2021-2022学年江苏省无锡市第三高级中学高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设为虚数单位，若复数满足，则复数（）ABCD2在等差数列中，已知，数列的前5项的和为，则（ ）ABCD3已知，则的值为（ ）ABCD4在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.

2、4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A0.28B0.12C0.42D0.165为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量的观测值，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过( )附表：A0.001B0.005C0.010D0.0256设集合,则（ ）ABCD7如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A2.5%B0.5%C

3、1%D0.1%8已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）ABCD9元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的x的值为( )ABCD10已知函数（为自然对数的底数），若对于任意的，总存在，使得 成立，则实数的取值范围为（ ）A BC D11计算：（ ）ABCD12在正方体中，与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了5

4、00名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在元的学生人数为_14若随机变量，则，.已知随机变量，则_15圆的圆心到直线的距离_.16已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线经过点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程;（2）若直线与曲线有两个不同的交点，求的取值范围.18（12分）如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,

5、且,侧面底面.(1)若分别为棱的中点,求证:平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.19（12分）已知数列满足（且），且，设，数列满足.（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20（12分）设函数f（x）x2+bln（x+1），其中b1（1）若b12，求f（x）在1，3的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围21（12分）如图，三棱柱ABC-中，平面ABC，ACAB，AB=AC=2，C=4，D为BC的中点（I）求证：AC平面AB；（II）求证：C平面AD；（III）求平面与平面所成锐二

6、面角的余弦值22（10分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为千元时多卖出件。（1）试写出销售量与n的函数关系式；（2）当时，厂家应该生产多少件产品，做几千元的广告，才能获利最大？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先由题意得到，根据复数的除法运算法则，即可得出结果.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.2、C【解析】由，可求出，结合，可求出及

7、.【详解】设数列的前项和为，公差为，因为，所以，则，故.故选C.【点睛】本题考查了等差数列的前项和，考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.3、B【解析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可.【详解】解：因为，则.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.4、B【解析】两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.【详解】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为选B.【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.5、D【解析】把相关指数的观测值与临界值比较，可得判断30

8、岁以上的人患胃病与生活无规律有关的可靠性程度及犯错误的概率【详解】相关指数的观测值， 在犯错误的概率不超过的情况下，判断岁以上的人患胃病与生活无规律有关 故选：D【点睛】本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握在独立性检验中，观测值与临界值大小比较的含义是解题的关键6、C【解析】解不等式得集合A，B,再由交集定义求解即可.【详解】由已知所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.7、A【解析】根据得到，得到答案.【详解】，故，故判断“是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%.故选：.【点睛】本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.8、A【解析】分

9、析：构造新函数，利用已知不等式确定的单调性，详解：设，则，由已知得，是减函数是偶函数，的图象关于直线对称，的解集为，即的解集为故选A点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是是构造新函数，对于含有的已知不等式，一般要构造新函数如，等等，从而能利用已知条件确定的单调性，再解出题中不等式的解集9、B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案.【详解】本题由于已知输出时x的值，因此可以逆向求解：输出,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；上一步：,此时；故选：B.【点睛】本题考查了程序框图的循环结

10、构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.10、A【解析】，在区间上为增函数，在区间上为减函数.，又，则函数在区间上的值域为.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.当时，函数在区间上的值域为，不符合题意.当时，函数在区间上的值域为.依题意有，则有，得.综合有实数的取值范围为.选A.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.11、B【解析】直接利用组合数公式求解即可【详解】由组合数公式可得.故选：B.【点睛】本题考查组

11、合数公式的应用，是基本知识的考查12、B【解析】证明与平面所成角为，再利用边的关系得到正弦值.【详解】如图所示：连接与交于点，连接，过点作 与平面所成角等于与平面所成角正方体平面 平面 与平面所成角为设正方体边长为1在中故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角，判断与平面所成角为是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由频率分布直方图得每天在校平均开销在元的学生的频率为，由此能求出每天在校平均开销在元的学生人数【详解】解：由频率分布直方图得：每天在校平均开销在元的学生的频率为：，每天在校平均开销在元的学生人数为：故答案为：1

12、【点睛】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14、0.8185【解析】分析：根据正态曲线的对称性和特殊区间上的概率可求出和，然后求出这两个概率的和即可详解：由题意得，点睛：本题考查正态分布，考查正态曲线的对称性和三个特殊区间上的概率，解题的关键是将所求概率合理地转化为特殊区间上的概率求解15、1【解析】由题意首先确定圆心坐标，然后利用点到直线距离公式可得圆心到直线的距离.【详解】圆的方程即：，则圆心坐标为，圆心到直线的距离.故答案为：1【点睛】本题主要考查由圆的方程确定圆心的方法，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化

13、能力和计算求解能力.16、【解析】分析：先根据导数研究图像，再根据与图像交点情况确定实数的取值范围.详解：令，所以当时，；当时，；作与图像，由图可得要使函数恰有两个不同的零点，需点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) .(2) .【解析】分析：(1)利用极坐标与直角坐标互化的公式可得曲线的普通方程为.(2)联立直线的参数方程与C

14、的二次方程可得 .结合直线参数的几何意义有 .利用三角函数的性质可知的取值范围是.详解：(1)由得.将，代入上式中,得曲线的普通方程为.(2)将的参数方程 (为参数)代入的方程,整理得 .因为直线与曲线有两个不同的交点，所以 ,化简得.又,所以，且.设方程的两根为,则，所以,所以 .由，得，所以,从而 ，即的取值范围是.点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18、 (1)见解析( 2) 【解析】分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（

15、2）取中点,连结、,先证明、两两垂直. 以为原点,分别以、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,分别为、中点，/, 又点为中点,且,四边形为平行四边形,又 平面, 平面,平面.(2)取中点,连结、, 是以 为直角的等腰直角三角形,又为的中点, ,又平面平面,由面面垂直的性质定理得平面,又 平面,由已知易得:、两两垂直. 以为原点,分别以、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设 ,则:,. 设平面ABF的法向量为,则,令,则,. 又平

16、面的法向量为,由二面角成角得:,解得:,或不合题意,舍去.,当棱上的点满足时, 二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19、（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）根据，构造，即可证明是等比数列，进而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，求出，得到，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1），是等比数列，其中首项是，公比为.，即.（2）（），由（1）知，（），两式相减得，.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等比数列

17、，求数列通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的定义，等比数列的通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，属于常考题型.20、（1）412ln2（2）【解析】（1）当b12时令由得x2则可判断出当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，2时，f（x）单调递增故f（x）在1，2的最小值在x2时取得；（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（1，+）有两个不等实根即2x2+2x+b1在（1，+）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b的范围【详解】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+）b12时，由，得x2（x2舍去）

18、，当x1，2）时f（x）1，当x（2，2时，f（x）1，所以当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，2时，f（x）单调递增，所以f（x）minf（2）412ln2（2）由题意在（1，+）有两个不等实根，即2x2+2x+b1在（1，+）有两个不等实根，设g（x）2x2+2x+b，则，解之得【点睛】本题第一问较基础只需判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值而第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即在（1，+）有两个不等实根即2x2+2x+b1在（1，+）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解21、（）见解析（II）见解析（III）【解析】（I）C平面ABC，得A平面ABC，从而AAC，再结合