技师培训教材-流体力学(第三章)

1、流体力学技师培训教材 第三章 流体动力学动力学比静力学多了两个参数：粘度和速度3-1 描述流体运动的两种方法流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和。 描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变化的规律。一、拉格朗日法（随体法） 着眼于流场中具体流体质点的运动。即跟踪每一个流体质点，分析其运动参数随时间的变化规律。二、欧拉法（局部法、当地法） 着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置上的流体质点的运动规律。 广泛采用。 N 流体的运动参数。 N = N ( x, y, z, t ) = N x(t), y(t), z(t), t ( x, y, z, t ) 欧拉变数 用初始时刻 t

2、0 某流体质点具有的空间坐标(a,b,c)来标识不同的流体质点，用流体质点的初始坐标(a,b,c)和时间变量 t 共同表达流体质点的运动规律 x = x ( a,b,c,t )、y = y ( a,b,c,t )、z = z ( a,b,c,t )。3-2 流体运动中的一些基本概念 一、定常（恒定）流动：流体的运动参数（物 理量） N 仅仅是空间坐标的函数，而与时间无关的流动。 即 N = N( x, y, z ) 或二、控制体：流场中人为选定的，相对于坐标系有固定位置，有任意确定形状的空间区域。 三、物理量(运动参数)的质点导数(随体导数)： 物理量的质点导数（全导数） N 是时间 t 的复

3、合函数，由多元复合函数求导法则可得：时变导数(当地导数)：在某一固定空间点上物理量N对时间 t 的变化率。流体质点所在空间位置变化，所引起的物理量N对时间 t 的变化率。位变导数(迁移导数)：对于定常流动： （时变导数为零） 对于均匀流动： （位变导数为零）对于不可压缩流体： (全导数为零）四、一元（维）流动：运动参数仅沿着流动 方向变化的流动。 五、流线 ： 在某一瞬时，液流中的一条条光滑 曲线。在该瞬时，位于流线上各点处流体质 点的速度方向与流线相切。流线的性质： 流线是一个瞬时概念。定常流动下，流线形状不随时间变化。 流线不能相交，也不能突然转折。六、流束 ：过液流中由封闭曲线 l 围成

4、的面积 A 上 的每一点作流线，所作流线的集合称为流束。 微小流束 当面积 A 无限缩小趋于零时的 流 束。七、过流断面 ： 流束中与所有流线相垂直的截面。 缓变流动 流线间基本平行的流动。缓变流动下的过流断面可近似为一平面。 八、流量 ： 单位时间内流过某一过流断面的流 体体积。 q m3/s l/min dq = v dA 微小流束过流断面的流量。 q = A v dA 流束过流断面的流量。九、断面平均流速 ：假想的过流断面上各点处 都相等的流速。 3-3 连续方程式（一元流动）物理本质：控制体中流体质量的增量，必然等于同一时间内流入与流出控制体的流体质量之差。沿如图所示的流束表面及两个过

5、流断面 A1、 A2取出控制体。 流体的连续方程式则： 单位时间内流入、流出控制体的流体质量之差等于该控制体内流体质量（密度）的变化率。一、定常流动 二、对于不可压缩流体流动 = Const 则： 即：流过流束各断面的流量都相等，但流速与过流断面积成反比。则：直角坐标系下微分形式的连续性方程1、连续性微分方程的一般形式 在流场中取一微元平行六面体作为控制体边长分别为dx、dy、dz。中心点 A ( x,y,z ) 流速为vx、vy、vz ，密度为( x,y,z,t ) 考察在 dt 时间内流入、流出控制体的流体质量与控制体内流体质量变化的关系。首先考察沿 y 方向流入、流出控制体的流体质量。流

6、入质量：流出质量：在 dt 时间内自垂直于 y 轴的两个面流出、流入的流体质量之差为：dt 时间内经控制体净流出的流体质量应等于该时间控制体内流体质量的减少（由质量守恒定律）。即：同理可得自垂直于 x、z 轴的平面流出、流入的流体质量之差分别为：不可压缩流体的连续性微分方程： = Const2、不同适用范围的使用形式定常流动的连续性微分方程：于是可得流体连续性微分方程的一般形式为： 物理意义：不可压缩流体在单位时间内，流出、流入单位空间的流体体积之差等于零。适用范围：理想、实际，定常流或非定常流的不可压缩流体。3-4 流体微团的运动分析一、流体微团运动的组成亥姆霍兹速度分解定理：任一流体微团的

7、运动可以分解为三个运动：1、随同任一基点的平移；2、绕通过这个基点的瞬时轴的旋转运动；3、变形运动（包括角变形和线变形）。按二维情况平 动平移+线变形平移+角变形平移+旋转运动实际的流体运动多为平动、转动和变形三种基本运动形式或两种基本运动形式的组合。二、流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动对流动分析有很重要的意义。1、旋转角速度的定义 原相互垂直的两邻边的旋转角速度的平均值为流体微团绕某转轴的旋转角速度i ( i = x, y, z )。2、旋转角速度的数学表达式A点速度：vx、vy与A点相邻的 D 点速度： AD边的旋转角：同理AB边的旋转角：AD边与AB边的旋转角速度分别为：（顺时针为负

8、）（逆时针为正）由旋转角速度的定义，可得流体质点绕 z 轴的旋转角速度z同理：三、有旋流和无旋流按流体质点是否绕自身轴旋转，流动分为有旋流动和无旋流动。有旋流动（亦称涡流），x、y、z中至少有一个不为零。无旋流动（亦称有势流动），x=y=z= 0，或有无旋仅取决于每个流体微团本身是否旋转，而与流体微团的运动轨迹无关。3-5 理想流体的运动微分方程 (欧拉运动微分方程) 仍采用微元体积法：在流场中取出一个正平行六面体 流体微团。 dV = dxdydz. 在某瞬时 t 形心A( x, y, z ) 处的压强为 pA( x, y, z, t )， 形心A( x, y, z ) 处的速度为 vx,

9、vy, vz ， 作用在微元平行六面体上的力有质量力和表面力。 以 y 方向为例分析受力。pAdzdydxdFm一、y 方向的质量力 dFmy = dx dy dz fy二、y方向的表面力左表面：右表面：式中： 压强沿 y 方向的变化率。 三、y方向的运动方程（力平衡关系式）由牛顿第二定律，在 y 方向上有： Fy = may 即：所以：得： 单位质量流体在 y方向上运动规律的数学表达式同理，可推得在 x、z 方向有：理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）3-5 伯努利方程及其应用一、理想流体沿流线的伯努利方程 单位质量的流体质点经 dt 时间沿流线产生微小位移 。dx = vxdtdy

10、= vydtdz = vzdt 在三个坐标方向上的分量。 将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式的两边相乘，然后分别相加可得：引入以下限制条件，对上式中的三类项分别进行化简。 流体为不可压缩的； 流体作定常流动； 流体所受的质量力仅为重力。 1、质量力（由条件3） fxdx + fydy + fzdz = gdz2、表面力（由条件2） 3、惯性力于是化简后可得：积分上式，并考虑条件 1 ， = 常数 得： 对于同一流线上的任意两点 1、2 ，上式可写成： 在重力作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，沿流线的伯努利方程(能量方程)。单位重力流体的动能（速度水头）除以 g, 则：物理意义：重力

11、作用下，理想不可压缩流体作定常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。二、理想流体总流（流束）的伯努利方程 总流 流体通过有限过流断面的流动。 表达了两个过流断面处流体能量的关系，但要以过流断面上的平均值表示。式中： 动能修正系数。1、动能项 以断面平均流速将动能表示为：过流断面上速度分布越均匀， 1。2、势能项若将 yoz 坐标平面取在缓变过流断面上，则有： vx = v ， vy = vz = 0于是欧拉运动微分方程可写成： 与平衡微分方程相同即：过流断面上流体压强分布满足重力作用下静止流体的压强分布规律。因此对于同一过流断面上有：则：对于沿总流的

12、任意两个过流断面上的 单位重力流体有： 沿总流的伯努利方程 (重力、理想、不可压、定常) 三、实际流体总流的伯努利方程 用能量的观点把“理想”拓广到“实际”中。 粘性摩擦对流体运动的阻力，要由一部分机械能去克服，使机械能 热能，沿流动方向机械能降低。 式中： hf 单位重力流体沿总流从1 断面流 到 2 断面，为克服粘性摩擦力而消耗的机械能，称为能量损失或水头损失。所以：应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意以下几点：1、适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量力只有重力作用。2、往往与连续方程联合使用。3、在选取适当的位置势能为零的水平基准面后，可选择过流断面上任意高度为已知点 z1 和

13、z2 列出伯努利方程。（三选一列）4、所选用的过流断面必须是缓变过流断面。且其中一个断面应选在待求未知量所在处，另一个断面应选在各参数已知处。5、压强 p 可取绝对压强或计示压强。但两个断面必须采用同一种表示方法。6、一般取 1 = 27、沿流程若有能量输入或输出时（经水泵、通风机等），式中：H 单位重力流体流经流体机械获得 ( + ) 或失去 ( ) 的能量。（水泵的扬程）四、伯努利方程的应用（文丘里流量计） 文丘里流量计由进出口过流断面积分别为A1和A2的一段渐缩管组成。并在进出口处接入水银差压计（或测压管）。根据伯努利方程，只要读出 h 或 h 即可由 A1和 A2（或 d1和 d2）求

14、得管中流量 q。取基准面0-0，另在缓变流动区取断面1-1，2-2，断面形心为计算点。考虑理想流体（暂不计流动的能量损失）。对两过流断面1-1，2-2列出伯努利方程：( 取 = 1 )由连续方程知：解出：代入伯努利方程得：解得：对于测压管：对于U 型差压计: 文丘里流量计若用测压管测压，则推导：则：同除以 g 有 ：则： 文丘里流量计若用U 形管差压计测压，则:推导：取水平面过U 型管左支管的两液 体分界面，列等压面方程。左支管：右支管：即：于是理论流量：qT = v1A1考虑实际流体流动中的能量损失后实际流量为：q = Cqv1A1其中Cq 流量系数。流量的测量、计算与文丘里流量计放置的倾斜

15、角度无关。所以：例题 3 2：如图所示射流泵，将蓄水池中的水 吸上后从出水管排出。已知：H = 1 m h = 5 m D = 50 mm 喷嘴 d = 30 mm 不计摩擦损失求：1、真空室中的 压强 p2 ，2、排出水的流量 qV 。解：取 5 个过流断面如图。对11，33 断面列伯努利方程得：则：由连续方程知：即：再对 11，22 断面列伯努利方程得：解得：真空室压强 p2 低于大气压，降至 0.345105 Pa 后，蓄水池中的水被压上来。流量为：v 吸水管中的流速对 44 和 55 断面列伯努利方程求 v :解得：排出水的流量： 3-6 动量方程及其应用质点系的动量定理： 即：质点系

16、动量的变化率等于作用在质点系上 所有外力的矢量和。在某一瞬时 t ，从流场中取出一控制体（如虚线所示），其一部分控制表面与要计算作用力的固体壁面相重合。按照作用力与反作用力大小相等、方向相反的原理，讨论运动流体对固体壁面的作用力。t +dt 时刻，流体质点系的动量为:( mv )t +dt + ( mv )t +dt 而 ( mv )t +dt = = ( mv )t +dt ( mv )t +dt 一、分析流体质点系的动量变化 在 t 时刻，流体质点系的动量与控制体内流体的动量相等，均为 ( mv )t 。则在dt 时间内流体质点系运动到新的空间位置后，其动量的增量为：d(mv) = (mv

17、)t +dt (mv)t +dt + (mv)t +dt (mv)t = (mv)t +dt (mv)t + (mv)t +dt (mv)t +dt 式中： 项 控制体内流体动量在dt 时间内的增量。 项 在dt 时间内通过控制表面A2 流出控制体的流体动量。 项在dt 时间内通过控制表面A1 流入控制体的流体动量。二、定常、不可压缩、一元流动的动量方程1、定常、一元流动 项为零, 则有： d(mv) = = (mv)t +dt (mv)t +dt = 2q2dt2v2 1q1dt1v1 由动量定理得：F = 2q22v2 1q11v1 2、对于不可压缩、定常、一元流动 1 = 2 则：F =

18、 q（2v2 1v1） 不可压缩、定常、一元流动的 动量方程。动量方程的投影形式：（最常使用此形式） Fx = q（2v2x 1v1x） Fy = q（2v2y 1v1y） Fz = q（2v2z 1v1z） 式中： 动量修正系数过流断面上流速分布越均匀， 1三、应用动量方程应注意的几点1、控制表面的一部分必须与对流体质点系有作用力的固体壁面相重合。有一部分必须是压强、流速已知或为所求的过流断面。在取控制体时要特别注意。2、 F 是作用在控制体内流体质点系上的所有外力的矢量和。外力既包括表面力（固体壁面及控制体外部液体对流体质点系的作用），也包括质量力。3、外力和流速的方向，与所选定的坐标方向

19、相同时取“+”，反之为“”。4、动量方程中的F 是外界（包括固体）对流体质点系施加的。实际问题中常常要计算的是流体对固体的作用力，应与前者等值反向。四、动量方程的应用1、流体对管道的作用力2、自由射流对挡板的冲击力 以下举例说明。例题：密度 = 1000 kg/m3的水从图示水平放置的 喷嘴中喷出流入大气。已知：D = 8 cm d = 2 cm v2 = 15 m/s求：螺栓组 A 所受 的力 F。解：螺栓组所受 的力即为流体 对喷嘴的作用力。可用动量方程求解。沿喷嘴壁面及流入、流出过流断面取控制体。控制体内的流体在 x 方向所受的力有：一、沿 x 方向列出动量方程则：液体的压力；喷嘴对控制体内流体的作用力F。二、列伯努利方程求 p1在喷嘴进、出口处取两个过流断面11、22 ，不计能量损失。上式中： z1 z2 0 ，