论数学专业研究生基础课教学中学术观念的培养

1、论数学专业研究生基础课教学中学术观念的培养摘要本文介绍多线性函数的基本概念与方法，并采用多线性函数的方法重新证明了行列式的乘法 规则以及Binet-Cauchy公式，以此为例说明了在研究生基础课程的教学中既要注重基础、又要有所提高的 问题，对更好地实现从本科课程到研究生课程的内容衔接、提升研究生的学术观念、培养研究生的创新能力 起到示范作用。关键词多线性函数;Binet-Cauchy公式；矩阵论；抽象代数;研究生教学在数学专业研究生专业基础课程的教学中，存 在研究生课程内容如何与大学本科课程更好地衔接 的问题。教师如果处理不好，讲得过深、过于跳跃, 与学生在本科阶段的实际知识储备严重脱节，或者

2、 过多地重复本科课程内容,教学效率低下，就达不到 研究生培养的目的和要求。如抽象代数HI-3#矩 阵分析或矩阵论等研究生课程，如何与本科课 程中的高等代数、近世代数：6-8更好地接轨,成为十 分突出的问题。以矩阵论中的Binet-Cauchy公式为例,它是大 学本科阶段行列式乘法规则的推广，其证明也可以 采用高等代数的常规方法加以证明。但是在研究生 课堂教学中如果采用这种方法来处理，就降低了研 究生的培养要求，不能让学生的观念实现很好的提 升，而如果采用多线性函数的观点，我们可以给出有 关公式的全新证明。采用这样的教学方法可以让学 生的观念实现从一元线性函数到双线性函数再到多 线性函数的飞跃，

3、不仅使学生能够学到该公式的不 同证明方法从而更好地理解该公式，还能使其对线 性代数的本质有更为深入的理解。注意这里所谓的 飞跃、跨越、提升，都是以不脱离基础为前提条件的。 倘若离开了基础而一味地追求提升，就是舍本逐末, 就会迷失方向，欲速不达。在谈到多线性函数与行列式的关系时,有的学 者采用反对称多线性函数的方法来定义行列式。但 是,这里有一个重要的理论问题:作为非零的反对称 多线性函数的行列式是否存在？这个问题在这里实 际上被回避了。本文中的行列式仍然采用大部分高等代数 教材中的常规定义，即采用不同行列元素乘积的代 数和的方式来定义。文中首先引入多线性函数等基 本概念，在回避行列式概念的前提

4、下,直接证明非零 的反对称多线性函数的存在性。然后，我们借助反 对称多线性函数与行列式的关系来讨论行列式的性 质，给出行列式乘法规则及其推广一Binet - Cauchy公式的全新证明。一、多线性函数的一般讨论研究生在大学本科阶段经过对高等代数的学 习，已经了解了线性函数的概念，甚至可能也了解了 双线性函数的概念,故在抽象代数II、矩阵论等研究 生课程的教学中，教师可以加入多线性函数的概 念0,这样不仅能够很好地承接本科课程，也能够提 高研究生的培养质量。在复习线性函数的定义后， 教师可以引导研究生自行给出多元线性函数的如下 定义:定义2.I假设是给定数域F上的一个维 线性空间，/:尸#F是一

5、个）元函数。（1）若对固定的* $），任意的,!）, !+1 , % %以及任意的k,k + %F，都有/（ !i，,，!*）=kf（ a-, ,!* ,!） =k+f（ a-, ,!,* ,!） , 则称/关于第*个变元是线性的。（2）若对任意的*$）都有/关于第*个变元是 线性的，则称/是多线性的。若对任意的孔，（，% %以及任意的*/$）,都有 f（ a-，（，a*，!，!） =顼冬-,（，！,，（皿，！） , 则称/是反对称的。容易证明如下两个引理。引理2.2设%是给定数域F上的一个）维线 性空间,（是%上的一个）元反对称多线性函数。若孔，(，是中线性相关的向量组，则 /( !1，)=

6、 0；若*1(*)是文字1)的一个排列，其反 序数为()，则f( a*-，,!,) = ( T) ( *) f( !1 ,!).弓|理2.3 ( 1) )维线性空间上的一个)元线性 函数是由它在该空间的一组有序基的所有长度为) 的允许重复的排列上的取值完全确定的。(2)由在 )维线性空间上的一组有序基的所有长度为)的允 许重复的排列上的任意一组取值可以定义一个多线 性函数。取值恒为零的多元函数记为0,它显然也是反 对称的多线性函数。异于0的多元函数称为是非零 的。下面的命题保证了非零的反对称多线性函数的 存在性。命题2.4任意有限维线性空间上非零的反对 称多线性函数是存在的。证明：略。下述定理

7、揭示出多线性函数与行列式之间的密 切关系，它是我们后面要多次加以应用的主要结论。定理2.5设是给定数域F上的一个)维线 性空间，/是上的一个)元反对称多线性函数。 若!1 ,(,!) ,#1 ,#)% %, . % FnX且满足条件(#1，(,#) = ( !1 ,(,!).,则/(#1，,#) = ( !1，I . I .证明：根据多线性函数的定义以及引理2.2、引 理2.3,直接计算可得结论。由定理2.5可以导出如下推论：推论2.6设是给定数域F上的一个)维线 性空间，/是上的一个)元反对称多线性函数。 则/非零的充分必要条件是/在的任意一组基上 的取值非零。二、用多元线性函数的观点来证明

8、行列式的乘法规则所谓行列式的乘法规则，就是对于任意的., / % F*都有II = I. I I / I $这一结论可以在绝大 多数的高等代数教材中得到常规的证明。但我 们现在要求研究生用上一节中有关多元线性函数的 理论来证明这个结论。取定一个线性空间以及的一组基!1，(， a)。根据命题2.4,存在上的一个非零的、反对称 多线性函数/令(!1 ,(,!) . = ( #1 ,#) , (#1，,#) / = ( $1，,$).则($1，(必)=(#1) / =( !1 ,!) AB.利用定理2.5得到： TOC o 1-5 h z f( #1 ,( ,#)= f( !1 ,(,!)I A I

9、 ,(1)f( $1，$)= f( #1，#)I /1 ,(2)f( $1，$)= f( !1，(，！) I A/I.( 3)将表达式(1)代入到(2)中得到f( $1，,$) =f( %,!) IAI I /1.( 4)根据推论2.6,f( !1 ,(,!) & 0,对照表达式 (3)和(4),得到I AB I = IA I I / I ,这就重新证明了行 列式的乘法规则。三、用多元线性函数的观点来证明Binet-Cauchy 公式推广行列式的乘法规则，就得到Binet-Cauchy 公式。牛反过来说,行列式的乘法规则是Binet- Cauchy公式的特例。证明了 Binet-Cauchy公

10、式,也 就再次证明了乘法规则。当然,可以用高等代数 中常规的方法来证明Binet-Cauchy公式，但本文要 求研究生采用多线性函数的工具重新证明这一 公式。设F是一个域,A % Fd), k$m,)o在A中位于 第*-,*,行与第J1 , ,k列交叉处的元素按照原 有的相对位置构成的行列式称为A的一个k级子 式，记为A匕1 *,),而对应的k级子矩阵记为-1(-kA( ；1 :)。设 F 是一个域,m$),A%Fmd)，/% F)dm，则IABI= A(1m)*1*m *1 *mJ 1(m/这就是Binet-Cauchy公式.为了用多线性函数 的方法重新证明该公式，我们首先需要推广定理 2.

11、5。定理3.1设是给定数域F上的一个有限维 线性空间，/是上的一个)元反对称多线性函数, m$ ).若！1 ,(，！m ,#1 , ( ,#) % %, A % Fmd) 且满足 条件(#1，,#) = ( !1，！m) A, 则/(#1，,#)=,顶 a,1 , ,a,m) A( 1m).*1*m1m 1 m/现在我们可以证明Binet-Cauchy公式。取定数域F上一个线性空间%以及%的一组 基!1 , , !)，根据命题2.4,存在%上的一个非零 的、)元反对称多线性函数/令(!1，(，！m)A = (#1，,#),(#1 L，#) / = ( $1，(，$m).则($1，(必)=(#1

12、，(，#) / = ( !1，！m) AB, 且对于任意的*1(*m，有 TOC o 1-5 h z ) = (!l,!)-根据定理2.5,我们有/ 1) =f( !1,!).,(5)f( $1，= f( !-，!) I I .( 6)根据表达式(5)以及定理3.1,我们有f( $1，$)键点，而这些点，通常要既能强调基础的重要性，又 能适当地加以发挥，尤其可以借此实现方法的创新 以及观念的提升。我们相信,在教学中进行学术观 念的培养有助于研究生课程与本科课程内容的衔 接，有助于提高研究生专业课程的教学质量，也有助 于更好地培养研究生的开放思维和创新能力。,(刀早!1，!).(：3 /(二:).根据推论2.6, f( a- ,(,!)对照表达式(6)和(7),我们立刻得到I./I= .(1 ()/f).*-侦 E.F 1(m)这就证明了 Binet-Cauchy公式。四、结语本文介绍了多线性函数的有关理论，并应用它 重新证明了行列式的乘法规则及其推广一Binet- Cauchy公式，旨在说明在数学专业研究生基础课程 的教学中既要注重基础、又要有所提高,希望由此带 给人们一定的启发，为更好地实现从本科课程到研 究生课程的内容衔接、树立研究生的学术观念、培养 研究生的创新能力起到一个良好的示范作用。当然,多线性函数仅仅是一个例子，