二项式定理的问题类型及解法

1、二项式定理的问题类型及解法二项式定理的问题相对独立，题型繁多，解法灵活且较难掌握。本文结合近几年来的 高考试题，根据二项式定理的不同问题，进行分类，并作出解法探讨。一、求某项的系数 此类问题一般是先写出通项公式，在由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的 系数。1例1、(X2 -亍)9展开式中X9的系数是.2x分析：此题体现抓“通项”的思路1 r r解.T = Cr (X2)9-r ()9 = (一1)2-rC ； Xl8-2r X-r= (1)2-rC ； Xl8-3r.r192 x99当 18-3r=9 时，得 r=3.所以X所以X9系数为(-1)32-3C212二、求多项式各项的系数的

2、和差求展开式的系数和的问题，常用赋值法例 2、若(2x+ 丫3)4=a +a x+a X2+a X3+a X4,贝y (a +a +a)2(a +a )2 的值0123402413为( )A1B1C0D2A1B1C0D2解.欲求式可变为. (a0+a2+a4)2(a1+a3)2(a + a + a + a +a )(a a + a a +a )0 1 2 3 4 0 1 2 3 4实际上，a +a +a +a +a和a a +a a +a分别为已知式在x1, x1的值.0 1 2 3 40 1 2 3 4令 x 1 得，(2+，3 )4a +a +a +a + a,01234令 x1 得，(2

3、-%3 )4a a +a a +a .01234(a +a +a)2(a +a)2(2+ 込)4(2八3)4(2+爲)(2-) 4 02413 (43)41三、求有关整除余数问题例 3、 109192除以 100 的余数是解. 9192(90+1)92 C0 9092+ C1 9091+ C91 90+ C92 92929292由此可见，除后两项外均能被100 整除而 C 91 90+ C92 8281 82X 100+81.9292四、利用二项展开式证明不等式例 4 求证：3n 2n-i -(n + 2) (nUN,且 n三2).114 + Cl * 2n2 + +Cft + C； 卜+C严

4、* 2+C：).左式=2 + 1) n=2n + Ci* 114 + Cl * 2n2 + +Cft + C； 卜+C严* 2+C：).注意到： 2n+n 2n-i=2n-i (2 + n) =2n-i (n+2)；n22,右式至少三项； c皆 + +* 2 + C0.这样，可以得到 3n 2n-1 -(n + 2) (nUN,且 n$2).五、求近似值 此类试题是利用二项式定理的展开式求近似值,主要考查利用二项式定理进行近似计 算的能力.例 5、某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占 有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每

5、年至多只能减小多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产二总产量耕地面积确到1公顷）？（粮食单产二总产量耕地面积人均粮食占有量二总产量总人口数解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷（him）又设该地区现有人口为P人，粮食单 产为M吨/公顷（t/himO,依题意得不等式X(l + 10%),Mx(l+22%)x(104 10 x)Mx 104 p x(1+1%)pX(l + 10%),化简得：x10aX 化简得：x10aX 1-1.1x(1+0.01)101.22103X 11.1 x(1+O.O1)10口居 X(1+Co X0.01+C12 X0012+)口巨 X1-1045xW4（公顷）.小结：二项式定理主要应用,包括求某项的系数、求多项式各项的系数的和差、求有 关整除余数问题、利用二项展开式证明不等式、求近似值以及与其他数学知识的综合应 用.当然,二项式定理的运用不止这些