人教版九年级数学上册 《用频率估计概率》概率初步

1、用频率估计概率 （1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个数，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率。（2）我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果。知识回顾以旧引新探究一：通过频率估计概率活动1 周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是老师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样老师很为难。请大家帮老师想一个公平的办法，来决定把这张票给谁。有这么多可用的方法，那现在我们从中抽选出掷硬币的方法。抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、为什么要用掷硬币的方法呢？ 掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大。问题探究探究一：通过频率估计

2、概率 用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上”还是“反面向上”，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的。 但是，我们的直觉是可靠的吗？ 掷硬币出现“正面向上”和“反面向上”的可能性真的是相等的吗？ 有什么方法可以验证呢？ 掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率 的变化趋势。 课前，我们每个同学都进行了掷硬币的试验，并计算了“正面向上”的频率，你有什么发现呢？ 汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？ 如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？大胆操作，探究新知探究一：通过频率估计概率

3、活动2抛掷次数n50100150200250300350400“正面向上”的频数m“正面向上”的频率 根据数据生成折线统计图：探究一：通过频率估计概率随着试验次数的增加，“正面向上”的频率 有什么规律？ 试验次数比较小时，频率 波动比较大，但试验次数较大时，频率 比较稳定。随着试验次数的增大，频率 稳定在0.5的附近。探究一：通过频率估计概率 掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上”的频率 的变化趋势。探究一：通过频率估计概率活动3 可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上”的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！ 谁都知道掷一枚硬币出现“正面

4、向上”的概率为0.5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？ 大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少吗？ 有的同学回答“针尖向上”概率为0.5，其实由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出现的可能性不一样大。 你能想办法得到“针尖向上”的概率吗？探究一：通过频率估计概率抛掷次数n50100150200250300350400“针尖向上”的频数m“针尖向上”的频率 类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率。根据数据生成折线统计图：探究一：通过频率估计概率随着试验次数的增加，“针尖向上”的频率 有什么规律？ 试验次数比

5、较小时，频率 波动比较大，但试验次数较大时，频率 比较稳定。随着试验次数的增大，频率 稳定在的附近。探究一：通过频率估计概率总结：（1）随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。（2）概率与频率之间是有区别和联系的：区别：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能性的

6、大小。探究一：通过频率估计概率联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。（3）用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大。探究一：通过频率估计概率 例1：一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均相同，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，则下列说法正确的是（ ）A.小明从袋子中取出白球的概率是1B.小明从袋子中取出黄球的概率是0C.这次试验中，小明取出白球的频率是1D.由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1基础性例题探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用活动1解：A.小明从

7、袋子中取出白球的概率是 ，故A选项错误；B.小明从袋子中取出黄球的概率是 ，故B选项错误；C.这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故C选项正确；D.仅进行了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D选项错误。【思路点拨】本题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同。在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性， 这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率。不能将

8、频率、概率混为一谈。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用练习：已知抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为 ，它表示（ ）A.连续抛掷硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上B.每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上C.连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上D.大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上解：A.掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A选项错误；B.每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B选项错误；C.连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也不能确定是100次，故C选项错误；D.大量反复掷硬币，出现反面

9、朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每两次会出现一次反面朝上，故D选项正确。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用例2：小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：朝上的点数123456出现的次数798111510（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；（2）小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”。 小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次” 小颖和小红的说法正确吗？为什么？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用例2：小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子

10、（质地均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；朝上的点数123456出现的次数798111510解：（1）“3点朝上”出现的次数是8次，“3点朝上”的频率是 ；又“5点朝上”出现的次数是15次，“5点朝上”的频率是 。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（2）小颖和小红的说法都不正确。 但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，不能直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的。 如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率 的附近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也

11、是错误的。 【思路点拨】本题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 练习：为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明和小华做了多次试验，并将结果记录在下表：抛掷次数52050100200针尖着地的频数29234589针尖着地的频率0.40.450.45（1）分别计算抛掷次数为50次和200次时，针尖着地的频率；（2）根据计算结果，小明认为：“抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45”，小华认为：“每抛掷100次这种图钉，一定出现45次针

12、尖着地”。你认为他们的说法正确吗？为什么？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（1）抛掷50次时，“针尖着地”的频数是23，“针尖着地”的频率是 ；又抛掷200次时，“针尖着地”的频数是89，“针尖着地”的频率是 。（2）小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45； 小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45，所以每抛掷100次这种图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不能说一定是45次。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 例1：下表是某机器人做9999次“

13、 抛硬币”游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率。抛掷次数550300800320060009999出现正面朝上的频数131135408158029805006出现正面朝上的频率20%62%45%51%49.4%49.7%50.1%（1）由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_次正面朝上，正面朝上出现的频率是_。（2）由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到次正面朝上，正面朝上出现的频率约是。（3）观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？提升型例题探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用活动2解：（1）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正面朝上，正面

14、朝上的频率是20%；（2）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次正面朝上，正面朝上的频率是50.1%；（3）观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比较稳定，稳定在50%的附近。【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 练习：一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的。将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下。由于棋子的两面不均匀，为了估计”兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，

15、实验数据如下表：实验次数20406080100120140160“兵“字面朝上的频数14384752667888“兵“字面朝上的频率0.70.450.630.590.520.560.55（1）请你数据表补充完整；（2）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（1）试验总次数为40，而“兵”字面朝上的频率为0.45，“兵”字面朝上的频数400.4518。又试验总次数为120，而“兵”字面朝上的频数为66，“兵”字面朝上的频率661200.55。（2）观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加

16、，“兵”字面朝上的频率逐渐稳定在0.55的附近，因此估计“兵”字面朝上的概率为0.55。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 例2：在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球。若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为_。解：由于通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，所以，摸到红球的概率就为20%。因为，一共有a个除颜色外完全相同的球，其中只有3个红球所以，摸到红球的概率为 。解得：a15所以，a的值为15【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重

17、复试验得到，也可以通过古典概型的计算公式得到。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 练习：为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为_个。解：因为多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，所以，摸到红球的概率就为0.2。设一共有x个白球，其中有5个红球，所以一共有（x5）个球，所以，摸到红球的概率为 0.2解得：x20所以，有20个白球。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 例1：某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率，应采

18、用什么具体做法？（1）如图是一张模拟统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空：移植总数n成活数m成活的频率 （结果保留小数点后三位）1080.80050472702350.870400369750662150013350.890350032030.915700063359000807314000126280.902探究型例题探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用活动3（2）从上表可以发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是估计该幼树移植成活的概率为_。（3）若某校需要移植500棵该种幼树，估计需要向这个园林公司购买多少棵

19、幼树？（结果保留整数） 设计的方案为：在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率。随着移植数n越来越大，成活频率 会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（1）直接用成活数m除以移植总数n，即可得到对应的频率，因此空白表格从上往下依次为：0.940 0.923 0.883 0.905 0.897；（2）观察频率的变化趋势发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定在0.9的附近，因此可以估计该幼树移植成活的概率为0.9；（3）根据表格，估计该幼树移植成活的概率为0.9假设需要购买x课该种幼树，则由题意可得

20、：解得： 需要购买556课该种幼树。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 练习：某地区林业局要考察一种树苗移植的存活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）这种树苗成活的频率稳定在_，成活的概率估计值为_。（2）该地区已经移植这种树苗5万棵估计这种树苗成活了_万棵；如果该地区计划成活18万棵这样的树苗，那么还需要移植这种树苗约多少万棵？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：（1）观察统计图可以发现当移植数量较多时，成活的频率稳定在0.9的附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9；（2）50.94.5（万棵）所以

21、估计这种树苗成活了4.5万棵。 184.513.5（万棵）， 还需移植13.50.915（万棵）。【思路点拨】首先观察统计图估计出这种树苗成活的概率为0.9，然后利用成活概率和移植总数就可以计算出成活的树苗，也可以用计划成活的树苗和概率求出应移植的树苗。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用 例2：某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg的柑橘。销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成此表。柑橘总质量n/kg损坏柑橘质量m/kg 柑橘损坏的频率 （结果保留小数点后三位）505.500.11010010.500.10

22、515015.1520019.4225024.2530030.9335035.3240039.2445044.5750051.54 如果公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用解：表格：0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103。根据表格中的频率变化规律，可以估计柑橘损坏的概率为0.1，即柑橘完好的概率为0.9，所以在10000 kg的柑橘中完好柑橘的质量为：100000.99000（kg）完好柑橘的实际成本为： （元/kg）设每千克柑橘的售价为x元，则解得： 因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元就可以获利5000元。【思路点拨】先计算柑橘损坏的频率，再观察频率的变化趋势，根据频率估计出损坏柑橘的概率，得到销售商实际销售的完好的柑橘数量，计算出完好柑橘的实际成本，再根据利润为5000元建立方程即可。探究二：频率估计概率在生活实际问题中的应用练习：某制衣厂对该厂生产的名牌衬衫抽检结果如下表：抽检件数1020100150200300不合格件数013469不合格频率00.050.030.03（1）补全表格（结果保留2位小数）（2）