初中数学浙教版八年级下册第2章一元二次方程-整合提升密码

1、解码专训一：巧用一元二次方程定义及相关概念求字母或代数式的值名师点金：巧用一元二次方程定义及相关概念求值主要体现在：利用定义或项的概念求字母的值，利用根的概念求字母或代数式的值，利用根的概念解决探究性问题等 利用一元二次方程的定义确定字母的值或取值范围1已知(m3)x2eq r(m2)x1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是()Am3 Bm3Cm2 Dm2且m32已知关于x的方程(m1)xm21(m2)x10.(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程(2)m取何值时，它是一元一次方程？ 利用一元二次方程的项的概念求字母的值3若一元二次方程(2a4)x2(3a6)xa80没有一次项

2、，则a的值为_4已知关于x的一元二次方程(m1)x25xm210的常数项为0，求m的值 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值5已知关于x的方程x2bxa0的一个根是a(a0)，则ab的值为()A1 B0 C1 D26已知关于x的一元二次方程(k4)x23xk23k40的一个根为0，求k的值7已知实数a是一元二次方程x22 015x10的根，求代数式a22 014aeq f(a21,2 015)的值 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题8已知m，n是方程x22x10的两个根，是否存在实数a使(7m214ma)(3n26n7)的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解码专训二

3、：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有开平方法、因式分解法、配方法和公式法等，在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果 形如(xm)2n(n0)的一元二次方程适合用开平方法求解1方程4x2250的解为()Axeq f(2,5) Bxeq f(5,2) Cxeq f(5,2) Dxeq f(2,5)2用开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为()Ax255 B3x20Cx240 D(x1)203用开平方法解下列方程：(1)9x2121；(2)(x3)220. 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解较方便4(中

4、考兰州)一元二次方程x28x10配方后可变形为()A(x4)217 B(x4)215C(x4)217 D(x4)2155解方程：x24x20.6已知x210 xy216y890，求eq f(x,y)的值 能化成形如(xa)(xb)0的一元二次方程适合用因式分解法求解7(中考宁夏)一元二次方程x(x2)2x的根是()A1B0C1和2D1和28解下列一元二次方程：(1)x22x0；(2)16x290；(3)4x24x1. 如果一个一元二次方程易化为一般式，则可用公式法来求它的解9用公式法解一元二次方程x2eq f(1,4)2x，方程的解应是()Axeq f(2r(5),2) Bxeq f(2r(5

5、),2)Cxeq f(1r(5),2) Dxeq f(1r(3),2)10解下列方程：(1)x26x5；(2)x24x10. 如果在方程中出现一些相同的代数式，把它们用某一个字母代替后能形成一个较简单的一元二次方程，这样的方程可用换元法来求解11若(ab)(ab2)80，则ab的值为()A4或2 B3或eq f(3,2)C2或4 D3或212解方程：(x2)23(x2)20.解码专训三：特殊一元二次方程的解法技巧名师点金：一元二次方程的解法是本章的重点，也是解决其他问题的根本，只有熟悉各种解法的特点，才能准确地找出所给方程的最佳解法除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用

6、特殊的解法 构造法1解方程：6x219x100. 换元法2解方程：(x1)(x2)(x3)(x4)48.3解方程：6x435x362x235x60. 配方法4若m，n，p满足mn8，mnp2160，求mnp的值 特殊解法5解方程：(x2 013)(x2 014)2 0152 016.解码专训四：巧用根的判别式名师点金：对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，式子b24ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1(中考潍坊)已知关于x的方程kx2(1k)x1

7、0，下列说法正确的是()A当k0时，方程无解B当k1时，方程有一个实数解C当k1时，方程有两个相等的实数解D当k0时，方程总有两个不相等的实数解2已知方程x22xm0没有实数根，其中m是常数，试判断方程x22mxm(m1)0有无实数根 利用根的判别式求字母的值或取值范围3(中考北京)已知关于x的一元二次方程x22x2k40有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值 利用根的判别式求代数式的值4已知关于x的一元二次方程mx2nx20(m0)有两个相等的实数根，求eq f(mn2,（m4）2n216)的值 利用根的判别式确定三角形的形状5已知a，b

8、，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(bc)x22(ab)xba0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状解码专训五：根与系数的关系的应用名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征在实数范围内运用一元二次方程根与系数的关系时，必须注意b24ac0这个前提，而应用判别式的前提是二次项系数a0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件b24ac0和a0. 利用根与系数的关系求代数式的值1设方程4x27x30的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：(1)(x13)(x23)；(2)eq f(x2,x11)eq f(x1,x21)；(3)x1

9、x2. 利用根与系数的关系构造一元二次方程2构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x22x30两根的负倒数 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3(中考梅州)已知关于x的方程x22xa20.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根 巧用根与系数的关系确定字母参数的存在性4已知x1，x2是一元二次方程4kx24kxk10的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)eq f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解码专训六：常见热点考题名师点金：本章主要考查一元二次方程的解法、根的判别式、根

10、与系数的关系、实际应用问题等，考查形式多以选择题、填空题、解答题形式出现，一元二次方程是中考的热点之一 解方程问题1用配方法解方程x22x10时，配方后所得的方程为()A(x1)20 B(x1)20C(x1)22 D(x1)222一元二次方程x22x30的解是()Ax11，x23 Bx11，x23Cx11，x23 Dx11，x233(中考山西)解方程：(2x1)2x(3x2)7. 根的判别式的问题4下列关于x的一元二次方程有实数根的是()Ax210 Bx2x10Cx2x10 Dx2x105已知关于x的一元二次方程(x1)2m0有两个实数根，则m的取值范围是()Ameq f(3,4) Bm0Cm

11、1 Dm2 根与系数的关系6已知方程x23eq r(2)x10，构造个一元二次方程使它的根分别是原方程两根的倒数，则这个一元二次方程是()Ax23eq r(2)x10 Bx23eq r(2)x10Cx23eq r(2)x10 Dx23eq r(2)x10 实际应用问题7(中考泉州)某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：leq f(1,2)t2eq f(3,2)t(t0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21

12、 cm.(1)甲运动4 s后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？(第7题)8如图，某海关缉私艇在C处发现正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度航行，这样可同时到达B处进行拦截缉私艇从C处到达B处航行了多少小时？(第8题) 新定义问题9(中考厦门)若x1，x2是关于x的方程x2bxc0的两个实数根，且|x1|x2|2|k|(k是整数)，则称方程x2bxc0为“偶系二次方程”如方程x26x270，x22x80，x23xeq

13、f(27,4)0，x26x270，x24x40都是“偶系二次方程”判断方程x2x120是否是“偶系二次方程”，并说明理由解码专训七：常见题型荟萃名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的情况，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单明了 一元二次方程的概念1方程mx23xx220是关于x的一元二次方程的条件是()Am1 Bm1Cm0 Dm为任意实数 一元二次方程的解法2选择适当的方法解下列方程：(1)(x1)22x(x1)0；(2)x26x60；(3)6 000(1x

14、)24 860；(4)(10 x)(50 x)800. 一元二次方程根的情况3在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a5，若关于x的方程x2(b2)x(6b)0有两个相等的实数根，求ABC的周长 一元二次方程根与系数的关系4设x1，x2是关于x的一元二次方程x22mxm24m20的两个实数根，当m为何值时，x12x22有最小值？最小值是多少？ 一元二次方程的应用5当x取何值时，多项式x23x与多项式5x15的值相等？6在一块长16 m，宽12 m的长方形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案(第6题)(1)同学们都认为小华的方案是正确的

15、，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明答案解码专训一1D点拨：由题意，得eq blc(avs4alco1(m30，,m20，)解得m2且m3.2解：(1)当eq blc(avs4alco1(m212，,m10)时，它是一元二次方程解得m1.当m1时，原方程可化为2x2x10.(2)当eq blc(avs4alco1(m20，,m10)或当m1(m2)0且m211时，它是一元一次方程解得m1或m0.故当m1或m0时，它是一元一次方程32点拨：由题

16、意得eq blc(avs4alco1(3a60，,2a40.)解得a2.4解：由题意，得eq blc(avs4alco1(m210，,m10.)解得m1.5A点拨：关于x的方程x2bxa0的一个根是a(a0)，a2aba0.a(ab1)0.a0，ab10.ab1.6解：把x0代入(k4)x23xk23k40，得k23k40.解得k11，k24.k40，k4，k1.7解：实数a是一元二次方程x22 015x10的根，a22 015a10.a212 015a，a22 015a1.a22 014aeq f(a21,2 015)a22 014aeq f(2 015a,2 015)a22 014aaa2

17、2 015a1.8解：由题意可知，m22m10，n22n10，(7m214ma)(3n26n7)7(m22m)a3(n22n)7(7a)(37)4(7a)，由4(7a)8得a9，故存在满足条件的实数a，且a的值等于9.解码专训二1C3解：(1)9x2121.(2)(x3)220. 3x11. (x3)22.x1eq f(11,3)，x2eq f(11,3). x13eq r(2)，x23eq r(2).4C5解：x24x20.x24x2.(x2)26.x2eq r(6).x12eq r(6)，x22eq r(6).6解：x210 xy216y890.(x210 x25)(y216y64)0.(

18、x5)2(y8)20.x5，y8.eq f(x,y)eq f(5,8).7D8解：(1)x22x0，x(x2)0，x10，x22.(2)16x290，(4x3)(4x3)0，x1eq f(3,4)，x2eq f(3,4).(3)4x24x1，4x24x10，(2x1)20，x1x2eq f(1,2).9B10解：(1)x26x50，a1，b6，c5，b24ac(6)241516，xeq f(6r(16),21).x15，x21.(2)x24x10，a1，b4，c1，b24ac(4)241112.xeq f(4r(12),2)eq f(42r(3),2)2eq r(3).x12eq r(3)，x

19、22eq r(3).11A12解：(x2)23(x2)20.设x2y，原方程化为y23y20，解得y11，y22.当y1时，x21，x3，当y2时，x22，x4.原方程的解为x13，x24.解码专训三1解：将原方程两边同乘以6，得(6x)219(6x)600.解得6x15或6x4.x1eq f(5,2)，x2eq f(2,3).2解：原方程即(x1)(x4)(x2)(x3)48，即(x25x4)(x25x6)48.设yx25x5，则原方程变为(y1)(y1)48.解得y17，y27.当x25x57时，解得x1eq f(5r(33),2)，x2eq f(5r(33),2)；当x25x57时，b2

20、4ac(5)24112230，方程无实数根原方程的根为x1eq f(5r(33),2)，x2eq f(5r(33),2).3解：经验证，x0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x235x62eq f(35,x)eq f(6,x2)0，即6eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,x2)35eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)620.设yxeq f(1,x)，则x2eq f(1,x2)y22，原方程可变为6(y22)35y620.解得y1eq f(5,2)，y2eq f(10,3).当xeq f(1,x)eq f(5,2)时，解得x12，x2eq f(1,2)

21、；当xeq f(1,x)eq f(10,3)时，解得x33，x4eq f(1,3).经检验，均符合题意原方程的解为x12，x2eq f(1,2)，x33，x4eq f(1,3).4解：因为mn8，所以mn8.将mn8代入mnp2160中，得n(n8)p2160，所以n28n16p20，即(n4)2p20.又因为(n4)20，p20，所以eq blc(avs4alco1(n40，,p0，)解得eq blc(avs4alco1(n4，,p0.)所以mn84，所以mnp4(4)00.5解：方程组eq blc(avs4alco1(x2 0132 016，,x2 0142 015)的解一定是原方程的解，

22、解得x4 029.方程组eq blc(avs4alco1(x2 0132 015，,x2 0142 016)的解也一定是原方程的解，解得x2.原方程最多有两个实数解，原方程的解为x14 029，x22.点拨：解本题也可采用换元法设x2 014t，则x2 013t1，原方程可化为t(t1)2 0152 016，先求出t，进而求出x.解码专训四1C点拨：当k0时，方程为一元一次方程，解为x1；当k0时，因为b24ac(1k)24k(1)k22k1(k1)20，所以当k1时，b24ac4，方程有两个不相等的实数解；当k1时，b24ac0，方程有两个相等的实数解；当k0时，b24ac0，方程总有两个实

23、数解故选C.2解：x22xm0没有实数根，(2)24(m)44m0，即m4，方程x22mxm(m1)0有两个不相等的实数根3解：(1)根据题意得b24ac44(2k4)208k0，解得k0，解得a3.a的取值范围是a3.(2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得eq blc(avs4alco1(1x12，,1x1a2，)解得eq blc(avs4alco1(a1，,x13.)4解：不存在理由如下：一元二次方程4kx24kxk10有两个实数根，k0，且b24ac(4k)244k(k1)16k0，k0.x1，x2是方程4kx24kxk10的两个实数根，x1x21，x1x2eq f(k1,4k)

24、.(2x1x2)(x12x2)2(x1x2)29x1x2eq f(k9,4k).(2x1x2)(x12x2)eq f(3,2)，eq f(k9,4k)eq f(3,2)，keq f(9,5).又k0，不存在实数k，使(2x1x2)(x12x2)eq f(3,2)成立解码专训六1D3解：(2x1)2x(3x2)7.4x24x13x22x7.x26x80.x12，x24.4D6C点拨：设方程x23eq r(2)x10的两根分别为x1，x2，新方程为x2bxc0，新方程两根分别为x1，x2，则x1x23eq r(2)，x1x21，b(x1x2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x1)

25、f(1,x2)eq f(x1x2,x1x2)3eq r(2)，cx1x2eq f(1,x1)eq f(1,x2)eq f(1,x1x2)1.7解：(1)当t4时，leq f(1,2)t2eq f(3,2)teq f(1,2)42eq f(3,2)414.答：甲运动4 s后的路程是14 cm.(2)设它们运动了m s，根据题意，得eq f(1,2)m2eq f(3,2)m4m21.解得：m13，m214(不合题意，舍去)答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.(3)设它们运动了n s后第二次相遇，根据题意，得eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n2f(3,2)n)

26、4n213.解得n17，n218(不合题意，舍去)答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s.8解：设缉私艇航行了x小时到达B处根据题意，得302(60 x)2(75x)2，解得x1eq f(2,3)，x2eq f(2,3)(不符合题意，舍去)答：缉私艇从C处到达B处航行了eq f(2,3)小时点拨：本题是根据速度、时间、路程之间的关系和勾股定理等有关知识列方程解答，把几何知识、代数知识有机结合来进行解答9解：不是，理由如下：解方程x2x120，得x14，x23.|x1|x2|432|.不是整数，方程x2x120不是“偶系二次方程”解码专训七1B2解：(1)(x1)22x(x1)0.(x1