初中数学浙教版八年级下册第6章反比例函数-整合提升密码

1、解码专训一：求反比例函数表达式的六种方法名师点金：确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k的值求比例系数k的值时，可以根据反比例函数的定义及其性质列方程、不等式求解，也可以根据图象中点的坐标求解，也可以直接根据数量关系列表达式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解其中待定系数法是常用方法 利用反比例函数的定义求表达式1若y(m3)xm210是反比例函数，试求m的值 利用反比例函数的性质求表达式2已知函数y(n3)xn22n9是反比例函数，且在每一个象限内，y随x的增大而减小，求其函数表达式 利用反比例函数的图象求表达式3如图，一次函数y1x1的图象与反比例函数y2e

2、q f(k,x)(k为常数，且k0)的图象都经过点A(m，2)求点A的坐标及反比例函数的表达式(第3题) 利用待定系数法求表达式4已知函数yy1y2，y1与x成反比例，y2与x2成正比例，且当x1时，y5；当x1时，y1.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)求当x2时，y的值 利用图形的面积求表达式5如图，点A是反比例函数yeq f(k,x)图象上的一点，过点A作x轴的垂线，垂足为B.若RtAOB的面积为3，求该反比例函数的表达式(第5题) 利用实际问题中的数量关系求表达式6某运输队要运300 t物资到江边防洪(1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间有怎样的函数关系？(2

3、)运了一半时，接防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？解码专训二：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用比例系数k的几何意义求解 反比例函数的比例系数k与面积的关系1如图，点P在反比例函数yeq f(3,x)(x0)的图象上，横坐标为3，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则矩形OMPN的面积为()A1 B2 C3 D4(第1题)(第2题)2如图，P是反比例函数

4、yeq f(k,x)的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为()Ayeq f(6,x) Byeq f(6,x) Cyeq f(3,x) Dyeq f(3,x)3如图，A，C是函数yeq f(1,x)的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记RtAOB的面积为S1，RtCOD的面积为S2，则()AS1S2 BS1S2 CS1S2 DS1和S2的大小关系不能确定(第3题)(第4题)4(中考黔东南州)如图，正比例函数yx与反比例函数yeq f(1,x)的图象相交于A，B两点，BCx轴于点C，则ABC的

5、面积为()A1 B2 C3 D45(中考孝感)如图，函数yx与函数yeq f(4,x)的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为()A2 B4 C6 D8(第5题)(第6题)6如图，P(x，y)是反比例函数yeq f(3,x)的图象在第一象限分支上的一个动点，PAx轴于点P，PBy轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积()A不变 B增大C减小 D无法确定 已知面积求反比例函数表达式7如图，矩形ABOD的顶点A是函数yeq f(k,x)与函数yx(k1)的图象在第二象限的交点，ABx轴于B，ADy轴于D，且矩形ABOD的面积为3.

6、(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；(3)若点P是y轴上一动点，且SAPC5，求点P的坐标(第7题) 已知反比例函数表达式求图形的面积8如图，反比例函数yeq f(8,x)与一次函数yx2的图象相交于A，B两点(1)求A，B两点的坐标；(2)求AOB的面积(第8题) 利用点的坐标及面积公式求面积9如图，直线yk1xb与反比例函数yeq f(k2,x)(x0)的图象相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(2，4)，点B的横坐标为4.(1)试确定反比例函数的表达式；(2)求AOC的面积(第9题) 利用对称性解决反比例函数图象中的面积问题10如图，是由四条曲线围

7、成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线表达式分别为yeq f(6,x)，yeq f(6,x)，现用四根钢条固定这四条曲线这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每平方米25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？(第10题)解码专训三：巧用一元二次方程根的判别式解有关反比例函数图象的公共点问题名师点金：解反比例函数与一次函数的图象的公共点问题，可转化为一元二次方程根的情况 ，用判别式来辅助计算若有两个公共点，则判别式大于0；若有一个公共点，则判别式等于0；若没有公共点，则判别式小于0. 无公共点(b24ac0)(第1题)1(中考淄博)关于x的反比例函数yeq f(a4,x)的图象如图，

8、A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称在PAB中，PBy轴，ABx轴，PB与AB相交于点B.若PAB的面积大于12，则关于x的方程(a1)x2xeq f(1,4)0的根的情况是_2若反比例函数yeq f(k,x)的图象经过点P(a，b)，且a，b为一元二次方程x2kx40的两根，那么点P的坐标是_，到原点的距离为_3若反比例函数yeq f(k,x)与一次函数yx2的图象没有公共点，则k的取值范围是_ 有唯一公共点(b24ac0)4如图，将直线yx沿x轴负方向平移4个单位长度后，恰好与双曲线yeq f(m,x)(x0)有唯一公共点A，并交双曲线yeq f(n,x)(x0)于B点，若y轴平分A

9、OB的面积，求n的值(第4题) 有两个公共点(b24ac0)5如图，已知一次函数yx8和反比例函数yeq f(k,x)(k0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A，B.(1)求实数k的取值范围；(2)若AOB的面积为24，求k的值(第5题) 有公共点(b24ac0)6如图，过点C(1，2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线yx6于点A，B，若反比例函数yeq f(k,x)(x0)的图象与ABC有公共点，求k的取值范围(第6题)解码专训四：反比例函数与几何图形的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图象用含未知数的代数式表示出几何图形与图象

10、的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数表达式中待定字母的值 反比例函数与三角形的综合1(中考宁波)如图，点A，B分别在x轴，y轴上，点D在第一象限内，DCx轴于点C，AOCD2，ABDAeq r(5)，反比例函数yeq f(k,x)(k0)的图象过CD的中点E.(1)求证：AOBDCA；(2)求k的值；(3)BFG和DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由(第1题) 反比例函数与四边形的综合类型1.反比例函数与平行四边形的综合2如图，过反比例函数yeq f

11、(6,x)(x0)的图象上一点A作x轴的平行线，交双曲线yeq f(3,x)(x0)于点B，过B作BCOA交双曲线yeq f(3,x)(x0)于点D，交x轴于点C，连结AD交y轴于点E，若OC3，求OE的长(第2题)类型2.反比例函数与矩形的综合3如图，直线yeq f(1,2)x2交x轴于B点，交y轴于A点，四边形ABCD为矩形，点D在x轴上，双曲线yeq f(k,x)(k0)经过点C，求k的值(第3题)类型3.反比例函数与正方形的综合4如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，反比例函数yeq f(k,x)(x0，k0)

12、的图象经过线段BC的中点D.(1)求k的值；(2)若点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D重合)，过点P作PRy轴于点R，作PQBC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的表达式，并写出x的取值范围(第4题)解码专训五：反比例函数与一次函数的综合应用名师点金：一次函数与反比例函数是两种重要的函数，也是中考的热点，主要涉及两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数图象的交点情况、交点坐标等问题及用待定系数法求函数表达式并建立合适的函数模型解决实际问题等 反比例函数图象与一次函数图象的位置判断1如图，如果函数yk(x10)和函数yeq f(k,x)(其中k是不等于0的常

13、数)的图象在同一平面直角坐标系中，则其图象可能为()(第1题)A B C D2若ab0，则函数ybx与yeq f(a,x)在同一平面直角坐标系中的图象大致是() 反比例函数与一次函数的综合应用类型1.涉及两交点间距离问题3如图，将直线yx沿x轴正方向平移5个单位长度后与yeq f(k,x)(k0)的图象交于A，B两点，且AB3eq r(2)，求k的值(第3题)4已知反比例函数yeq f(k,x)(k0)和一次函数ymxn(m0)的图象的一个交点A的坐标为(3，4)，且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，求这两个函数的表达式类型2.涉及交点个数问题5一次函数ymx5的图象与反比例函数ye

14、q f(k,x)(k0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A作y轴的垂线，垂足为M，连结OA.(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求OAM的面积S；(3)在y轴上求一点P，使PAPB最小(第5题)解码专训六：思想方法荟 方程思想名师点金：方程思想，就是从问题情境的数量关系入手，运用数学语言将题目中的条件转化为方程(或方程组)，然后通过解方程或方程组使问题获解反比例函数中的方程思想主要体现在运用方程组求函数图象的交点坐标及待定系数法的运用1如图，在平面直角坐标系中，一次函数yxeq f(1,2)m的图象与反比例函数yeq f(m,x)的图象在第一象限内交于点A，与x

15、轴交于点C，ABx轴，垂足为B，且SAOB1.(1)求m的值；(2)求ABC的面积(第1题) 分类讨论思想名师点金：当所研究的问题的情况不唯一时，往往需要按照数学对象的相同点和不同点分类讨论，注意要按一定的标准分类正确的分类必须是周全的，做到不重不漏2已知反比例函数yeq f(k,2x)和一次函数y2x1的图象如图，其中一次函数的图象经过点(a，b)，(a1，bk)(1)求k的值(2)已知点A在第一象限，且同时在上述函数的图象上，求点A的坐标(3)利用第(2)题的结果，问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P都求出来；若不存在，请说明理由(第2题) 数形结合思想

16、名师点金：函数图象和函数表达式是相关联的看式想图象，看图象想式，会为解题带来事半功倍的效果需要注意的是，在由形求数时，要根据“形”的位置准确确定“数”的符号3(中考鞍山)如图，已知一次函数ykxb(k0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数yeq f(m,x)(m0)的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D.若OAOBOD1.(1)求点A，B，D的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的表达式(第3题) 建模思想名师点金：建模思想是解决各种实际问题的一种方法，它从量和形的方面去考查实际问题，要注意其中所隐含的自变量取值范围为正数这一条件本章函数建模就是通过探索实际应用问题

17、中的数量关系和变化规律，从中抽象出函数模型，并运用函数的知识解决实际问题的过程4某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示(1)写出这个函数表达式；(2)当气球的体积为 m3时，气球内的气压是多少？(3)当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应不小于多少？(第4题)答案解码专训一1解：由反比例函数的定义可知eq blc(avs4alco1(m2101，,m30，)m3.易错点拨：该题容易忽略m30这一条件，出现m3的错误结论2解：由题意，得eq blc(avs4alco1(n22n91，

18、,n30.)解得n2.函数表达式是yeq f(5,x).3解：一次函数y1x1的图象经过点A(m，2)，2m1，m1，A(1，2)反比例函数y2eq f(k,x)的图象经过点A(1，2)，2eq f(k,1)，k2，即反比例函数的表达式为y2eq f(2,x).4解：(1)由y1与x成反比例，可设y1eq f(k1,x)(k10)，由y2与x2成正比例，可设y2k2x2(k20)又yy1y2，yeq f(k1,x)k2x2.当x1时，y5，当x1时，y1，eq blc(avs4alco1(5k1k2，,1k1k2.)解得eq blc(avs4alco1(k13，,k22.)y与x之间的函数表达

19、式为yeq f(3,x)2x2.(2)当x2时，yeq f(3,2)8eq f(13,2).点拨：遇到这种组合型函数的问题时可以分而解之要特别注意在设待定系数时，不能设成同一个字母k，而要分别设为k1，k2.一般来说它们是不相等的5解：设A(a，b)点A在反比例函数yeq f(k,x)的图象上，abk.又SAOB3，SAOBeq f(1,2)|AB|OB|eq f(1,2)|ab|eq f(1,2)|k|3，解得k6.又该函数的图象在第二、四象限，根据反比例函数的性质可得k6.该反比例函数的表达式为yeq f(6,x).点拨：若点P(a，b)是反比例函数yeq f(k,x)(k0)的图象上的任

20、意一点，过点P作PMx轴于点M，作PNy轴于点N，则S矩形OMPN|k|.6解：(1)由已知，得vt300.t与v之间的函数表达式为teq f(300,v)(v0)(2)运了一半物资后还剩300eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)150(t)，故t与v之间的函数表达式变为teq f(150,v)(v0)将t2代入teq f(150,v)，得2eq f(150,v).解得v75.因此剩下的物资要在2 h之内运到江边，运输速度至少为75 t/h.点拨：运用实际问题中的数量关系求反比例函数的表达式，必须是abc型的数量关系如：路程一定时，速度与时间的关系；总利润一定时，每件商品的

21、利润与商品数量的关系等解码专训二1C5D点拨：由题意，得SODBSOACeq f(1,2)|4|2.因为OCOD，ACBD，所以SAOCSODASODBSOBC2，所以四边形ACBD的面积为SAOCSODASODBSOBC248.6A7解：(1)由图象知k0，由结论及已知条件得|k|3，k3.反比例函数的表达式为yeq f(3,x)，一次函数的表达式为yx2.(2)由eq blc(avs4alco1(yf(3,x)，,yx2，)解得eq blc(avs4alco1(x11，,y13，)eq blc(avs4alco1(x23，,y21.)点A，C的坐标分别为(1，3)，(3，1)(3)设点P的

22、坐标为(0，m)，直线yx2与y轴的交点坐标为M(0，2)SAPCSAMPSCMPeq f(1,2)|PM|(|x1|x2|)5，|PM|eq f(5,2)，即|m2|eq f(5,2)，meq f(9,2)或meq f(1,2).点P的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(9,2)或eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2).点拨：依据图象及结论求k的值是解本题的关键，只有求出k的值，才能通过解方程组求A，C两点的坐标，然后才能解决第(3)问8解：(1)由eq blc(avs4alco1(yf(8,x)，,yx2，)得eq blc(avs4alco1(x14

23、，,y12，)eq blc(avs4alco1(x22，,y24，)所以A，B两点的坐标分别为A(2，4)，B(4，2)(2)设函数yx2的图象与y轴交于点D，则点D的坐标是(0，2)，所以SAODeq f(1,2)222，SBODeq f(1,2)244.所以SAOB246.9解：(1)点A(2，4)在反比例函数图象上，k28.反比例函数表达式为yeq f(8,x).(2)易得B(4，2)点A(2，4)，点B(4，2)在直线yk1xb上，eq blc(avs4alco1(42k1b，,24k1b，)解得eq blc(avs4alco1(k11，,b6.)直线AB的表达式为yx6，与x轴的交点

24、坐标为(6，0)SAOCeq f(1,2)6412.10解：由反比例函数的对称性可知，坐标系将矩形ABCD分成四个全等的小矩形因为点A为yeq f(6,x)的图象上的任意一点，所以S矩形AEOH6(平方米)所以S矩形ABCD4624(平方米)所以总费用为2524600(元)答：所需钢条一共花600元钱解码专训三1没有实数根2(2，2)；2eq r(2)3k1点拨：反比例函数yeq f(k,x)与一次函数yx2的图象没有公共点，eq blc(avs4alco1(yf(k,x)，,yx2)无解，即eq f(k,x)x2无解整理得x22xk0，b24ac44k0.解得k1.4解：直线yx沿x轴负方向

25、平移4个单位长度后可得直线yx4，由题意可得eq blc(avs4alco1(yx4，,yf(m,x)，)整理得：x24xm0.b24ac0，424(m)0，即m4.反比例函数yeq f(m,x)的表达式是yeq f(4,x).将m4代入x24xm0，解得x1x22，A点坐标为(2，2)直线yx沿x轴负方向平移4个单位长度后与函数yeq f(n,x)的图象交于B点且y轴平分AOB的面积，B点坐标为(2，6)6eq f(n,2).n12.5解：(1)一次函数与反比例函数的图象有两个公共点，eq blc(avs4alco1(yx8，,yf(k,x)，)整理得x28xk0.b24ac0，824k0，

26、解得k16.一次函数与反比例函数图象的公共点在第一象限，k0，0k16.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，令一次函数yx8中x0，解得y8，故OC8.SCOBeq f(1,2)OCx2，SCOAeq f(1,2)OCx1.SAOBSCOBSCOAeq f(1,2)OC(x2x1)24.244(x2x1)(x2x1)236.(x1x2)24x1x236.由(1)中x28xk0得，x1x28，x1x2k，644k36.k7.6解：当点C(1，2)在反比例函数yeq f(k,x)的图象上时，k2.由eq f(k,x)x6，得x26xk0，当(6)24k0，即k9时，直线与双曲线有且只有一个

27、公共点(3，3)，点(3，3)在线段AB上 .因此反比例函数yeq f(k,x)(x0)的图象与ABC有公共点时，k的取值范围是2k9.解码专训四1(1)证明：点A，B分别在x轴，y轴上，点D在第一象限内，DCx轴于点C，AOBDCA90.在RtAOB和RtDCA中，eq blc(avs4alco1(AODC，,ABDA，)RtAOBRtDCA.(2)解：在RtACD中，CD2，DAeq r(5)，ACeq r(DA2CD2)1.OCOAAC213.D点坐标为(3，2)点E为CD的中点，点E的坐标为(3，1)k313.(3)解：点G在反比例函数的图象上理由如下：BFG和DCA关于某点成中心对称

28、，BFGDCA.FGCA1，BFDC2，BFGDCA90.OBAC1，OFOBBF123.G点坐标为(1，3)133，点G(1，3)在函数yeq f(3,x)的图象上2解：设Aeq blc(rc)(avs4alco1(a，f(6,a)，则Beq blc(rc)(avs4alco1(a3，f(6,a)，(a3)eq f(6,a)3.a2.A(2，3)，B(1，3)C(3，0)，直线BC的表达式为yeq f(3,2)xeq f(9,2).Deq blc(rc)(avs4alco1(2，f(3,2).直线AD的表达式为yeq f(3,8)xeq f(9,4).OEeq f(9,4).3解：如图，过点

29、C作CEx轴于E点，则AOBCED，CEOA2.(第3题)设D(m，0)，OB4，由AD2AB2BD2，得4m2416(4m)2，解得m1.OE3.C点坐标是(3，2)k6.4解：(1)正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2，2)，C(0，2)D是BC的中点，D(1，2)反比例函数yeq f(k,x)(x0，k0)的图象经过点D，k2.(2)当P在直线BC的上方，即0 x1时，点P(x，y)在该反比例函数的图象上运动，yeq f(2,x).S四边形CQPRCQPQxeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x)2)22x；当P在直线BC的下方，即x1时，同理求

30、出S四边形CQPRCQPQxeq blc(rc)(avs4alco1(2f(2,x)2x2，综上，Seq blc(avs4alco1(2x2（x1），,22x（0 x1）.)解码专训五1C3解：易知直线AB的表达式为yx5，作ACy轴，BCx轴，AC，BC交于点C，则BC3，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2x13，(x1x2)24x1x29，由eq blc(avs4alco1(yx5，,yf(k,x)整理得，x25xk0，x1x25，x1x2k，254k9，k4.4解：函数yeq f(k,x)的图象经过点A(3，4)，4eq f(k,3)，k12.反比例函数的表达式为yeq f(12

31、,x).又由题意知，一次函数ymxn的图象与x轴的交点为(5，0)或(5，0)当直线ymxn经过点(3，4)和(5，0)时，有eq blc(avs4alco1(43mn，,05mn，)解得eq blc(avs4alco1(mf(1,2)，,nf(5,2).)yeq f(1,2)xeq f(5,2).当直线ymxn经过点(3，4)和(5，0)时，有eq blc(avs4alco1(43mn，,05mn，)解得eq blc(avs4alco1(m2，,n10.)y2x10.一次函数的表达式为yeq f(1,2)xeq f(5,2)或y2x10.技巧点拨：此题是一次函数和反比例函数相结合的小型综合题

32、，要特别注意距离与坐标的关系，考虑问题要全面5解：(1)将B(4，1)的坐标代入yeq f(k,x)，得1eq f(k,4)，k4，yeq f(4,x)，将B(4，1)的坐标代入ymx5，得14m5，m1，yx5.(2)在yeq f(4,x)中，令x1，解得y4，A(1，4)，Seq f(1,2)142.(3)作点A关于y轴的对称点N，则N(1，4)，连结BN交y轴于点P，点P即为所求设直线BN的表达式为ykxb，由eq blc(avs4alco1(4kb1，,kb4，)解得eq blc(avs4alco1(kf(3,5)，,bf(17,5)，)yeq f(3,5)xeq f(17,5)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，f(17,5).解码专训六1解：(1)由题意知eq f(|m|,2)1，即|m|2.点A在第一象限，m2.(2