BF(x+P)+(x+P)=x+x+p122212结论2：若直线L的倾斜角为e,则弦长AB=2pnsm2,兀证：(1)若,=2时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,AB=2p结论得证厶若e；时,设直线L的方程为：y=(x-2)tan,即x=y-cot,+；代入抛物线方程得y2-2py-COt6-p2=0由韦达定理y1y2=-p2,y1+y2=2pCOt6由弦长公式得AB=1+COt2，叮y2=2P(1+COt2，)=sj,结论3：过焦点的弦中通径长最小sin2,2pAB的最小值为2p，即过焦点的弦长中通径长最短.sm2,

2、# 结论4：S2AoABABp3(为定值) SAOAB,1,2_s+SAOBFA0AFOF(AF+BF,1,2)sin9OFBFsin9+1OFAFsin92OFABsin9_1匕丄sin9_22sin292sin9S2AOABAB结论5：（1）y1y2=p2x1x2=p24证xi，二,x，匚xx，(ZAb，P2p22p124P24结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA过B点作准线的垂线BB”过M点作准线的垂线MM,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM1AABBAFBFAB,121,2,2故结论得证结论7：连接A、B1F则A1F丄B1FAA=A

3、F,AAF=AFA/AA/OFAAF=AFOAFO，AFA1111同理BFO，BFB:.AFB，90。1111A1F丄B1F结论8：（1）AM1丄BM1（2）M1F丄AB（3）MF2，|AF|BF（4）设人与A1F相交于H,M1B与FB相交于Q则M1，Q,F,H四点共圆（5）|AM|2+MB2=4MM2证：由结论（6）知M1在以AB为直径的圆上AM1丄BM1AA1FB1为直角三角形，M1是斜边A的中点:.AM=MF:.MFA，MAF/AAF=AFA1111111AAF+FAM111，AAM，90。11AFA+AFM，90。111 #MF2，AFBFM1F丄ABAM1丄BM1/.AMB=90又/

4、AF丄BF11111 #:.AFB，90。11所以M1，Q，F,H四点共圆，AM2+|M1）,2（AA1结论9：（1）A、O、B1三点共线（2）B，O，A1三点共线（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴AF+BF+BB1MMi=4MM2 证：因为koA-乙-丄-2Pk11?ky1所以koA2pp2y21结论10：FAyi22p1-2FBpoB1oB1证：过A点作AR垂直X轴于点R，E,因为直线L的倾斜角为9则ER=同理可得EF,FR=P,|AF|cos91+cos9BF2y-2，而yy-P2p12所以三点共线

5、。同理可征（2）（3）（4）过B点作BS垂直X轴于点S,设准线与x轴交点为=AFAF-P1-cos9AFFAFBp结论11：(1)线段EF平分角PEQ(2)BFBEAF-AE(3)K,KAEBE-1-cos9兀(4)当9=时AE丄BE,当92兀丰一时AE不垂直于BE2BE证:BB/EF/AA1-11EA1BFFABF=|BB|,|FA|=BE1EA1BB1AA1AAE-BBE-90。AAEA相似于ABEBAEA=BEB111111/AEF+AEA=BEF+BEB=90。AEF=BEF即EF平分角PEQ11AF-BFAEBE直线AE和直线BE关于X轴对称K+K=0AEBE当9=|时,AF=EF=

6、FBAEB=90。设直线L的方程为y二k（px-一将其代入方程y2-2pxI2丿得k2x2-p(k2+2)x+-0设A(x1,y1),B(x2,y2)则X+x11k2x1x2=p2假设AE丄BE则KK=1124AEBEy2px,22x+x+2 (-X,1+x2八1)+：2C+10P22八2k2x+x+2 #x+x+2 #-2=0不可能.假设错误结论得证111结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD,贝9|AB|+|cd2p推广与深化：深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E(a,0),则有yiy2-2pa.证：设AB方程为my=x-a，代入护=2Px.得：护2卩町2

7、aP=0,：巴一即玄.IFRI1深化2：性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴,AB的中垂线交x轴于点R,则|AB|2y=tga(x-P)证明：设AB的倾斜角为a,直线AB的方程为：2,P22ctg2a(x2px+)=2px代入y2=2px得：4丿P,P2x2x(p+2pctg2a)+=0即：4由性质1得2p|AB|=x+x+p=2p+2pctg2a=12sin2a,2PIFMI=I又设AB的中点为M,则22|=|Pctg2a|cosacosa,|FE|=|FM|=|pctg2a|=pcosa|cos2asin2a|FR|=1IABI=2x+x+2 x+x+2 #深化3：过抛物线的焦点F作

8、n条弦A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角2n贝惰1 （1）i=1IAiF|,|FBi|为定值;（2）i=1IAiBi1为定值.1 #1 #n一1兀n，=,ZAFx=aTOC o 1-5 h z证明：（1）设抛物线方程为1-cos1 HYPERLINK l bookmark2兀2兀ZAFx=a+,ZAFx=a+ZAFx=a+由题意2n31一cosa1一cos（兀+a）1一cos2asin2a1 #所以IA1FI，IFBp2p2，同理IA2FI，IFB2Isin2（a+）n5p2IAFI，IFBInnn一1sin2（a+兀）np21 #./兀、./2兀.n一1nsin2a+sin2（a+）sin2（a+）+sin2（a+兀）=易知nnn2，1 #1 #IAFl，IFBii=1兀n12sin2（a+）sin2（a+兀）sin2annn=+=IP2p2p22p2（2）T