函数的极限典型例题

1、第二讲函数的极限一内容提要1.函数在一点处的定义使得Vx:0 x-x06,使得使得Vx:0 x-x06,使得Vx:0 x-x6,0使得Vx:0 x-x0,360,X-x+0左极限limf(x)=AoVe0,360,Xfx-注1同数列极限一样，函数极限中的e同样具有双重性.注26的存在性(以x-x0为例)：在数列的“一N，定义中，我们曾经提到过，N的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的N无关紧要；对6也是如此，只要对给定的e0，能找到某一个6，能使0|x-x06时，有f(x)-A0,V60,3x:0 x一x0,3Xa,xf8limf(x)=AoVe0,3Xa,xf+8limf(

2、x)=AoVe0,3Xa,xf-8使得Vx:xX，有f(x)-AX，有f(x)-A|e.使得Vx:x-X，有|f(x)-A，有limf(x)=A.nnnnx8n83函数的有界设f(x)在凡+8)上有定义，若存在一常数0，使得Vxe凡+8),有f(x)0,380,使得Vx:0 x一xG.xx0limf(x)=8oVG0,3X0,使得Vx:xX，有f(x)G.x8limf(x)=8等xx一有f(x)C0,类似地，可定义limflimf(x)=8等xx一有f(x)C0,xx+xx一xx+注若limf(x)=8，且380和C0，使得Vx:0 x一x0，使得Vx:0 x一x8，有f(x)M.xx00li

3、mf(x)=A,limg(x)=B，且A0,使得Vx:0 x一x8,xx0 xx00f(x)。当。xx。3时，/(%)g(x)则xfX。xA%0要求：进行运算的项数为有限项；极限为有限数.7夹逼定理若衣0,使得7%:。,一100,使得Vx,x，当0 x-x5,0 x-x3时，有/(/)一/(不)xxxf/a(x)(1)当左=0时，称B(x)为a(x)的高阶无穷小量，记作B(x)=。(%)；(2)当忆=8时，称P(x)为a(x)的低阶无穷小量；(3)当左。且左woo时，称P(x)为a(x)的同阶无穷小量.特别的，当左=1时，称BOO和a(x)为等价的无穷小量，记作a(x)P(x).注1上述定义中

4、，自变量的变化过程Xf%也可用Xf+8,Xf8,Xf8,X-X+,X-X-之一代替.00注2当尤f0时，常见的等价无穷小有：了2sinxx,tanxx,l-cosx一，e%lx,ln(l+x)%,(1+x)m-1-mx注3在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换.因为：若Q。)B(X)(P),则limfx)=limfx等limf(X).PB(x)Pa(x)p(x)Pa(x)a(x)或limg(x)a(x)=limg(x)p(x)-=limg(x)p(x)(P为某逼近过程).PPp(x)P而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果注4在某一极限过程中，若a(x

5、)为无穷小量，则在此极限过程，有a(x)+o(a(x)a(x).10两个重要极限sinx1lim=1；(2)lim(1+x)x=e.x-0 xx-0二、典型例题例用定义证明下列极限：(1(1)limx-1x(x-1)1xlimx-8vx2+1证明乂1)令。|x-lIJ得。后0.欲使不等式成L只须3-1卜2方即可.干罡,耳0,取舌二nun|1,2彳t使得11-I|凡有，1)1!J11I|,|欲使不等式即日；噌;上=:.欲使不等式夕I+/?(J/十】2(J7十|忘f,(-L)J8?e成,只须工m-因为-3c于。3K.使得般有+I=(2)，2(e?*)。&6lim-*-M：评注1本例中.我们均对l/

6、U)-，4|做了适当的放大.使得-aim#)i1*-/i.为了能找到定义中的队要求估算I奴G这就需鳖在点工二淅的某邻域找出H的正的上、下确界，使得IMGI说M评注2函数极限概念及以数学语合表述是十分垂要的，基本的数学技能，在许多问感的证明中会涉及到这种表述.例limf(x)=A，证明:xfx0(1)若A0,则有lim=-1x-x0f2(x)A2(2)lim3,f(x)=衰A.xfx0证明；由于=上故对双%使得甘*：口|工-4心.有Li。ZL/U)TI吟-哈KGU.三尻，使得#：。q：*-而-.1I张总取8=min商，&”,使得Vn：O0.会口，使得匕：0c|十-%|.有LKR!/(x):(,即

7、|!Me,亦即lim3=0若“0出为limA)二乩由极限的保号性四,0.使得斤-Vi：O0jYa0.目飞口，电,0,使得?工:Cm|%-漏|父感，有1心)-1/1&X17(石)-AI工|iy(i)-海|VjT1(r)+/Af(x)+|*取3=minI用为/.使得甘城0N而匕一小|穿J.取W-1,3riA】，有民l-口I妾即jV=fl|h3n2耳.有I气？一日I与.+#+可+0X=&t、3%,有民曰I三于是如此无限进行下去得到1%I的一个子列,凡1乐.-Ng.由于0N+备x)是严济递增函数.则/(%J挖税+备/(n).X1何=山】或&)=/(&),于是对上式取的极限后，得Lf(a)三/(+吟/(

8、而这是不可能的.放iim#,=拓Hi1-*评注本例运用反证法，即用(数列概限的否定概念，在许多论:注题目忆极限的否定胫式的正面陈述非常重要、例函数f(X)在点1n的某邻域I内有定义，且对vxuI(xfx,x丰x)，且limf(x)=A.limf(x)=A.xfx00 x一xo,3：O|t口I8而1/3)-林泳知.取瓦=1a三/：0父jt-xb.5,=1,有14飞)-A凄与*取生二min|M-丽I.三*?：0I石-斯I”_|一/卜三三,：0/一而I弋印W屋“一厮,，有/(n)-/tI二M于是如此无限进行下去.得到数列F*它满足。1-端1区一蜘/且lim熊，但川鼻与，这与已知相矛麻故口砧#)=乩L

9、摘评注1若不考点VIj7I1-狗I”这一点，本题即是海涅归结原则的充分条件，结论自然成立，面条件00*三使得城0#d,有ar-HJ*X即_割fk-人即_割fk-人yjyx.同样地，对V#e(O，有一豹(h)一人yj0).J0 x丰011x=0，且limf(x)=A，贝UnT+8f(x)三A(xe(0,+8).证明；（方法1）假设1%E（。，+）卜有A而）#月.不妨设/（苑）4由于lim/（x），故对e0=#o）-A0,BXOt丫工X,有ift*|(M)-4.A一号i/(x)0.也三即eN,使得”1%凡有式与）=U=/（2%Q=一六23而）0,3X0,#X.有/（*）X,因而有/（2%。）0,Z

10、?0）；a0,b0)；解:（方法一）VxO,y-1臼芸各项乘以；0,得b口aci.工J*qI由电遍定理，得imi-J-H3口Lf1口（方法二）亍=!（：-由卜其中图表示士的小数部分.号了卢。J（,）1.于是由limf（G由limf（G的定义.只要在区间（0,“）内考虑所求极限即可.：*0+Vie（0，有口I,）J=0,于是itiuI1=0.oIa1i*LaJi（箝由于所求极限中有IMI及工,故必须号虑在”0处的左,右极限JCi/2+ei/2+exsin%评注】由函数在：点处的的侧极限定义.只需讨论在该点的空心单侧邻域内函数评注】的性质即可.在第二小题中，在累=口点的足够小单地空心都域内J亍为定

11、值,从而裾到所求极限.评注2在第一小题中,若U1,则有时d?=兀这是因为心十-10时，1t*臼W】，当“式0时/金“十卜1-心由夹通定理即得.评注3第二.小题Jin“1，不存在，因为r1h一。1时.小f*cc；勺a*0-时,1*4.本题用到极限的四则运算性质，无穷大量性质，无穷大脑与无穷小量关系等概念-例求下列极限11+tan%七1一tan%(1)lim-n.0e%一11-vcos%lim-n.0%(1COSv%)ln(sin2%+e%)一%lim.n.0ln(%2+e2%)-2%=lim号-=1皿竽=,S-H3K-.且iwrs双公时，通常利用恒等式/-n_胃/公二（/,耐心_.j出等侨无穷小

12、替换得个港班-或*评注2在第二小题中，注意到i闲此将分子加诚-分解后进行计范泡到此类问题，皆可从等价无穷小看F.对所求极限进行插项分解汁算.例求下列极限：(1(1)limn-1Xx-1xlnx一(a+x)x一ax(2)lim-nf0 x2评注遇到工尸G评注遇到工尸G这类极限，总可以用恒等式，为厂”二加无穷小替换，极限的四则运算等算得结果，例求下列极限：1lim(cosx)in(i+x2)；nf0lim(sin+cos)x；设ai0(i=12A,设ai0(i=12A,n)，n.A.、nax+ax+A+axx求lim12nn-01nJ评注本例所求极限凰F1”型的不定式，所求极限形式为lim(1其中

13、Otliuw(x)=凡如此形式广型的报限,其底必是明其扉可确定为：即括号内1后的变墙(包括符号)与基乖枳的极限.就是广型极限的甚例(1)已知lim(3.1-x3-ax一b)=0，求常数a,b；n-s)-二5，求lim)-二5，求lim(2)已知limsin2xn-0 x2n-03xn-0 x2解:（1）由iim（jTF-y-）=。直接得b=O.乂X18*OpF令Vr-7甘M小工&）=1而（一注）一Um迎二j=0.L.LB、7II即而X1二即而X1二i(2)由于叩附sinZxIlTTI：叩附sinZxIlTTI：23*-1/（X）sinZxrlim=hm1-hjxln3i-o评注I本例是解决极限中的反问题,即已知结果求函数极限中的参