借助MATLAB软件提升学生学习数学的积极性

1、借助MATLAB软件提升学生学习数学的积极性摘 要 本文详细介绍了 MATLAB软件的4个GUI工具箱：符号函数图像与计算（funtool）、函数泰勒展开（tay- lortool）、定积分的微元逼近（rsums）、平面线性变换及特征值（eigshow） 8这些工具在数学的实践教学中有许多 用处8关键词 MATLAB软件；图形用户界面;大学数学;实践教学Improvement the enthusiasm of students to learn mathematicswith the MATLAB softwareAbstract This paper introduces four GUI

2、 toolkits of MATLAB software in detail： symbo l function image and calculation (funtool) , functions Taylor expansion (taylortool) , infinitesimal approximation of a definite integral(rsums) ,and plane Cinear transformation and eigenvalue (eigshow). These tools are usefu 1 for learnng mathematcs8Key

3、words MATLAB, graphical user interface, college mathematics, practical teaching在在MATLAB命令窗口中直接输入如下命令:1引言大学数学高度抽象，对初学者难以理解，例如在 讲授（函数泰勒展开”这部分教学内容时，相关理论 比较抽象，挫伤了许多初学者的学习积极性和主动 性，而对函数做泰勒展开是微积分的核心内容，既是 近似计算的基础，也是幂级数的前奏，因此必须理解 到位、熟练掌握；定积分的定义是通过微元逼近来计 算不规则图形的面积，分割足够多，则逼近程度越 好；这些问题学生理解起来难度较大1-7.而在线性 代数中，特征值

4、与特征向量的概念抽象难懂，并且大 多数教材在给出定义之前缺少必要的引入过 程8-15,导致学生接受困难.MATLAB软件中的GUI指的是图形用户界 面，用户只需要通过简单的鼠标操作及编写回调函 数就可以设计所需的GUI程序界面,MATLAB会 自动生成m文件及框架fig文件+堕.在大学数学的 教学中引入GUI技术，为教学提供了一个以实验、 探索和发现为宗旨的交互环境，改变了传统教学中 单一满堂灌的模式，有利于激发学生的学习兴趣、培 养了学生的动手能力.下文通过MATLAB软件的 4个工具箱来展示GUI功能在大学数学教学中的 应用.希望起到抛砖引玉的作用，引起更多从事大学 数学教学同行的关注.2

5、符号函数图像与计算 funtool% 见图 1;图1符号函数的图像与计算GUI界面第一个文本框给出/的符号表达式，第二个文本框 给出g的符号表达式，第三个文本框给出自变量 的范围，第四个文本框给出常数9的值8表1给出了 其余按钮的功能表1按钮功能列表(MATLAB命令窗口中直接输入doc funtool查看)df/ dzCnt fsimple f对f求导并对f求不定积对f尽可能画出图像分并画出图像做化简num fden f1/f取函数f分子取函数f分母计算f的倒数并画出图像并画出图像并画出图像finvf af - a计算f的逆函数用fa替换f用f-a替换f并画出图像并画出图像并画出图像f8 a

6、f/afa用f8 a替换f用f/a替换f用fa替换f并画出图像并画出图像并画出图像f ( + a)f( 8 a)fg用f(a)替换f用f(8a)替换f用fg替换f并画出图像并画出图像并画出图像f-gf8gf/g用f-g替换f用f8g替换f用f/g替换f并画出图像并画出图像并画出图像f ( g )g = fswap用f(g)替换f用f替换gf和g进行交并画出图像并画出图像换并画出图像funtool命令实现了函数图像所见即所得，而且 具有求导、积分、平移等功能，课堂上教师通过演示 该函数的功能，可以快速激发学生学习微积分的兴 趣、尤其是绘制复杂函数的图像、求不定积分等.3函数泰勒展开泰勒展开是微积

7、分的核心内容，通俗的讲就是 把一个函数表示成多项式的形式，这是近似计算的 关键技术，初学者及工程技术人员要求熟练掌握 e ,sin(Q ,cos(z) ,ln(1 + z) , arctan(Q 等常见函数 的泰勒展开式在MATLAB命令窗口中直接输入如下命令： taylortool% 见图!；图2 泰勒展开GUI界面，默认函数为zcos(z)在 $ = 0 点，N = 7 , 2.2这里第一个文本框给出/的表达式，第二个文本框 要求输入展开点。的值，第三、四个文本框给出自变 量的范围，第五个文本框输入展开项数(奇数幕 与偶数幕项合计)为了详细的展示泰勒展开的逼近效果，下面对 cos()在=o

8、点做泰勒展开图3函数cos()在=0点泰勒展开GUI界面从图3可知、展开项数越多，逼近效果越好.taylotool命令方便地实现了函数泰勒展开，既给出了泰 勒展开的表达式、同时绘制出了原函数与展开函数的 图像，直观地展示了什么是泰勒展开.学生可以借助 该工具箱实现更为复杂函数的泰勒展开，诸如函数 xsin(x+100) ,sin(tan(x) tan(sin(z),留给学生 下去练习，希冀提高学生的求知欲和学习兴趣.C定积分的微元逼近现行微积分教材中定积分的定义是通过微元逼 近来计算不规则图形的面积，先引入了一个求和式, 并对和式取极限，若极限存在，则把极限值记为积分 值;从定义可知，划分越细

9、，或者说分割越多,则逼近 程度越好.关于该定义，教师需要12节课进行讲 解，即使这样，学生理解起来难度较大.教师在课堂 上可以利用MATLAB自带的GUI工具rsums进 行演示、以加深对定积分定义的理解与诠释.采用定积分的定义计算sin(x)从0到兀的定积 分，在MATLAB命令窗口中直接输入：(b)用30个长方形的面积和近似图4函数sm(x)从0到兀的定积分GUI界面从图4可知、通过拖动“滑动条”(最大值为 128，即分割成128个长方形)，划分越细，积分值越 靠近真实值.rsums直观的展示了定积分的几何意 义：即计算不规则图形的面积.学生可以借助该函 数实现更为复杂函数的积分值.| s

10、in(x) |从0到2o的定积分./从0到1的定积分.xsin(x)从0到2的定积分.sin()+cos()从0到2的定积分.上述问题留给学生下去练习，以强化对定积分 定义的理解.5平面线性变换及特征值特征值与特征向量是线性代数中的2个重要概 念,是矩阵理论的重要组成部分，也是研究动力系统 和生态系统的有力工具,目前被广泛应用于机器学 习、图像处理、数据挖掘等热点领域中.特征值与特 征向量的概念抽象难懂，多数数教材在给出其定义 之前缺少引入过程，使得特征值与特征向量概念显 得突兀，导致学生接受困难.下面运用MATLAB的 GUI工具exshow(该演示仅适用于二阶方阵的情 形)，从平面线性不变

11、量引出特征值与特征向量，通 过实例激发学生的学习兴趣，加深对概念的理解.在 MATLAB 命令窗 口输入 eigshow( 1 0 ； 0 2()命令,可以打开一个特征值、特征向量的演示 窗口.a(b)(c)图5矩阵= # 1 0；0 2%的特征值与特征向量演示GUI界面鼠标拖动单位向量X旋转会产生一个单位圆 （即满足%+! = 1）,经过变换后的新向量y = Ax 所走的轨迹是一个椭圆（满足M+展/4 = 1）.当向 量X位于水平方向，即图5中（b）所示；当向量X位 于竖直方向，即图5中（c）所示；两个向量共线，即(;1)这里矩阵6-1 0 =A=.7 0 2因此从线性变换角度而言,（1,0

12、）（和（0,1）（是“线性 变换的不变量”，这里的不变是指整体方向不变，包括 方向相同和方向相反（即没有发生旋转）.于是 ，0）（和12 （0，1）（是线性变换的特征向量（11 &0,12&0），相应的一1,2为其对应的特征值.特征值即特 征向量伸缩的比例，特征值大于零，意味着朝着相同 方向伸缩;特征值小于零，意味着朝着反方向伸缩.9(b)图6矩阵% = #1 3；3 1的特征值与特征向量演示GUI界面9(b)（c）图7矩阵% = #1 3;4 2/4的特征值与特征向量演示GUI界面通过直观演示，结合简单运算，可以发现，对角矩阵 的特征向量刚好落在椭圆的长半轴和短半轴上（图 5）;若矩阵A对称

13、，那么其特征向量也落在椭圆的 长、短轴上（图6）；若矩阵A非对称，那么其特征向 量一定不落在椭圆的长、短轴上（图7）,此外，单位 向量X在奇异矩阵作用下的轨迹退化成了一条 线段,矩阵的奇异值广泛应用于统计学、机器学习、图 像处理、压缩感知及工程问题,有兴趣的学生可以查 阅相关文献,在MATLAB命令窗口输入eigshow (#3. 58 1.35；2.77 3.03%)命令时，点击 svd 选项, 即演示矩阵A的奇异值.奇异值分解的几何含义 为：对于一个二阶方阵，给定一组两两正交的单位向 量x和，使得矩阵作用在此向量上得到新的向量 Ax和(不一定正交)，如图8所示.当Ax和Ay 正交时，即对应

14、椭圆的长短轴，此时Ax和Ay的长 度就是矩阵A奇异值.9(b)(c)图 8 矩阵 A= 3. 58 1. 35；2. 77 3. 03%的奇异值演示GUI界面术与多媒体辅助教学软件的发展，借助MATLAB软 件来理解概念的几何意义，揭示线性代数问题的几 何背景，从而有效地诠释线性代数的教学难点，加强 学生对教材中抽象概念的理解，切实调动学生的学 习积极性.6结束语教学过程是教与学二者之间互动的过程，目前 几何画板GeoGebra等软件已广泛应用于数学 的教学.而常规大学数学教学模式是：先给出定义， 然后是定理和推论，最后是相关计算和证明的练习. 在这种教学模式下，学生的逻辑推理和计算能力得 到了较好的训练，但是，几何与代数、抽象与直观却 在无形中被对立起来，从而阻碍了学生对抽象概念 的直观背景和几何意义的了解与认识，在一定程度 上影响了课程的教学效果.近几年来在大学数学教 学过程中借助MATLAB软件平台逐渐增加了一些 实践教学内容，可以使某些抽象的数学概念、公式或 定理等可视化、生动化，切实有助于学生把握数学问 题的本质.从而有效地化解大学数学的许多教学难 点，促进学生抽象思维与形象思维协调发展，培养学 生的学习积极性和创新性.MATLAB是一套功能强大的数学软件. MATLAB的图形用户界面GUI技术