选修2-1数学椭圆综合知识点+大量例题

1、PF2IPFIIPFI2a,1=2PF2IPFIIPFI2a,1=2=e,IPMIIPMI12IPMI+1PMI=丝12c；(2)BF=BFOF=OFi|A2B=AB=Qa2+b2；(3)AF=AF11122=a-c，|A1FJ=IA2F1=a+c,a一c|PF|c2aa0,所以e的取值范围是OVeVI。e越接近1,则c就越接近a,从而b=-Ja2-c2越小，因此椭圆越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2。x2y2爨椭圆+=1的图象中线段的几何特征(如下图)：(1)PF+a2

2、b2x2y2+bx2y2+b0);a2b2蟹直线与椭圆的相交弦x2y2设直线y=kx+b交椭圆一=1(ab0)于点P(x,y)a2b2111,P(x,y),两点，222IPPI=(x一x)2+(y一y)2121212(XX)21+(y1y2)212xX12b0,ac0,且a2=b2+c2。三个量的大小与坐标系无关,是由椭露椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看X2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。蟹平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x,y)，若点M(x,y)x2

3、y2a2在椭圆上，则有一+=1(ab0);若点M(x,y)a2b2x2y2若点M(x,y)在椭圆外，则有一+1(ab0).a2b2IPPI：1+丄丨y-yI(k丰0)这里丨x-xI,Iy-yI,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12k2121212Ix一xI=(x一x)2一4xx；Iy一yI=y一y)2一4yy121212121212霰例1.已知椭圆的对称轴为坐标轴，0为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6,且2cosZOFA3，求椭圆的方程。解析】椭圆的长轴长为6，cosZOFA=解析】椭圆的长轴长为6，cosZOFA=3，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|

4、OF|=c，IAF1=討OAI2+1OF|2=b2+c2=a=3,c23=3，所以c=2,b2=3222=5x2y2故椭圆的方程为+5=1或x2y2T+V=1o霰【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点FF2在x轴上，离心率为乎.过点Fi的直x2y2线I交C于A，B两点，且AABF2的周长为16,那么C的方程为【答案】16+8=a+c=10a-c=4蟹例2.(1)已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为a+c=10a-c=41+e13【解析】(1)由题意得(a+c):(a-c)=：3:2，即一-=，解得e=5-2*6。由题意得1-eyJ2解得a=7c=3c故离心率e=蟹【变式1】椭

5、圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是()人5b4c罟D.解得a=7c=3c故离心率e=蟹【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是()人5b4c罟D.2【答案】D覊【变式x2y22】椭圆a+厉=1上一点到两焦点的距离分别为勺d2，焦距为2c，若d严、d2成等差数列，则椭圆的离心率为答案】x2y2蟹例3.设M为椭圆一+=1(ab0)上一点,a2b2FF2为椭圆的焦点,若MF!F2=75，ZMFF=1521，求椭圆的离心率。【解析】在厶MFF中，由正弦定理得二12|MF|12sinZFMFsinZMFFsinZMFF1221122c|MF|2cIMFIIM

6、FI即12sin90osin15。sin75=IMF1I+1MF2I=sin90。sin15。+sin75。一sin15。+sin75。2c2aTOC o 1-5 h zc10,b0)的左焦点为F,右顶点A,上顶点为B,若BF丄BA,求离心率a2b2【解析】根据题意，|AB2|=a2+b2,|BF|二a,|AF|=a+c,所以在RtABF中，有（a+c）2=a2+b2+a2,化简得c2+ac-a2=0,等式两边同除以a2,等式两边同除以a2,得e2+e1=0,解得e二又TOVeVI,e三x2y22兀爨例4已知椭圆怎+忘=1(ab),Fi,f2是两个焦点若椭圆上存在一点p使ZF1pf2二求其离心

7、率e的取值范围。2兀【解析】F1PF2中，已知ZFPF=_3,|FiF2|=2c,|PF+|PF2l=2a,由余弦定理：121231212TOC o 1-5 h z4c2=|PF|2+|PF|2-2|PF|PF|cos120又|PF|+|PF|=2a联立得4c2=4a2-|PF|PF|,/.12121212IPF1HPF2I=心4C2|PF1HPF2I-（2a）2=a2=牡-4C2-a2=3a2-4C2-=I弋詣-eb)，以a,b,c为系数的关于x的方程ax2+bx+c=无实根，求其a2b2离心率e的取值范围。【答案】由已知，A=b2一4ac，所以(a2-c2)-4ac，不等式两边同除a2可得

8、e2+4e1,解不等式得e、污2.由椭圆的离心率ee(,1),所以所求椭圆离心率ee(岛2,1).TOC o 1-5 h zx2(11A覆例6.已知椭圆牙+y2=1,求过点P-,且被P平分的弦所在的直线方程.2122丿(1A【解析】解法一：设所求直线的斜率为k,则直线方程为y7二kx-.代入椭圆方程,并整理得十丁.p是弦中点.x+十丁.p是弦中点.x+x=1.故121+2k212C+2k212Ck22kI+k2k+=.由韦达定理得x+x=得k=.所以所求直线方程为2x+4y3=.的直线与椭圆交于&，J、的直线与椭圆交于&，J、BgP，则由题意得实用文档实用文档2424x21+2y121，x21

9、+2y121，x22+2y221，x1y1x2y21，1.=-2，即直线的斜率为-2.所求直线方程为x2-=-2，即直线的斜率为-2.所求直线方程为一得1c2+y2-y2=0.将、代入得人丿2212x-x12x2y2蟹【变式1】已知点P(4,2)是直线l被椭圆r+三=1所截得线段的中点，求直线l的方程.369【答案】直线l的方程为x+2y8=0 x2y2霰【变式2】若直线y=kx+1(keR)与椭圆丁+二=1恒有公共点，求实数m的取值范围。5mx2y2【答案】m1且m丰5时，直线y=kx+1(keR)与椭圆丁=1恒有公共点5mS椭圆(2013高考题)覆蟹(2013新课标全国高考文科T5)设椭圆

10、C蟹(2013新课标全国高考文科T5)设椭圆C:+一1(ab)的左、右焦点分别为&F2，P是C上x2y2a2b2的点，PF丄FF,212F1F2=30。，则C的离心率为(C.2D.23解析】选D.为PF丄FF,ZPFF=30,2-所以PF=2ctan302=连c,PF=翠c。又313PF+PF=cPF+PF=c=2a，所以C123a333x2y2數2013大纲版全国卷高考理科T8)椭圆Cq+丁=1的左、右顶点分别为A1,A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是-2,-率的取值范围是-2,-1,那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.实用文档实用文档【解析】选B设%），则x20+4

11、PA2F-2，【解析】选B设%），则x20+4PA2F-2，仏0饬y2kkoPAjPA2x2-403-323-x24ox2-40PA13kPA2因为kPA33G一2，-1，所以沁w8,4蟹（2013大纲版全国卷高考文科T8）已知F1-1,0),F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交于A,B两点，且错误！未找到引用源。=3,则C的方程为x2x2y2A亍y2=*1B亍T=1x2y2rr=1x2y2D.了亍1x2y2x2y2【解析】选C.设椭圆得方程为一+7-a2b2=1(ab0)，由题意知=；，又c2=a2b2=1，解得a=2或a21x2y2a=（舍去），而b2=3，故椭圆得

12、方程为2+可=.TOC o 1-5 h z厶IJx2y2蟹（2013四川高考文科T9）从椭圆一+=1（ab0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F，A是a2b21椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABHOP（椭圆与x轴正半轴的交点，()A.手B.242仝D.22【解析】选【解析】选C，根据题意可知点P（C,yo），代入椭圆的方程可得y02=b2-PFBO故选故选C.TOC o 1-5 h zybbc即f=，解得y=，即b2-ca0ab2C2b2C2c2廿r，解得e=丁霰霰（2013广东高考文科T9）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率等于2,则C的方程是（

13、）x2y2AT+T二1x2B.+聖二1C.罕+等二14v342x2y2D.T+丁=1则c=1,e=,a=2,则c=1,e=,a=2,b=3,C的方程是a2解析】选D.设C的方程为+=1,(ab解析】选D.设Ca2b2x2x2y2蟹（2013辽宁高考文科T11）已知椭圆C:+=1（ab0）的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,Ba2b2两点，连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cosNABF二4，则C的离心率为()A.5B.5c.4d.6【解析】选B.在三角形ABF中，由余弦定理得|AFF=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosZABF，又AB=AB=10,BF=8,cos

14、ZABF=5解得|AF|=6.在三角形ABF中，|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2，故三角形ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F,连接AF,BF，根据椭圆的对称性，四边形AFBF为矩形，则其对角线|FF=|AB=10,且|BF|=|AF=8，即焦距2c=10,又据椭圆的定义，得|AF|+|AF=2a，所以c2c52a=AF+AF=6+8=14.故离心率e=-=丄=二.a2a7x2y2蟹（2013江苏高考数学科T12）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为一+一=1（a0,b0），右a2b2焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d，F到l的

15、距离为d，若d=、6d，1221则椭圆C的离心率为TOC o 1-5 h z2【解析】由原点到直线BF的距离为d得d=，因F到l的距离为d故d=-c，又d=、6d所以11a22c21a2bcbc2bb3c=6a2c2=、&61e2=p6e2又=*1e2解得e=caaaa3霰（2013上海高考文科T12）与（2013上海高考理科T9）相同设AB是椭圆r的长轴，点C在r上，且ZCBA=才.若AB=4,BC=、2，则厂的两个焦点之间的距离为【解析】如图所示，以AB的中点0为坐标原点，建立如图所示的坐标系.设D在AB上，且CD丄AB,AB=4,BC=ZCBA=45。nCD=1,DB=1,AD=3nC(

16、1,1)TOC o 1-5 h z11484n2a=4,把C(1,1)代入椭圆标准方程得+=1,a2=b2+c2nb2=,c2=n2c=6a2b2333x2y2霰（2013福建高考理科T14）相同椭圆：一+=1（ab0）的左、右焦点分别为F，F，焦距为2c.若a2b212直线y二错误！未找到引用源。与椭圆的一个交点M满足NMFF=2ZMFF，则该椭圆的离心率等于.1221【解析】NMF1F2是直线的倾斜角,所以NMF1F2=60,乙MF2F1=30,所以MF2F1是直角三角形,在RtMF2F12c中,|F2Fi|=2c,|MFi2c中,|F2Fi|=2c,|MFi|=c,|MF2|3c，所以e

17、二学=2aIMFI+IMFI订3+1.12x2y28(2013辽宁高考理科T15)已知椭圆C:+=l(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,Ba2b2两点，连接AF,BF.若|AB=10,|AF|=6,cosZABF=5，则C的离心率e=.【解析】在三角形ABF中，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BFI2一2|AB|BF|cosZABF,又4AB=10,|AF=6,cosZABF=5，解得|BF|=8.在三角形ABF中，|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2，故三角形ABF为直角三角形。设椭圆的右焦点为F，连接AFBF，根据椭圆的对称性，四边形AFBF为矩形，则

18、其对角线|FF|=|AB|=10,且BF=AF=8，即焦距2c=10,又据椭圆的定义，得|AF+AF=2a，所以2a=AF+AF=6+8=14.c2c5故离心率e=石.a2a78(2013陕西高考文科T20)已知动点M(x,y)到直线l：x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.【解析】(1)点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍，贝QIx一4I=2f(x-1)2+y2=宁+扌=1.x2y2所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为才+=1.(2)P(0,3

19、),设A(x,y),B(x,y)，由题意知：x=0+x,2y=3+y，11221212椭圆的上下顶点坐标分别是(0,.3)和(0,-打),经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。设直线m方程为：y=kx+3.联立椭圆和直线方程，整理得:(3+4k2)x2+24kx+24=0nx+x=,x-xTOC o 1-5 h z123+4k212243+4k2x-x12xx1(x+x)22x-x5243+4k2x-x121+2=+2n1212=n=nk=所以，直线m的斜率k=.xx2x-x2(3+4k2)-2422221x2y28(2013四川高考理科T20)已知椭圆C:+】=1,(ab0)的两个焦

20、点分别为F(-1,0),F(1,0)，且a2b212椭圆C经过点P(3,1).(1)求椭圆C的离心率;2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且2IAQ|211+IAM|2IAN|2【解析】由椭圆定义知,2a=|PF(1)求椭圆C的离心率;2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且2IAQ|211+IAM|2IAN|2【解析】由椭圆定义知,2a=|PF+|PF2|求点Q的轨迹方程所以a=2,又由已知,c=1,所以椭圆的离心率e=c_12a2=T-由知，椭圆C的方程为+y2=1,设点Q的坐标为(ii)当直线I与x轴不垂直时，

21、设直线I的方程为y=kx+2，因为M,N在直线I上，可设点M,N的坐标分别为(ii)x，kx+2)，(x，kx+2)则1122|AM”=(1+k2)x2,|AN|2=(1+k2)2,又|AQ”=(1+k2)x2,211211211(x+x)22xxX2由|AQ|2=|AM|2+|ANp得(1+k2)X2=(1+k2)X2+(1+k2)X2,即X2一2X2将尸也+2代入尹12121138k6中，得(2k2+1)x2+8kx+6=0.由A=(8k)24(2k2+1)x60,得k2.由可知,X1+x2=2k2+y,%/2页2+1，代入并化简得x2=18简得x2=1810k2-3因为点Q在直线y=kx

22、+2上，所以k=,代入并化简，得10(y2)23x2=18.由及可知即xe(一可知即xe(一，)U(0,)又(0,2满足10(y2)23X2=18,故xe(一，乎)由题.所以,3X2=18,其中xe(一申)，.所以,3X2=18,其中xe(一申)，yeg.Ax2y2+=1144128x2y2B36+20=1C.x2y2+-3236x2y2D36+32=1991意,Q(x,y)在椭圆C内，所以一1y1，又由10(y2)2=3x2+18有(y-2”5,4)且1y0)与椭圆g+=1有公共点，则实数a的取值范围是.若椭圆的两个焦点，短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为已知椭圆C的焦点在x

23、轴上，椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为.已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为(0,2)求m的值.y2x2-J3椭圆二+厂=1(ab0)的两焦点为F(0,-c),F(0,c)(c0)，离心率e，焦点到椭圆上点的最短a2b2122距离为2-，求椭圆的方程.兀已知长轴为12,短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F作倾斜解为一的直线交椭圆于A，B13两点，求弦AB的长.x2y214.设片、F2为椭圆歹+亍二1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、片、F2是一个直角三角形的3个顶点,IPFI且|pf|pf2|,求而t的值.PF215.已知椭圆方程+

24、二=1(ab0),长轴端点为A,A，焦点为F,F,P是椭圆上一点，ZFPF=.求:a2b2121212AFPF的面积(用a、b、a表示).12答案与解析】1答案：C由题意，a=5,c=3,b2=a2C2=259=16，椭圆的标准方程为|5+16n或詈+釜=1.答案：D由已知2a=12,e=3，得a=6,c=2,b=：Q2-C2=42，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上,x2y2所以椭圆的方程是二7+乙7=1。3632答案：D直线y=kx+1过定点（0,1），定点在椭圆的内部或椭圆上时直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆TOC o 1-5 h zx2y20212+=1总有公共点，：二+1,得mM1,m的取值范围是1WmV5。5m5m答案：C由椭圆定义可知小球经过路程为4a,所以最短路程为16,故选Cb2117答案：C*.*IPFI+1PF1=4,而丨PF1=,IPF1=4=12ia2222x2+y2=16答案：D设与直线x+2yJ2=0平行的直线方程为x+2y+m=0,由4,则b2=4,a2=m,127.答案:3或罟方程中4和m哪个大哪个就是a2,因此要讨论：（1）若0VmV4则a2=4,b2二m,.c=；4m,答案：2,3根据图象可得圆的半径要比椭圆长轴短，短轴长，因此半径a的取值范围为2,3T