基于多新息最小二乘算法的非线性系统辨识

1、基于多新息最小二乘算法的非线性系统辨识摘要：针对最小二乘算法辨识性能较差问题，将最小二乘算法中的单新息通过利用P组数据拓展到多新息向量，提出了多新息最小 二乘算法。与最小二乘相比，所提出的算法不仅利用了当前的系统信息，而且利用了过去的系统信息，进一步提高了参数辨识的精度 和收敛速度。在所提出的算法中，为了减少冗余的参数辨识和算法计算量，利用关键性分离技术构造整体辨识模型。设计了辅助模 型来替代系统中未知的中间变量，提高了参数估计的精度。对比仿真结果表明，所提出的算法具有比递归最小二乘算法更高的辨识 精度和收敛速度。关键词：最小二乘；多新息；辅助模型；关键性分离技术；多新息向量；参数辨识；算法计

2、算量；MATLABNonlinear System IdentificationBased on Multi-Innovation Least Squares AlgorithmAbstract: In view of the poor identification performance of the least square algorithm，the multi -innovation least squares algorithm is proposed by expanding the single innovation to multi-innovation. Compared w

3、ith least squares algorithm，the proposed algorithm can use not only the current system information but also the past system information，which improves the convergence rate and identification accuracy. In order to decrease the redundant parameter estimation and computational burden，the key separation

4、 technology is used to establish the identification model. An auxiliary model is designed to replace the unknown intermediate variables in the system，which improves the accuracy of parameter estimation. The comparative simulation shows that the proposed algorithm has higher identification accuracy a

5、nd convergence speed than the recursive least squares algorithm.Keywords: Least squares; Multi-innovation; Auxiliary model; identification； Algorithmic computation amount； MATLAB4引言最小二乘递推算法(recursive least square，RLS)是 为解决传统最小二乘算法计算量大且不能在线辨识而 产生的。其具有易于在线辨识，计算量小且简单易用 的优点，备受学者和工程师的关注1-21 &在线性系统和 非线性系统

6、的参数辨识中是应用较多的一种辨识算 法&文献3利用一阶线性滤波技术对系统输入输出 数据进行滤波，获得有效的辨识数据&通过采用递归 最小二乘算法，辨识伪线性ARMA系统的各个参数& 仿真结果表明了算法的有效性&文献4利用辅助模Key separation technology； Multi-innovation vector； Parameter型设计了变递推间隔分解最小二乘算法&对比仿真结 果证明了提出算法明显优于目前存在的一些算法&文 献5针对输出误差模型辨识过程中计算负担大的缺 点,利用分解技术将多变量系统分解为多个子系统辨 识模型，然后通过对三个子系统分别设计递推最小二 乘算法辨识各个子

7、系统的参数&文献6提出的算法 与常规的辨识模型不同，它利用装置瞬时能量状态而 不是电荷状态作为燃料表的状态,然后构建辨识模型， 利用递归最小二乘算法辨识超级电容器的电容和电阻 值&试验验证了提出算法的合理性和有用性&从上述文献可知，由于递推最小二乘法在每次参 数更新时仅仅利用当前的系统信息，导致辨识精度较 低和收敛速度慢，且递归最小二乘法应用于线性系统 的辨识居多,用于非线性系统的辨识文献有限。因为 递归最 小二乘法(auxiliary model based least squares algorithm，AM-RLS)是根据线性系统的线性回归形式 发展而来的,所以适用于处理线性系统。为此，

8、多新息 最小二乘法(multi-innovation least squares，MILS)通过 利用P组数据改善了递推最小二乘的辨识性能。将多 新息最小二乘算法尝试用于处理含输入非线性项的非 线性系统辨识。在该算法中，利用关键项分离技术获 得线性分离的辨识模型,减少了冗余的参数估计和计 算负担。利用建立辅助模型解决内部变量未知问题， 提高了辨识的精度。非线性系统结构如图1所示。图1中顶(-)为 多项式非线性子环节;：(-)为动态线性子系统;认t) 为系统外加的噪声项；产(-J), ;( )( 2) 1 1为了建立辨识模型，需要将非线性项代入线性子 系统。如果直接代入，将导致辨识模型对各个参数

9、是 复合的，增加多余的参数估计。为此，当非线性项代入 到线性项时，利用关键项分离技术7-10可以减少冗余 的参数估计数量，同时减少了算法的计算负担。为获 得唯一的辨识模型,一般设1=1。将式(1)代入式(2)，结合关键项分离技术，可得： TOC o 1-5 h z 8( t)=庆&(- 1) ,&(- 1) 2 , #,- 1) ? ,2&( - 2) ,3&( -3), #,*&( -*)-=18( - 1) _=28(- 2)-#_=*8( - *=) ,;()( 3)将式(3)化为紧凑的形式，表达式为：8( = ( ) # , ;( t)( 4)其中，系统信息向量(t)的表达式为：(t)

10、 = ( & t - 1 ,&( t - 1) 2 ,&( t - 1) ? ,&( t - 2) ,&( t - 3) ,&( t - ) , - 8( t - 1),-8( t - 2)，8( t - *=) H( 5)被估计参数向量!为：! = 1A 1，A，/1/?23，!,* ,=1，=2，!,=*,H ( 6)1辨识算法根据辨识模型(4)，构造目标函数( !)=侦t)-妒(t) 0W2 ,通过利用目标函数/对参数向量! 求偏导，获得RLS&!(t) = !(t -B) , C( t) (t) e( t)( 7)e( t) =8( t)-妒(t) !( t - 1)( 8)pT (t

11、) =pT (t - 1) , (t)妒(t) C( 0) =P/ ( 9) 在RLE算法中,e( t)为单新息。参数更新时仅仅 利用了当前系统信息，这使得参数辨识性能不够理想& 为了提高RLS的辨识性能，利用p组数据构造多新息 向量。为此,定义：(p,t) = (t) ,( t - 1) ,(t -p , 1) T ( 10) 8(P、t) = 8( t)，8( t- 1)，!，8( t -P , 1) T ( 11)则多新息向量E(p,t)可以表示为: TOC o 1-5 h z E( P，) = 8(P，)-妒(p,t) #( p,t) #( t - 1)( 12)当p$2时，MILS算

12、法表述为：#( t) = #( t - B) , P( t) (p,t) E(p,t)( 13)E(P，t) = 8( P，t) - T( P，t) #( t - 1)( 14)PT ( t) = PT ( t - 1 ) , ( p,t)(p,t)( 15)为了避免求矩阵的协方差矩阵，结合矩阵求逆原 理和式(13)-式(15)，可以获得下式的多新息最小二 乘法算法：#(t) = #(t -1) +：(0 Mp, -T(p,t)#t-1 ,:t) =P(t -1)(p,t)/-T(p,t)P(t -1)(p,0 (16) .P(t) =P( t -1) +以 t)T(p,t)P(t -1)由于

13、信息矩阵中含有未知的变量&( t)，会使得辨识 算法无法实施。为此，利用辅助模型辨识思想11，构造 如下的辅助模型。利用辅助模型的输出替代未知的变 量，使辨识算法可顺利实施。辅助模型的表达式为：&见()=)( 17) 1为便于后续仿真对比，将提出的算法称为基于辅助 模型的多新息最小二乘辨识算法(auxiliary model based multi innovation least squares algorithm，AM-MILS) %当新息长度p = 1时，MILS简化为最小二乘的形 式，即：#() = #(t -T) +：(i) M1，)-(,)#(t - I)C(t 1侦)也(1，)

14、C( t -1)戒 1,，)( 18)P(t) =P(t -1) +以t)(1,t)C(t-1),C(0) =poi2仿真结果为了验证提出算法的优势，将基于辅助模型的 AM-RLS12作为对比仿真2仿真结果考虑系统为：&( t) = 0. 5 ( t) + 0. 22 ( t) + 0. 13 ( t)8( t) = ( t - 1) + 0. 21 = 1，2 =0. 2，=1 = 0. 6，=2 = 0. 45 & 本文的目标 是利用可测的输入输出数据，设计辨识算法，以辨识这 些真实的参数值，并验证辨识算的有效性。AM-MILS 的初始参数为： = 104，# ( 0 )= 0. 001，

15、0. 001，0. 001，0. 001，0. 001，0. 001 T，G = 2 000,p =4,噪声为白噪声，输入幅值为1的随机序 列。对比算法AM-RLS的初始值参数和AM-MILS 一 样。不同算法多项式参数估计曲线、不同算法线性子 系统系数参数估计曲线如图2、图3所示图2图2不同算法多项式参数估计曲线Fig. 2 Polynomial parameter estimation curvesof different algorithms知右坦赧机膏折从图2、图3可以看出，在参数估计的初始阶段, 两种辨识算法的估计曲线都快速向真实值靠拢，在参 数估计的后期阶段，随着数据的增加，被估计

16、的参数能 够收敛于真实值或其附近值。这说明两种辨识算法对 这类非线性系统是有效的。但是从图2、图3中也可 以看出，AM-RLS参数估计结果有明显的震荡，且收敛 速度明显低于AM-MILS算法，这主要得益于AM- MILS通过利用p组系统信息，不仅利用了当前的数据 而且利用过去的信息，提高了辨识的性能。0.70.60.50.40.30.20.10.0知右坦ag螺隅卬起都图3 不同算法线性子系统参数估计曲线Fig- 3 Linear subsystem paramete restimation curvesof different algorithms5 0 52 0402 0802 1202 1

17、602 200数据长度(b)输出误差0.70.60.50.40.30.20.10.0知右坦ag螺隅卬起都图3 不同算法线性子系统参数估计曲线Fig- 3 Linear subsystem paramete restimation curvesof different algorithms5 0 52 0402 0802 1202 1602 200数据长度(b)输出误差Fig-4图4 AM-RLSFig-4图4 AM-RLS模型验证结果Verification results of AM-RLS model图5 AM-MILS模型验证结果Fig- 5 Verification results o

18、f AM-MILS model从图4和图5可知，基于两种辨识的算法建立的 估计模型都能有效地跟踪实际模型的输出。这说明辨识结果是正确的、有效的。基于AM-MILS算法的模 型相对于AM-RLS算法而言能够以较小的输出误差 跟踪实际模型的输出，这说明AM-MILS的辨识性能 高于AM-RLS算法，这和参数估计结果图2、图3是 一致的。参数估计误差曲线11-131如图6所示。图6显示两 种辨识算法的参数估计结果都是随着数据的增加而 逐渐减少的，最后趋向于一个较小的平稳值。但是 图6也反映了 AM-MILS算法比AM-RLS算法有更高 的估计精度和收敛速度，侧面证明了 AM-MILS的 优势。加入多新息后，设计的辨识算法的辨识性能变得更加 优异。图6参数估计误差曲线Fig. 6 Parameter estimation err