ch21.4二重积分的变量变换(a)课件

1、4 二重积分的变量变换 一、二重积分的变量变换公式三、二重积分的广义极坐标变换 二、二重积分的极坐标变换 1一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设在区间 上连续, 当从变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 连续可导, 则 当(即)时, 记 则 利用这些记号, 公式(1)又可 写成2当(即 )时, (1)式可写成 故当为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可 统一写成如下的形式:下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给 出下面的引理.3引理 设变换 将 uv 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 一对一地 映成 xy 平面上的闭区域 D.

2、 函数 在内分别具有一阶连续偏导数且它们的Jacobi行列式 则区域 D 的面积 (5)证:(略)4定理21.13 设 在有界闭区域 D 上可积, 变换 将 uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 在内分别具有 一阶连续偏导数且它们的 Jacobi 行列式 则有证:(略)5在 T 的作用下, 区域 D 的 如图 21-24 所示. 原象 所以 D：7例2 求抛物线和直线所围区域 D 的面积解 D 的面积 令它把 xy 平面上的区域 D (图)对应到 uv 平面上的矩形 8例3 设上可积,是由曲线 所围成的区域在第一象限中的部分. 证明: 证

3、 令 则 10令 则 因此 11二、二重积分的极坐标变换 当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 的形式为时, 采用极坐标变换 (8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时, 变换 T 的函数行列式为 12将极坐标系下二重积分化为累次积分 1. 常用的是将分解为平面中的型区域. (i) 若原点则 型区域必可表示成(图) 于是有 14(ii) 若原点为 D 的内点(图(a), D 的边界的极坐 标方程为 则 一般可表示成 152. 也可将分解为平面中的 型区域(图). (1) 令(2) 作半径为的圆穿过 D, 按逆时针方 向首先由边界曲线 穿入, 而后由边界曲线 穿出. 则有 1

4、7解例4 写出积分的极坐标二次积分形式， .其中积分区域18例5 计算 其中 D 为圆域: 解 由于原点为 D 的内点, 故有 19例6 求球体 被圆柱面所割下部分的体积 ( 称为维维安尼 (Viviani) 体 ). 解 由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第 一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体积. 20(图21-32),而曲顶的方程为 所以 后, 由 (13) 式便可求得 xy 平面内由和所确定的区域 D 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为 其中 用极坐标变换 21例7 计算 其中 D 为圆域: 解 利用极坐标变换, 容易求得 若不用极坐标变换, 而直接在直角

5、坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出 的难题. R22由上题结论 24解例9 计算二重积分 其中积分区域为25解例11 求双纽线 和所围成的图形的面积 27三、二重积分的广义极坐标变换 当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时, 可考虑用如 下的广义极坐标变换:并计算得对广义极坐标变换也有与定理21.14 相应的定理, 这 28例12 求椭球体 的体积. 解 由对称性, 椭球体的体积 V 是第一卦限部分体 积的 8 倍, 而这部分是以为曲顶, 里就不再赘述了. 29应用广义极坐标变换, 由于因此特别当时, 得到球的体积为为底的曲顶柱体, 所以30二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对

6、称性）小结31思考题32思考题解答33练 习 题343536练习题答案3738二重积分的对称性质结论1：如果积分区域D关于y轴对称，且 结论2：如果积分区域D关于x轴对称，且则 则 39结论3：如果积分区域D关于坐标原点O对称，则其中结论4：如果积分区域D关于直线yx对称，则40内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则41则(2) 一般换元公式且则极坐标系情形: 若积分区域为在变换下42(3) 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(